2018年全国高中数学联赛甘肃省预赛（解析版）.doc

1、2018年全国高中数学联赛甘肃省预赛一、填空题（每小题7分，共70分）1.设满足若只在点处取得最小值，则实数的取值范围是_【答案】【解析】画出平面区域如下： 由数形结合可得，即2.在中，已知如图所示，是边的垂直平分线上一点，则_【答案】【解析】如图所示，设为的中点，3.在复平面内，复数对应的点分别为若，则的取值范围是_【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，从而4.若正实数满足，则的最小值是_【答案】4【解析】得，设（），则，当且仅当时等号成立，故的最小值是45.已知空间四点满足，且是三棱锥的外接球上的一个动点，则点到平面的最大距离是_【答案】【解析】将三棱锥补全为正方体，则两者的外接球相同

2、球心就是正方体的中心，记为，半径为正方体对角线的一半，即为在正方体里，可求得点到平面的距离为，则点到平面的最大距离是6.某市公租房房源位于三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子 申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意4位申请人中，恰有2人申请小区房源的概率是_【答案】【解析】本题为古典概型，7.已知函数（），函数满足（），若函数恰有2019个零点，则所有这些零点之和为_【答案】2019【解析】易知函数为奇函数，从而的图象关于点对称函数，可知的图象也关于点对称由此的图象关于点对称，从而这2019个零点关于点（1,0）对称，由于是的一个零点，其余2018个零点首尾结合，两两关于

3、点对称，和为2018，故所有这些零点之和为20198.已知数列满足，则数列的通项公式是_【答案】【详解】由可得，则以下用累加法得，得到，从而，9.已知点为直线上一动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为当点运动时，直线过定点的坐标是_【答案】【解析】点的切点弦：，又因为，对比系数可知切点弦过定点10.关于的方程有唯一实数解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】解法一原方程化为（1）（2）即时，的两根分别为1、3，不符合题意（3）即时，的两根分别为2，因此，符合题意要求（4），即时，若，不符合要求；若，因此，符合要求解法二，因为，所以在上单调递增，在上单调递减又，所以的取值范围是二、解答题（共80

4、分）11.已知函数，xR，将函数f向左平移个单位后得函数g，设三角形ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c.()若c，f0，sin B3sin A，求a、b的值；()若g0且，求的取值范围【答案】() a1，b3；() (0，1.【解析】（1）利用二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式化简为，由，求得，由余弦定理及正弦定理可得关于的方程解方程可得的值；（2）先求得，由，求得，故，化简，根据的范围，求得的取值范围.试题解析：（），所以，因为，所以，所以，由余弦定理知：，因，由余弦定理知：，解得：.（）由条件知，所以，所以，因为，所以，即，于是 ，得，即.12.设等比数列的前项和为，且（）（1

5、）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由两式相减得，所以（）因为等比，且，所以，所以故（2）由题设得，所以，所以，则，所以13.已知四边形ABCD满足，E是BC的中点，将BAE沿AE翻折成，F为的中点（1）求四棱锥的体积；（2）求面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】（1）取AE的中点M，连结，因为BA=AD=DC=BC=a，ABE为等边三角形，则，又因为面AE面AECD，所以面AECD，所以（2）连结MD，则AMD=90，分别以ME,MD,M为x,y,z轴建系，则，所以，设

6、面EC的法向量为，令x=1，同理面AD的法向量为，所以，故面与面所成锐二面角的余弦值为考点：本题考查求棱锥的体积和二面角的求法点评：解决本题的关键是应用空间向量求二面角，建立合适的空间坐标系14.已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是.（1）求男生闯过四关的概率；（2）设表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量的分布列和期望.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；（2）记女生四关都闯过为事件，则，的取值可能为0，1，2，

7、3，4，利用相互独立事件的概率公式即可得出.详解：（1）记男生四关都闯过为事件，则；（2）记女生四关都闯过事件，则，因为，所以的分布如下：.点睛：本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式，随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力.15.已知椭圆过点，且右焦点为（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点若，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值【答案】（1）（2）见解析（3）【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以，椭圆C的方程为(2)设A、B、P的坐标分别为由知，又点A在椭圆C上，则，整理

8、得由，同理得到由于A、B不重合，即，故m、n是二次方程的两根，所以m+n=-4，为定值（3）依题意，直线l方程为，即，与椭圆C的方程联立，消去y并整理，得，所以，而由已知，点P不在椭圆C的内部，得，即，所以的最小值为，故三角形QAB面积的最小值为16.设函数（）（1）讨论的单调性；（2）如果有两个极值点和，我们记过点的直线斜率为问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析（2）不存在【详解】（1）f(x)的定义域为，令，其判别式1.当时，故f(x)在上单调递增2.当时，的两根为当时，；当时，；当时，故f(x)分别在上单调递增，在上单调递减（2）由1知，因为所以又由1知，于是若存在a使得k=2-a，则，即，亦即 再由1知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾故不存在a，使得k=2-a.