备战2020年全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编 专题24概率与统计强化训练(省赛试题汇编)（解析版）.doc

1、全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题24概率与统计强化训练(省赛试题汇编)1【2018年江苏预赛】将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数随机填入33的方格表中，每个小方格恰填写一个数，且所填数各不相同，则使每行、每列所填数之和都是奇数的概率是_.【答案】114.【解析】要使每行、每列所填数之和都是奇数，必须使每行或每列中要么只有一个奇数，要么三个全为奇数，故满足条件的填法共有C31C315!4！种.因此所求的概率为C31C315!4!9!=114.故答案为：1142【2018年重庆预赛】从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率_【

2、答案】514【解析】如图，正9边形中包含中心的三角形有以下三种形状：对于（1），有3种情况；对于（2），有9种情况：对于（3）；有18种情况；故所求概率为P=3+9+18C93=514，故答案为：5143【2018年安徽预赛】从1，2，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s21的概率=_.【答案】115【解析】x1x2x3的样本方差s2=13i=13xi-x21，当且仅当x1、x2、x3是连续的正整数.故Ps21=8C103=115.故答案为：1154【2018年湖北预赛】一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为_.【答案】772 【解析】设a1、

3、a2、a3、a4分别是四次投掷骰子得到的点数，那么a1,a2,a3,a4共有64种不同的情况.如果从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则a1a2a3a4.若a1、a2、a3、a4的值都相等，则a1,a2,a3,a4有C61种不同的情况；若a1、a2、a3、a4恰好取两个不同的值，则a1,a2,a3,a4有3C62种不同的情况；若a1、a2、a3、a4恰好取3个不同的值，则a1,a2,a3,a4有3C63种不同的情况；若a1、a2、a3、a4恰好取4个不同的值，则a1,a2,a3,a4有C64种不同的情况.因此，满足a1a2a3a4的情况共有C61+3C62+3C63+C64=12

4、6（种）.故所求的概率为12664=772.5【2018年甘肃预赛】某市公租房房源位于A,B,C三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子 申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意4位申请人中，恰有2人申请A小区房源的概率是_【答案】827【解析】本题为古典概型，P=C422234=8276【2018年山东预赛】甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢；前一场的输者，则下一场先掷若第一场甲先掷，则甲赢得第n场的概率为_【答案】12+16-13n-1,n1 【解析】设甲赢得第n场的概率为pn，在每一场先掷的人赢得的概率为12+123+125+122n-1

5、+=23，所以p1=23，pn=13pn-1+231-pn-1=23-13pn-1，由此得pn-12=-13pn-1-12，p1-12=16，因此pn=12+16-13n-1，n17【2018年福建预赛】从如图所示的，由9个单位小方格组成的，33方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为_【答案】514 【解析】先计算矩形的个数，再计算直角三角形的个数如图所示，根据矩形特点，由这16个点可以构成C42C42=36个不同的矩形又每个矩形可以分割成4个不同的直角三角形，且不同的矩形，分割所得的直角三角形也不同因此，可得436=144个直角顶点在矩形顶点的不同的直角三角形再算

6、直角顶点不在矩形顶点：（1）在12的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为2,2,2的直角三角形两个而12矩形横向、纵向各有6个，故共有212=24个（2）在23的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为5,5,10的直角三角形4个，边长分别为2,22,10的直角三角形4个而23矩形横向、纵向各有两个，故共有4+44=32个所以，所求的概率P=144+24+32C163=2004014=5148【2016年新疆预赛】在一个圆上随机取三点，则以此三点为顶点的三角形是锐角三角形的概率为_.【答案】14【解析】设ABC是半径为1的圆的任一内接三角形，且A、B所对的弧长分别为x、y.则C所对的弧

7、长为2-x-y.对于ABC，有0x2,0y2,02-x+y2.该不等式组所表示的区域面积为S1=22.若ABC为锐角三角形，则0x,0y,02-x+y8的x的个数，其充分必要条件为p=i=010xi5,且q=i=04xi9-p.如此x的个数为p5q9-pC6pC5q=C65C55C54+C55=51.从而，二进制下的各位数字之和不超过8的x的个数为2016-51=1965因此，所求概率19652016=655672.14【2018年甘肃预赛】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是56,45,3

8、4,23，女生闯过一至四关的概率依次是45,34,23,12.（1）求男生闯过四关的概率；（2）设表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量的分布列和期望.【答案】（1）13；（2）见解析【解析】分析：（1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；（2）记女生四关都闯过为事件B，则PB=45342312=15，的取值可能为0，1，2，3，4，利用相互独立事件的概率公式即可得出.详解：（1）记男生四关都闯过为事件A，则PA=56453423=13；（2）记女生四关都闯过为事件B，则PB=45342312=15，因为P=0=232452=64225P=1=C211323452+C211545232

9、=96225，P=2=C22132452+C22152232+C211323C211545=52225，P=3=C211323152+C211545132=12225，P=4=132152=1225，所以的分布如下：E=064225+196225+252225+41225=240225=1615.点睛：本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式，随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力.15【2016年上海预赛】设n为给定的大于2的整数。有n个外表上没有区别的袋子，第k(k=1,2,n)个袋中有k个红球，n-k个白球。将这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球(

10、每次取出不放回)。求第三次取出的为白球的概率。【答案】n-12n【解析】设选出的是第k个袋子，连续三次取球的方法数为n(n-1)(n-2).第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形:(白，白，白)取法数为 (n-k)(n-k-1)(n-k-2)，(白，红，白)取法数为k(n-k)(n-k-1)，(红，白，白)取法数为k(n-k)(n-k-1)，(红，红,白)取法数为k(k-1)(n-k).从而，第三次取出的是白球的种数为（n-k）（n-k-1）（n-k-2）+k（n-k）（n-k-1）+k（n-k）（n-k-1）+k（k-1）（n-k）=（n-1）（n-2）（n-k）.则在第h个袋子中第

11、三次取出的是白球的概率为Pk=n-kn.而选到第k个袋子的概率为1n，故所求的概率为P=k=1nPk1n=k=1nn-kn1n=1n2k=1nn-k=1n2i=0n-1i=n-12n.16【2016年甘肃预赛】在某电视娱乐节目的游戏活动中，每人需完成A、B、C三个项目.已知选手甲完成A、B、C三个项目的概率分别为34、34、23.每个项目之间相互独立.（1）选手甲对A、B、C三个项目各做一次，求甲至少完成一个项目的概率.（2）该活动要求项目A、B 各做两次，项目C做三次.若两次项目A均完成，则进行项目B，并获得积分a；两次项目B均完成，则进行项目C，并获积分3a；三次项目C只要两次成功，则该选

12、手闯关成功并获积分6a（积分不累计），且每个项目之间互相独立.用X表示选手甲所获积分的数值，写出X的分布列并求数学期望.【答案】（1）4748；（2）见解析【解析】（1）设选手甲对A、B、C三个项目记为事件A、B、C，且相互独立，至少完成一个项目为事件D.则PD=1-PABC=1-141413=4748.（2）X的取值分别0、a、3a、6a.则PX=0=14+1413=716，PX=a=34214+1413=63256，PX=3a=342342132+G2113223=21256，PX=6a=1-716-63256-21256=60256.于是，X的分布列如表1.表1X0a3a6aP716632562125660256故EX=0716+a63256+3a21256+6a60256=243128a.