2020年高考数学满分技巧与限时训练：最值问题（解析版）.doc

1、 最值问题1、 考情分析与解析几何有关的范围、最值问题,高考中屡屡皆是,面对此类题目，往往无从下手。考查最值问题，不仅对圆锥曲线的基本性质的考查，而=更是涉及到对其他章节知识的考查。它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用二、经验分享1. 圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方

2、面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围； 利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；利用基本不等式求出取值范围；利用函数的值域的求法，确定取值范围2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围【知识拓展

3、】1.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有： ；若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有： ；同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：2.过椭圆左焦点的焦点弦为,则；过右焦点的弦.3. 抛物线与直线相交于且该直线与轴交于点，则有.4.设为过抛物线焦点的弦，直线的倾斜角为，则. . .；.；.；三、题型分析（一）利用题设条件，结合几何特征与性质求范围1.【2018北京石景山一模】如图，已知线段上有一动点（异于，），线段，且满足是大于且不等于的常数），则点的运

4、动轨迹为（ ）A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分【答案】 B【解析】 以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设是运动轨迹上任一点，且，则，.所以，所以，即，即且，所以点的运动轨迹为椭圆的一部分，故选B【变式训练1】【2018陕西延安二模】已知，为双曲线，的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设，由过的直线与圆相切，可得圆心到直线的距离，过向直线作垂线，垂足为，在直角三角形中，可得，即有，由OM为三角形的中线，可得，即，即有，再根据得到双曲线的离心率为.故选D【

5、变式训练2】【2018福建龙岩毕业班质检】 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示，当点位于第二象限时，过点作于点，轴于点，由抛物线的定义可得，由平行线的性质结合相似三角形的性质可得：，据此有：，所以，则，直线的方程为：，代入抛物线方程得.结合焦点弦公式可得：.结合对称性可知，当点位于第三象限时仍然有.故选C.【变式训练3】【2018-2020学年河北定州市高二上学期期中】过双曲线的右支上一点,分别向圆：和圆 ：作切线,切点分别为,则的最小值为（ ）A10 B13 C16 D19【答案】B【解析】由题可知

6、,因此.故选B（二）利用根的判别式或韦达定理或参数建立不等关系求范围例2.【2018河南八市下学期第一次测评】已知抛物线:与圆:，直线与交于，两点，与交于，两点，且，位于轴的上方，则 _【答案】【解析】圆的方程化为，直线 过抛物线焦点，结合抛物线定义，可得，由，得，所以，即.【变式训练1】 【2018福建龙岩三月质检】已知椭圆：的左、右焦点分别为和，离心率是，直线过点交椭圆于，两点，当直线过点时，的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线绕点运动时，试求的取值范围.【解析】（1）因为的周长为，所以， 又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为. （2）设，两点坐标分别为，当直线与轴重合，点与上顶

7、点重合时，当直线与轴重合，点与下顶点重合时，当直线斜率为时，当直线斜率存在且不为时，不妨设直线方程为，由，得，则有， 设，则，代入得 所以，即，解得，综上，. 【变式训练2】【2018山东济南一模】如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线：上，直线：与抛物线交于，两点，且直线，的斜率之和为.（1）求和的值；（2）若，设直线与轴交于点，延长与抛物线交于点，抛物线在点处的切线为，记直线，与轴围成的三角形面积为，求的最小值.【解析】（1）将点代入抛物线：，得，由，得，设，则， ，由已知得. （2）在直线的方程中，令得，直线的方程为：，即，由，得，解得：，或，所以，由，得，求导得，切线的斜率，切线的方程为

8、：，即，由，得直线、交点纵坐标，在直线，中分别令，得到与轴的交点，所以，求导得，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；所以当时，最小值为.【变式训练3】已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程. （2）设为椭圆上一点,若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和,且满足(O为坐标原点),求实数的取值范围.【分析】（1）由题意可得圆的方程为,圆心到直线的距离；根据椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c, 代入*式得,即可得到所求椭圆方程；（）由题意知直线的斜率存在,设直线方程为

9、,设,将直线方程代入椭圆方程得：,根据得到；设,应用韦达定理.讨论当k=0,的情况,确定的不等式.（）由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,设将直线方程代入椭圆方程得： 设,则8分当k=0时,直线l的方程为y=0,此时t=0,成立,故,t=0符合题意.当时得 将上式代入椭圆方程得：整理得：由知所以 【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于的等量关系；直线和椭圆的位置关系问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点在椭圆上和向量式得,进而求函数值域（三）利用基本不等式求范围 例3.【2018陕西榆林二模】已知抛物线的焦点为，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为_【答案】【解析】由已

10、知，得，因为，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.【变式训练1】已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解：(1)设F(c，0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1，2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d .所以OPQ的面积S

11、OPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.（四）求解函数值域得范围例4.已知抛物线：，为轴负半轴上的动点，、为抛物线的切线，、分别为切点，则的最小值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设切线的方程为代入抛物线方程，消去整理，因为直线与抛物线相切，所以，故所以方程为 ，解得所以点、的坐标分别为、.在方程中，令，可得，所以点的坐标为所以，所以当时，取得最小值故选C【变式训练1】已知椭圆：经过点，椭圆的一个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过点且与椭圆交于，两点，求的最大值.【

12、解析】（1）依题意，设椭圆的左，右焦点分别为，.则，所以，所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率存在时，设：，.由得.由得.由，得.设，则，所以.当直线的斜率不存在时，所以的最大值为. （五）利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围例5.已知，是椭圆的两个顶点，直线与直线相交于点，与椭圆相交于，两点，若，则斜率的值为（ ）A B C或 D或【答案】C【解析】依题意可得椭圆方程为，直线，的方程分别为：，.设，其中，且，满足方程，故，由，知，所以，由在上知，得，所以，化简得，解得或.故选C.【变式训练1】【2018四川雅安中学3月考】已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点，、是椭圆的左右焦点，为的内切圆圆

13、心，若，则的值是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】取线段的中点为，如图所示：则，即.因为，所以，所以，三点共线，所以，因为，所以，所以，即.因为椭圆的离心率为，所以，因为，即，所以.故选D.【变式训练2】设椭圆的左、右焦点分别为、，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】【解析】因为点在椭圆的内部，所以，即，解得. ，又因为，且，要恒成立，即，所以，所以椭圆离心率的取值范围是.四、迁移应用1.在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .【解析】 【解法一】：由，得，设斜率为的直线与曲线切

14、于，由，解得所以曲线上，点到直线的距离最小，最小值为【解法二】：由题意可设点的坐标为，则点到直线的距离，当且仅当等号成立，所以点到直线的距离的最小值为4.2在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上若，则的最大值为（ ）A3 B C D2【答案】A【解析】如图建立直角坐标系，则，由等面积法可得圆的半径为，所以圆的方程为，所以，由，得，所以=，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离小于半径，所以，解得，所以的最大值为3，即的最大值为3，选A3一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A或 B或 C或 D或【答案】D【解析】关于轴对称点的坐标为，设反射光线所在直线为，即，

15、则，解得或4将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）A对任意的， B当时，；当时，C对任意的， D当时，；当时，【答案】D【解析】由题意，由于，所以当时，所以；当时，而，所以所以当时，；当时，5设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）A B C D【答案】D【解析】由题意可设，圆的圆心坐标为，圆心到的距离为，当且仅当时取等号，所以，所以两点间的最大距离是6【2018全国卷】已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为(1)证明：；(2)设为的右焦点，为上一点，且证明：，成等差数列，并求该数列的公差【解析】(1)设，则，两式相减，并由得

16、由题设知，于是由题设得，故(2)由题意得，设，则由(1)及题设得，又点在上，所以，从而，于是同理所以故，即，成等差数列设该数列的公差为，则将代入得所以的方程为，代入的方程，并整理得故，代入解得所以该数列的公差为或7设椭圆()的左焦点为，上顶点为已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且(1)求椭圆的方程；(2)设直线：与椭圆在第一象限的交点为，且与直线交于点 若(O为原点) ，求k的值【解析】设椭圆的焦距为，由已知知，又由，可得由已知可得，由，可得，从而，所以，椭圆的方程为(2)设点的坐标为，点的坐标为由已知有，故又因为，而，故由，可得由方程组消去，可得易知直线的方程为，由方程组消去，可得由，可得，两

17、边平方，整理得，解得，或所以，的值为 8平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是、以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上（）求椭圆的方程；（）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线 交椭圆于两点，射线交椭圆于点( i )求的值；（ii）求面积的最大值【解析】（）由题意知，则，又，可得，所以椭圆的方程为（）由（I）知椭圆的方程为（i）设，由题意知，因为，又，即，所以，即（ii）设，将代入椭圆的方程，可得，由，可得 ，则有，所以因为直线与轴交点的坐标为，所以的面积令，将代入椭圆的方程，可得 ，由，可得 ，由可知 ，因此，故 ，当且仅当时，即时取得最大值，由（i）知，面积为，所以面积的最大值为