专题14复数、推理与证明参考模板范本.doc

1、专题14 复数、推理与证明一、选择题: (2012年高考北京卷理科3)设a，bR,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2012年高考浙江卷理科2)已知i是虚数单位，则（ ）A12i B2i C2i D12i【答案】D【解析】12i (2012年高考广东卷理科1)设i为虚数单位，则复数=（ ）A 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i 【答案】C【解析】因为=6，故选C.【考点定位】本题考查复数的四则运算,属容易题.(2012年高考山东卷理科1)若复数x满足z(2-i)=11+7i(i

2、为虚数单位)，则z为（ ）A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i (2012年高考辽宁卷理科2)复数（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】，故选A【考点定位】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。复数的运算要做到细心准确。 (2012年高考福建卷理科1)若复数满足，则等于（ ）A B C D (2012年高考新课标全国卷理科3)下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ） 的共轭复数为 的虚部为 (2012年高考江西卷理科6)观察下列各式：则（ ）A28 B76 C123 D199 (2012年高考安徽卷理科1)复数满足：；则（ ） 【答案】【解析

3、】. (2012年高考天津卷理科1)是虚数单位，复数=（ ）（A） （）（）（）【答案】B【解析】=.【考点定位】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算.(2012年高考湖北卷理科1)方程 +6x +13 =0的一个根是( )A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i (2012年高考上海卷理科15)若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）A B C D【答案】 B 【解析】根据实系数方程的根的特点也是该方程的另一个根，所以，即，故答案选择B.【考点定位】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识

4、和基本技巧的考查，复习时要特别注意. (2012年高考陕西卷理科3)设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）（A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件（C）充分必要条件 （D） 既不充分也不必要条件 (2012年高考上海卷理科18)设，在中，正数的个数是（ ）A25 B50 C75 D100 (2012年高考四川卷理科2)复数（ ）A、 B、 C、 D、【答案】B 【解析】.【考点定位】突出考查知识点，不需采用分母实数化等常规方法，分子直接展开就可以. (2012年高考全国卷理科12)正方形的边长为1，点在边上，点在边上，动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角

5、等于入射角。当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为（ ）A16 B14 C12 D10 (2012年高考全国卷理科1)复数（ ）A B C D【答案】C【解析】，选C.【考点定位】本试题主要考查了复数的四则运算法则。通过利用除法运算来求解.二、填空题:1. （2012年高考江苏卷3）设，（i为虚数单位），则的值为 2.(2012年高考上海卷理科1)计算： （为虚数单位）.【答案】【解析】.【考点定位】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.3. (2012年高考湖北卷理科13)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,344

6、3,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33，99.3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999.则（）4位回文数有_个；（）2n1（nN+）位回文数有_个。4. (2012年高考福建卷理科14)数列的通项公式，前项和为，则 _。5. (2012年高考湖南卷理科12)已知复数 (i为虚数单位)，则|z|=_.【答案】10【解析】=，.【考点定位】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的形式，利用求得.6. (2012年高考湖南卷理科16)设N=2n（nN*，n2），将N个数x1,x2,， xN依次放入编号为1,2，N的N个位置，得到排列P0=x1x2xN

7、.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当2in-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.（1）当N=16时，x7位于P2中的第_个位置；（2）当N=2n（n8）时，x173位于P4中的第_个位置.7. (2012年高考陕西卷理科11)观察下列不等式，照此规律，第五个不等式为 三、解答题:1(2012年高考北京卷理科20)（本小

8、题共13分）设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零. 记为所有这样的数表组成的集合. 对于，记为的第行各数之和（），为的第列各数之和（）；记为，中的最小值.（1）对如下数表，求的值； （2）设数表形如 求的最大值；（3）给定正整数，对于所有的，求的最大值.2（2012年高考江苏卷23）（本小题满分10分）设集合，记为同时满足下列条件的集合A的个数：；若，则；若，则（1）求；（2）求的解析式（用n表示）3. (2012年高考湖北卷理科22) (本小题满分14分)（I）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x0），其中r为有理数，且0r0,故a=.7. (2

9、011年高考全国新课标卷理科1)复数的共轭复数是（ ）A B C D;解析：C，因为=，所以，共轭复数为，选C点评：本题考查复数的概念和运算，先化简后写出共轭复数即可。8.(2011年高考江西卷理科1)若，则复数A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为=，所以复数,选D.9. (2011年高考江西卷理科7)观察下列各式：=3125，=15625，=78125，则的末四位数字为 A3125 B5625 C0625 D8125【答案】D【解析】观察发现幂指数是奇数的,结果后三位数字为125,故排除B、C选项;而,故A也不正确, 所以选D.10(2011年高考江西卷理科10)如右图，一个直径为

10、l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是12(2011年高考湖北卷理科1)i为虚数单位，则=A.iB.1C.iD.1答案：A解析：因为,故所以选A.13(2011年高考陕西卷理科7)设集合，则为（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】：由即由得即故选C14.(2011年高考重庆卷理科1)复数（A） (B) (C) (D) 解析：选B. 。二、填空题:1. (2011年高考山东卷理科15)设函数,观察:根据以上事实，由归纳推理可得：当且时， .【答案】【解析】观察知:四个等式

11、等号右边的分母为,即,所以归纳出分母为的分母为,故当且时，.2.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_（写出所有正确命题的编号）.存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果与都是无理数，则直线不经过任何整点直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数存在恰经过一个整点的直线【答案】【命题意图】本题考查直线方程，考查逻辑推理能力.难度较大.【解析】正确，令满足；错误，若，过整点（1,0）；正确，设是过原点的直线，若此直线过两个整点，则有，两式相减得，则点也在直线上，通过

12、这种方法可以得到直线经过无穷多个整点，通过上下平移得对于也成立；错误，当与都是有理数时，令显然不过任何整点；正确. 如：直线恰过一个整点【解题指导】：这类不定项多选题类型，难度非常大，必须每一个选项都有足够的把握确定其正误，解题时须耐心细致。3. (2011年高考湖北卷理科15)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：n=1n=2n=3n=4由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示） 答案：21，43解析：根据着色方案可知，n=6时，若有3个

13、黑色正方形则有3种，有2个黑色正方形有4+3+2+1+1=11种，有1个黑色正方形有6种；有0个黑色正方形有1种，所以共有3+11+6+1=21种.n=6时，当至少有2个黑色正方形相邻时，画出图形可分为：有2个黑色正方形相邻时，共23种，有3个黑色正方形相邻时，共12种，有4个黑色正方形相邻时，共5种，有5个黑色正方形相邻时，共2种，有6个黑色正方形相邻时，共1种.故共有23+12+5+2+1=43种.4(2011年高考陕西卷理科13)观察下列等式照此规律，第个等式为 【答案】【解析】：第个等式是首项为，公差1，项数为的等差数列，即3、(2011年高考安徽卷江苏3)设复数i满足（i是虚数单位）

14、，则的实部是_【答案】1【解析】因为，所以,故的实部是1.三、解答题:1(2011年高考上海卷理科19)（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。解： （4分）设，则，（12分） ， （12分）（19）(2011年高考安徽卷理科19)（本小题满分12分）（）设证明，（），证明.【命题意图】：本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式恒定变形能力和推理论证能力。【证明】：()由于，所以要证明：只要证明：只要证明：只要证明：只要证明：由于，上式显然成立，所以原命题成立。2. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）已知数列与满足：

15、， ，且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（）设证明：【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.（）解:由,可得, 又当n=1时,由,得;当n=2时,可得.当n=3时,可得.（）证明:对任意,-得 ,将代入,可得即(),又,故,因此,所以是等比数列.（III）证明：由（II）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对任意，对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意3. (2011年高考湖南卷理科16)对于，将表示为，当时，当时，为或.记为上述表示中为的个数（

16、例如：，故，），则（1） ；（2） .答案：2; 10934. (2011年高考湖南卷理科22)（本小题满分13分）已知函数求函数的零点个数，并说明理由；设数列满足证明：存在常数使得对于任意的都有解：由知，而且，则为的一个零点，且在内由零点，因此至少有两个零点.解法1 记则当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，又因为，则在内有零点.所以在上有且只有一个零点，记此零点为，则当时，当时，所以，当时，单调递减，而则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点，从而在上至多有一个零点.综上所述，有且只有两个零点.解法2 由，记则当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，从而在上至多有

17、一个零点.综上所述，有且只有两个零点.记的正零点为，即（1）当时，由得，而，因此.由此猜测：.下面用数学归纳法证明.当时，显然成立，假设当时，成立，则当时，由知因此，当时，成立故对任意的成立5. (2011年高考广东卷理科20)设数列满足,(1) 求数列的通项公式；(2) 证明：对于一切正整数n,【解析】（1）由令，当当时，当 （2）当时，（欲证），当综上所述6(2011年高考广东卷理科21)（本小题满分14分）【解析】解：（1）证明：切线的方程为当当 （2）的方程分别为求得的坐标，由于，故有1）先证：（）设当当（）设当注意到2）次证： （）已知利用（1）有 （）设，断言必有若不然，令Y是上线

18、段上异于两端点的点的集合，由已证的等价式1）再由（1）得，矛盾。故必有再由等价式1），综上， （3）求得的交点而是的切点为的切线，且与轴交于，由（）线段Q1Q2，有当在（0，2）上，令由于在0，2上取得最大值故,故7. (2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）()已知函数，求函数的最大值；()设均为正数，证明：（1）若，则；（2）若，则本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想. 解析：（）的定义域为，令，解得，当时，在（0，1）内是增函数；当时，在内是减函数；故函数在处取得最大值（）（1）由（）知，当时，有，即

19、，从而有，得，求和得,即.（2）先证.令，则,于是由（1）得，即.再证.记，令，则，于是由（1）得.即，综合，（2）得证.8.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且（）求的通项公式；（）设【解析】：（）由得，前项为，【解析】：（） 故（）法一：第次抽取时概率为，则抽得的20个号码互不相同的概率由（），当即有故于是即。故法二：所以是上凸函数，于是因此故综上：10(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分） 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中 （1）记为满足的点的个数，求；（2）记为满足是整数的点的个数，求11(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分）若数列满足，数列为数列，记

20、=（）写出一个满足，且0的数列；（）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；（）对任意给定的整数n（n2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。a2a11所以a2000a19999，即a2000a1+1999.又因为a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论得证。（）令因为所以因为所以为偶数,所以要使为偶数,即4整除.当2010年高考数学试题分类汇编复数 （2010浙江理数）（5）对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（A） （B）（C） （D）解析：可对选项逐

21、个检查，A项，故A错，B项，故B错，C项，故C错，D项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题（2010全国卷2理数）（1）复数（A） （B） （C） （D）（2010辽宁理数）(2)设a,b为实数，若复数，则（A） (B) (C) (D) 【答案】A【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。【解析】由可得，所以，解得，故选A。（2010江西理数）1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（ ）A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2C. x=1，y=1 D. x=1，y=2【答案】 D【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开

22、计算的方法，得，没有虚部，x=1,y=2. （2010四川理数）（1）i是虚数单位，计算ii2i3（A）1 （B）1 （C） （D）解析：由复数性质知：i21故ii2i3i(1)(i)1答案：A （2010天津理数）（1）i 是虚数单位，复数(A)1i (B)55i (C)-5-5i (D)-1i 【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。（2010广东理数）2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1z2=

23、（ ）A4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.32. A （2010全国卷1理数）(1)复数(A)i (B) (C)12-13 (D) 12+13（2010山东理数）(2) 已知（a,bR），其中i为虚数单位，则a+b=(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3【答案】B【解析】由得,所以由复数相等的意义知,所以1,故选B.【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。1.（2010安徽理数）1、是虚数单位， A、B、C、D、1.B【解析】，选B.【规律总结】为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数的代数运算，结合得结论.2. （

24、2010福建理数）（2010湖北理数）1若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是AE B.F C.G D.H 1【答案】D【解析】观察图形可知,则，即对应点H（2，1），故D正确.2010年高考数学试题分类汇编复数 （2010重庆理数）（11）已知复数z=1+I ，则=_.解析：（2010北京理数）（9）在复平面内，复数对应的点的坐标为 。答案：（-1,1） （2010江苏卷）2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为_.解析 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。（2010湖北理

25、数）1若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是AE B.F C.G D.H 1【答案】D【解析】观察图形可知,则，即对应点H（2，1），故D正确.2009年高考数学试题分类汇编复数一、选择题 2. （2009广东卷理）设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，A. 8 B. 6 C. 4 D. 2【解析】，则最小正整数为4，选C.3.（2009浙江卷理）设（是虚数单位），则 ( ) A B C D 答案：D 【解析】对于 5.（2009北京卷理）在复平面内，复数对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6.(2009山东卷理)复数等于（ ）.

26、A B. C. D. 【解析】: ,故选C. 答案:C【命题立意】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算. 8.（2009全国卷理）已知=2+i,则复数z=（B ）（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i解： 故选B。9.（2009安徽卷理）i是虚数单位，若，则乘积的值是 （A）15 （B）3 （C）3 （D）15解析 ，选B。 11.（2009江西卷理）若复数为纯虚数，则实数的值为 A B C D或答案：A【解析】由 故选A12.(2009湖北卷理)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni

27、）(n-mi)为实数的概率为A、 B、C、 D、13.（2009全国卷理）A. B. C. D. 解：原式.故选A.14.（2009辽宁卷理）已知复数，那么=（A） （B） （C） （D）15.（2009宁夏海南卷理）复数（A）0 （B）2 （C）-2i (D)2解析：,选D 【来源：全,品中&高*考+网】19.（2009宁夏海南卷文）复数（A） （B） （C） (D)【答案】C【解析】，故选.C。 21.（2009四川卷理）复数的值是. . . .【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。解析：，故选择A。22.（2009重庆卷理）已知复数的实部为，虚部为2，则=（ ）A B CD 【答案】

28、A【解析】因为由条件知，则，所以选A。二、填空题1.（2009江苏卷）若复数其中是虚数单位，则复数的实部为 。 3.（2009年上海卷理）若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I是虚数单位)，则其共轭复数=_ .2008年高考数学试题分类汇编复数一选择题：1.（2008全国一4）设，且为正实数，则（ D ）A2B1C0D6（2008江西卷1）在复平面内，复数对应的点位于DA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限7.（2008湖北卷11）设(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是，则z2的虚部为 .18.（2008湖南卷1）复数等于( D )A.8 B.8 C.8iD.8i9.（

29、2008陕西卷1）复数等于（ D ）ABC1D10.（2008重庆卷1）复数1+=A(A)1+2i (B)1-2i(C)-1(D)311.（2008福建卷1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为BA.1B.2C.1或2D.-112.（2008广东卷1）已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（ C ）ABCD13.（2008浙江卷1）已知是实数，是春虚数，则=A （A）1 （B）-1 （C） （D）-2006年高考数学试题分类汇编复数1（2006年福建卷）设则复数为实数的充要条件是 （D）（A）（B）（C）（D）2（2006年安徽卷）复数等于（ ）A B C D解

30、：故选A3（2006年广东卷）若复数满足方程，则A. B. C. D. 4由，故选D.5（2006年广东卷）对于任意的两个实数对（a,b）和(c,d),规定（a,b）(c,d)当且仅当ac,bd;运算“”为：，运算“”为：，设，若则A. B. C. D.6由得,所以,故选B.7（2006年陕西卷）复数等于（ C ） （A）（B）（C）（D）8( 2006年重庆卷)复数的值是_.9（2006年全国卷II） (A )（A）i （B）i （C） （D）10（2006年四川卷）复数的虚部为 （D）（A） （B） （C） （D） 11（2006年四川卷）非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有； （2）

31、存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算： 其中关于运算为“融洽集”_，_;（写出所有“融洽集”的序号）12（2006年天津卷）是虚数单位，（A）A BCD13. （2006年湖北卷）设、为实数，且，则+=_4_. 13解填4。由知，即，即，故解得。14（2006年全国卷I）如果复数是实数，则实数A B C D14两句话： 如果一个复数是实数，那只需要一个条件：虚部为0； 如果一个复数是纯虚数，那可就得俩条件：实部为0且虚部不为0。从第3小题和此题来看，这份卷子属于“温柔派”风格 总是在同类问题中选择最简单的。具体到本题，展开后，“原始项”共四项，但是我们并不关心

32、实部项，虚部项为：，只需：。选B 15（2006年江西卷）已知复数z满足（3i）z3i，则z（ D ）A B. C. D.解：故选D16（2006年北京卷）在复平面内，复数对应的点位于 (D)（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限17（2006年上海卷）若复数同时满足2，（为虚数单位），则 -1+i 18（ 2006年浙江卷）已知 ( C )(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2-I19 （2006年上海春卷）已知复数满足为虚数单位），求一个以为根的实系数一元二次方程.复数1（2005广东卷）若，其中、，使虚数单位，则(D)（）（）（）（）2.（2005北京卷）若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为 3. （2005福建卷）复数的共轭复数是（ B ）ABCD4. （2005湖北卷）（ C ）ABCD5. （2005湖南卷）复数zii2i3i4的值是（B）A1B0C1Di10. （2005天津卷）2若复数（aR，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（ C ）A2B4 C6 D611. （2005浙江卷）在复平面内，复数(1i)2对应的点位于