三个正数的算术几何平均不等式分解课件.ppt
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- 关 键 词:
- 三个 正数 算术 几何 平均 不等式 分解 课件
- 资源描述:
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1、3.三个正数的算术-几何平均不等式333,3a b cRabcabc引理:如果那么等号当且仅a=b=c时成立33333233332222222222223()333()333()()()3()()23()()1()()()()0,2abcabcaba babcabcabca bababcabcabab ccab abcabcaabbacbccababc abcabbccaabcabbcca证明:1.1.三个正数的算术三个正数的算术-几何平均不等式:几何平均不等式:(1)(1)如果如果a,b,cRa,b,cR+,那么那么a a3 3+b+b3 3+c+c3 3_,_,当且仅当当且仅当_时时,等号
2、成立等号成立.(2)(2)定理定理3 3:如果:如果a,b,cRa,b,cR+,那么那么 ,当且仅当当且仅当_时时,等号成立等号成立.abc33abc3abca=b=ca=b=c3abca=b=ca=b=c2.2.基本不等式的推广基本不等式的推广.对于对于n n个正数个正数a a1 1,a,a2 2,,a an n,它们的算术平均不小于它们的几何它们的算术平均不小于它们的几何平均平均,即即 _ _ 当且仅当当且仅当_时时,等号成立等号成立.12naaann12na aa,a a1 1=a=a2 2=a=an n1.1.如果如果x0 x0,如何求,如何求 的最小值的最小值?提示:提示:当且仅当当
3、且仅当x=1x=1时,取时,取“=”.=”.故故 最小值为最小值为3.3.212xx32221112xxx3 x x3.xxx 212xx2.2.若若ab0,ab0,则则 的最小值为的最小值为_._.【解析解析】因为因为ab0,ab0,所以所以a-b0,a-b0,所以所以当且仅当当且仅当 即即a=2,b=1a=2,b=1时,等号成立时,等号成立.答案:答案:3 31aab b11a(ab)b(ab)b(ab)b313(ab)b3,(ab)b 1abb(ab)b,3.3.设设x,y,zx,y,z00且且x+3y+4z=6,x+3y+4z=6,则则x x2 2y y3 3z z的最大值是的最大值是
4、_._.【解析解析】因为因为所以所以x x2 2y y3 3z1z1,当且仅当,当且仅当 即即 时,等时,等号成立号成立.所以所以x x2 2y y3 3z z的最大值为的最大值为1.1.答案:答案:1 1236xx6x3y4zyyy4z6 x y z,22xy4z2,1x2,y1z4,1.1.对不等式对不等式 成立的成立的a,b,ca,b,c的理解的理解(1)(1)在不等式中在不等式中a,b,ca,b,c的范围是的范围是a0,b0,c0.a0,b0,c0.(2)(2)三个正数的和为定值,积有最大值三个正数的和为定值,积有最大值.积为定值积为定值,和有最小值和有最小值,当且仅当三个正数相等时取
5、等号当且仅当三个正数相等时取等号.3abcabc3类型类型 一一 用平均不等式求最值用平均不等式求最值 【典型例题典型例题】1.1.当当x(0,1)x(0,1)时,函数时,函数y=xy=x2 2(1-x)(1-x)的最大值是的最大值是_._.2.2.为锐角,求为锐角,求y=sin cosy=sin cos2 2的最大值的最大值.【解题探究解题探究】1.1.题题1 1中各项系数有正,有负中各项系数有正,有负,如何构造和为定如何构造和为定值?值?2.2.题题2 2中正余弦的积的形式,如何构造和为定值?中正余弦的积的形式,如何构造和为定值?【解析解析】1.1.因为因为0 0 x x1,1,所以所以1
6、-x1-x0,0,所以当所以当 即即 时,时,答案:答案:23xx1xx x422yx(1x)4(1x)4(),2 2327 427x1x,2 2x3max4y.271.1.当当x(0,1)x(0,1)时,函数时,函数y=xy=x2 2(1-x)(1-x)的最大值是的最大值是_._.2.2.由由y=sin cosy=sin cos2 2得,得,y y2 2=sin=sin2 2coscos4 4当且仅当当且仅当2sin2sin2 2=cos=cos2 2,即,即 时取等号,此时时取等号,此时22212sincoscos222231 2sincoscos4(),23273sin 3 max2 3
7、y.92.2.为锐角,求为锐角,求y=sincos2y=sincos2的最大值的最大值.【拓展提升拓展提升】1.1.用平均不等式求最值的方法用平均不等式求最值的方法(1)(1)利用三个正数的算术利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值,可简记为几何平均不等式求最值,可简记为“积定和最小,和定积最大积定和最小,和定积最大”.(2)(2)应用平均不等式,要注意三个条件,即应用平均不等式,要注意三个条件,即“一正、二定、三一正、二定、三相等相等”同时具备时,方可取得最值同时具备时,方可取得最值.其中定值条件决定着平均其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性,获得定值需要一定的技巧,如配系数、不等式应
8、用的可行性,获得定值需要一定的技巧,如配系数、拆项、分离常数、平方变形等拆项、分离常数、平方变形等.(3)(3)当不具备使用平均不等式的条件时,求函数的最值可考虑当不具备使用平均不等式的条件时,求函数的最值可考虑利用函数的单调性利用函数的单调性.2.2.拼凑定值方法在基本不等式中的应用拼凑定值方法在基本不等式中的应用利用平均不等式求解最值问题的前提是要求代数式的和或者利用平均不等式求解最值问题的前提是要求代数式的和或者积为定值,而题目条件往往无法满足,此时可以将平均不等积为定值,而题目条件往往无法满足,此时可以将平均不等式的取等条件作为出发点,拼凑定和式的取等条件作为出发点,拼凑定和(或积或积
9、),求积,求积(或和或和)的的最大最大(或小或小)值值.【变式训练变式训练】已知已知a,b,cRa,b,cR+,求求 的最小值的最小值.【解析解析】当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时取等号时取等号.故最小值为故最小值为9.9.abcbca()()bcaabc222222abcbcabcacababc()()3bcaabcabcbccaab2226222bc ac ab abc369,abcbc ac ab类型类型 二二 用平均不等式证明不等式用平均不等式证明不等式 【典型例题典型例题】1.1.已知已知a,b,cRa,b,cR+,求证:求证:2.2.设设a,b,cRa,b,cR+,求证:,求
10、证:【解题探究解题探究】1.1.题题1 1中如果将不等式的左边展开,可以证明不中如果将不等式的左边展开,可以证明不等式成立吗?等式成立吗?2.2.题题2 2中利用一次平均不等式能否证明不等式成立中利用一次平均不等式能否证明不等式成立?1119(abc)().abbcac2333111abc2 3.abc探究提示:探究提示:1.1.如果将不等式的左边展开,则不等式变为:如果将不等式的左边展开,则不等式变为:无法利用平均不等式来证明无法利用平均不等式来证明.2.2.不能不能.因为左边有分式,也有整式的形式,要用一次平均不因为左边有分式,也有整式的形式,要用一次平均不等式,还要利用一次基本不等式等式
11、,还要利用一次基本不等式.cab3abbcac,【证明证明】1.1.因为因为a,b,cRa,b,cR+,所以所以(a+b)+(b+c)+(a+ca+b)+(b+c)+(a+c)所以所以又又 所以所以当且仅当当且仅当a+ba+b=b+cb+c=c+ac+a,即,即a=b=ca=b=c时,等号成立时,等号成立.33(ab)(bc)(ac),33abc(ab)(bc)(ac).231111113,abbcacab bc ac1119(abc)().abbcac22.2.因为因为a,b,cRa,b,cR+,所以所以所以所以而而所以所以当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时等号成立时等号成立.33333
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