2018年全国高中数学联赛陕西省预赛（解析版）.doc

1、2018年全国高中数学联赛陕西省预赛第一试一、选择题（每小题6分，共48分）1.已知集合，则的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】易由周期性知.2.已知，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】.3.已知数列满足.若表示不超过的最大整数，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 2018【答案】B【解析】，.4.已知四面体内接于球，且是球的直径.若和都是边长为1的等边三角形，则四面体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】四面体以等腰直角为底，高为，故体积为.5.若，且，则的值是（ ）A. B. C. 1D. 【答案】D【解析】由柯西

2、不等式，由取等条件知.6.设，且，则的最小值是（ ）A. B. 2C. D. 4【答案】A【解析】由题意得且，不妨设.，等式右边是的偶函数，故不妨令.，故当且仅当时取最小值.7.若既约分数化为小数是，则当最小时，（ ）A. 9B. 7C. 5D. 2【答案】D【解析】由题意得.可见，随着增大，的下界不断增大.当时，不存在满足条件的整数；当时，满足条件.故.8.在边长为8正方形中，是的中点，是边上一点，且，若对于常数，在正方形的标上恰有6个不同的点，使，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图建立直角坐标系，.由题意得： .即以为圆心，为半径的圆与正方形四边有且仅有

3、6个不同的交点，易由图形知.二、填空题（每小题8分，共32分）9.设的内角所对的边分别为，且.成等差数列，则_.【答案】【解析】根据三角形内角和定理及其关系，用C表示A与B；根据，成等差，得到，利用正弦定理实现边角转化得到关于C等式；由即可得到最后的值详解： ;所以 ,同取正弦值，得 因为，成等差，所以 ，由正弦定理，边化角 ，根据倍角公式展开 所以 ，等式两边同时平方得 ，化简 ，即 而 点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌握各个式子的相互转化，属于难题10.如图，已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，且.设点在上的射

4、影为，今向四边形内任投一点，则点落在内的概率是_.【答案】【解析】所求概率.11.已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是_.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时.12.设是正整数，当时，的小数部分的前两位数是_.【答案】49【解析】一方面，当n100时，有，所以，另一方面，.故当n100时，的小数部分的前两位数是49.第二试13.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）设点都在函数的图象上，且满足.求的值.【答案】（1）；（2）0【解析】（1），故单调增区间为.（2）设.14.如图，圆与轴相切于点，与轴的正半轴相交于两点（在的上方），且.（1）求圆的方程；（2）设过点

5、的直线与椭圆相交于两点，求证：射线平分.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）易知，故圆方程为.（2）由（1）可知，且直线的斜率必存在，可设.原命题等价于证明.设，将直线方程与椭圆方程联立得.15.如图，在锐角中，是的中点，圆过点且与直线相切于点，直线与圆交于另一点，直线与圆交于另一点.证明：.【答案】见解析【解析】【详解】由圆幂定理知.易知.又弦切角，易知.证毕.16.已知函数，（1）证明：，直线都不是曲线的切线；（2）若，使成立，求实数的取值范围【答案】（）见解析; （）.【解析】（1）若直线与曲线相切，因直线过定点，若设切点则可得，又，上单调递增，当且仅当时，成立，这与矛盾,结论得证

6、.（2）可转化为，令，分类讨论求的最小值即可.试题解析： （1）的定义域为，直线过定点，若直线与曲线相切于点（且），则，即，设，则，所以在上单调递增，又，从而当且仅当时，成立，这与矛盾.所以，直线都不是曲线切线；（2）即，令，则，使成立，（i）当时，在上为减函数，于是，由得，满足，所以符合题意；（ii）当时，由及的单调性知在上为增函数，所以，即.若，即，则，所以在为增函数，于是，不合题意；若，即，则由，及的单调性知存在唯一，使，且当时，为减函数；当时，为增函数；所以，由得，这与矛盾，不合题意.综上可知，的取值范围是.17.设.证明：.【答案】见解析【解析】由对称性不妨设，则.当时，即时，由切比雪夫不等式.由不等式知.且易知.故.当且仅当时，等号成立.当时，显然有.综上所述，原不等式成立.