人教版高中数学必修五同课异构课件：3.3.2 简单的线性规划问题 第2课时 简单线性规划的应用 情境互动课型 .ppt

1、第2课时 简单线性规划的应用 在实际问题中常遇到两类问题：在实际问题中常遇到两类问题： 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件一是在人力、物力、资金等资源一定的条件 下，如何使用它们来完成最多的任务；下，如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理地安排和规划二是给定一项任务，如何合理地安排和规划 能以最少的人力、物力、资金等资源来完成它能以最少的人力、物力、资金等资源来完成它. . 下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用. . 1.1.体会线性规划的基本思想，并能借助几何直体会线性规划的基本思想，并能借助几何直 观解决一些简单的实际问题

2、；观解决一些简单的实际问题；( (重点）重点） 2.2.利用线性规划解决具有限制条件的不等式；利用线性规划解决具有限制条件的不等式； 3.3.培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提 高学生数学建模和解决实际问题的能力高学生数学建模和解决实际问题的能力. . 一、用量最省问题一、用量最省问题 例例1 1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供供0.075 kg0.075 kg的碳水化合物的碳水化合物,0.06 kg,0.06 kg的蛋白质的蛋白质,0.06 kg,0.06 kg 的脂肪的脂肪.1 kg.1 k

3、g食物食物A A含有含有0.105 kg0.105 kg碳水化合物碳水化合物,0.07 kg,0.07 kg 蛋白质蛋白质,0.14 kg,0.14 kg脂肪脂肪, ,花费花费2828元元; ;而而1 kg1 kg食物食物B B含有含有 0.105 kg0.105 kg碳水化合物碳水化合物,0.14 kg,0.14 kg蛋白质蛋白质,0.07 kg,0.07 kg脂肪脂肪, ,花花 费费2121元元. .为了满足营养专家指出的日常饮食要求为了满足营养专家指出的日常饮食要求, ,同时同时 使花费最低使花费最低, ,需要同时食用食物需要同时食用食物A A和食物和食物B B多少多少kg?kg? 探究

4、点探究点1 1 简单线性规划问题及在实际问题中的应用简单线性规划问题及在实际问题中的应用 分析分析: :将已知数据列成下表：将已知数据列成下表： 0.070.07 0.140.14 0.1050.105 0.140.14 0.070.07 0.1050.105 B B A A 脂肪脂肪/kg/kg 蛋白质蛋白质/kg/kg 碳水化合物碳水化合物/kg/kg 食物食物/kg/kg 解解: :设每天食用设每天食用x kgx kg食物食物A, y kgA, y kg食物食物B, B, 总成总成 本为本为z.z.那么那么x,yx,y满足的约束条件是满足的约束条件是: : 0 1050 1050 075

5、 0 070 140 06 0 140 070 06 0 0 .x.y., .x.y., .x.y., x, y. 目标函数为目标函数为z=28x+21y. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，作出二元一次不等式组所表示的平面区域， 即可行域即可行域. . 775, 7146, 1476, 0, 0. xy xy xy x y 二元一次不等式组等价于二元一次不等式组等价于 zzzz 是是直直在在y上y上的的截截距距，取取最最小小值值， 21212121 z的z的值值最最小小. 然. 然直直要要与与可可行行域域相相交交，即即在在 足足束束件件目目函函z = 28x+21y取z = 28x+21

6、y取得得最最小小 值值. . 线轴当时 当线 满约条时标数 4z4z 考 考z = 28x+21y，z = 28x+21y，它它形形y = -x+，y = -x+， 321321 4 4 是是斜斜率率-、-、z化z化的的一一族族平平行行直直. . 3 3 虑将变为 这为随 变线 x O 1476xy 7146xy 3 7 4 7 5 7 6 7 1 3 7 5 7 6 7 4 3 yx y 775xy M 由图知由图知, ,当直线当直线 经过可行域上的点经过可行域上的点M M时时, ,截距截距 最小最小, , 即即z z最小最小. 2821zxy z 21 解方程组解方程组 得得M M的坐标为

7、的坐标为 775 1476 xy, xy, 14 () 77 ,. 所以所以z zmin min=28x+21y=16. =28x+21y=16. 答：每天食用食物答：每天食用食物A A约约143 g143 g，食物，食物B B约约571 g571 g， 能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低 成本为成本为1616元元. . 解线性规划应用问题的一般步骤：解线性规划应用问题的一般步骤： 1.1.理清题意，列出表格；理清题意，列出表格； 2.2.设好变量，列出线性约束条件（不等式组）设好变量，列出线性约束条件（不等式组） 与目标函数；与目标函数； 3.3

8、.准确作图；准确作图； 4.4.根据题设精确计算根据题设精确计算. . 【提升总结提升总结】 铁矿石铁矿石A和和B的含铁率的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的，冶炼每万吨铁矿石的 CO2的排放量的排放量b及每万吨铁矿石的价格及每万吨铁矿石的价格c如下表：如下表： a b(万吨万吨) c(百万元百万元) A 50% 1 3 B 70% 0.5 6 某冶炼厂至少要生产某冶炼厂至少要生产1.9(万吨万吨)铁，若要求铁，若要求CO2的排放的排放 量不超过量不超过2(万吨万吨)，则购买铁矿石的最少费用为，则购买铁矿石的最少费用为 _ (百万元百万元) 【变式练习变式练习】 1515 【解析解析】可设需购买可设

9、需购买A A矿石矿石 x 万吨万吨，B B矿石矿石 y 万吨万吨， 则根据题意得到约束条件为则根据题意得到约束条件为： x0， y0， 0.5x0.7y1.9， x0.5y2， 目标函数为目标函数为z3x6y，当目标函数经过，当目标函数经过(1,2)点时点时 目标函数取最小值，最小值为：目标函数取最小值，最小值为：zmin3162 15. 例例2 2 要将两种大小不同的钢板截成要将两种大小不同的钢板截成A A，B B，C C三种规三种规 格格, ,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数 如下表所示如下表所示: : A A规格规格 B B规格规格 C C

10、规格规格 第一种钢板第一种钢板 第二种钢板第二种钢板 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 今需要今需要A A，B B，C C三种规格的成品分别三种规格的成品分别15,18,2715,18,27 块，用数学关系式和图形表示上述要求块，用数学关系式和图形表示上述要求各截这各截这 两种钢板多少张可得所需两种钢板多少张可得所需A A，B B，C C三种规格成品，三种规格成品， 且使所用钢板张数最少？且使所用钢板张数最少？ 规格类型规格类型 钢板类型钢板类型 分析：分析：列表列表 A A规格规格 B B规格规格 C C规格规格 第一种钢板第一种钢板 第二种钢板第二种钢板 2 2 1 1 1

11、1 2 2 1 1 3 3 张数张数 成品块数成品块数 x y 2xy 2xy 3xy 解：解：设需截第一种钢板设需截第一种钢板x x张，第二种钢板张，第二种钢板y y张，共张，共 需截这两种钢板共需截这两种钢板共z z张，则张，则 215 218 327 0 0 xy, xy, xy, x, y. 线性目标函数线性目标函数 .zxy 2x+y=15 x+3y=27 x+2y=18 x O y 0xyM 作出一组平行直线作出一组平行直线 z=x+yz=x+y，当直线经过可行域上的，当直线经过可行域上的 点点M M时，时，z最小最小. . 作出可行域如图所示：作出可行域如图所示： 由于由于 都不

12、是整数，而此问题中的最优解都不是整数，而此问题中的最优解 中，中， 必须都是整数，所以点必须都是整数，所以点 不是最优不是最优 解解. . 解方程组解方程组 327, 215, xy xy 18 39 (,). 55 M 18 39 , 55 得得 ( , )x y ,x y 18 39 (,) 55 使截距使截距z z最小的直线为最小的直线为 ， 经过的整点是经过的整点是B(3,9)B(3,9)和和C(4,8)C(4,8)， =12xy 它们是最优解它们是最优解. . z=12. min 答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两 种钢板张数最小的方法有

13、两种，第一种截法是种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是 第一种钢板第一种钢板3 3张，第二种钢板张，第二种钢板9 9张；第二种截法张；第二种截法 是截第一种钢板是截第一种钢板4 4张，第二种钢板张，第二种钢板8 8张；两种截张；两种截 法都最少要两种钢板法都最少要两种钢板1212张张. . 两类药片有效成分如下表所示，若要求至少两类药片有效成分如下表所示，若要求至少 提供提供12毫克阿司匹林，毫克阿司匹林，70毫克小苏打，毫克小苏打，28毫克可毫克可 待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价 格最低？格最低？ 成分成分 种类种类 阿司匹林阿司匹林

14、 小苏打小苏打 可待因可待因 每片价格每片价格( (元元) ) A A( (毫克毫克/ /片片) ) 2 2 5 5 1 1 0.10.1 B B( (毫克毫克/ /片片) ) 1 1 7 7 6 6 0.20.2 【变式练习变式练习】 解析解析 设设 A，B 两种药品分别为两种药品分别为 x 片和片和 y 片片(x，yN)， 则有则有 2xy12， 5x7y70， x6y28， x0， y0， 两类药片的总数为两类药片的总数为zxy，两类药片的价格和为，两类药片的价格和为k0.1x0.2y. 如图所示，作直线如图所示，作直线 l：xy0， 将直线将直线 l 向右上方平移至向右上方平移至 l1

15、位置时，位置时， 直线经过可行域上一点直线经过可行域上一点 A，且与原，且与原 点最近点最近 解方程组解方程组 2xy12， 5x7y70， 得交点得交点 A 坐标坐标 14 9 ，80 9 . 由于由于A不是整点，因此不是不是整点，因此不是z的最优解，结合图的最优解，结合图 形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直 线是线是xy11，经过的整点是，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)， 因此因此z的最小值为的最小值为11. 药片最小总数为药片最小总数为11片片 同理可得，当同理可得，当x3，y8时，时，k取最小值取最小值1.9， 因

16、此当因此当A类药品类药品3片、片、B类药品类药品8片时，药品价片时，药品价 格最低格最低 例例3 3 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4 t4 t、硝酸盐、硝酸盐18 t18 t；生；生 产产1 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1 t1 t、硝酸、硝酸 盐盐15 t15 t现在库存磷酸盐现在库存磷酸盐10 t10 t、硝酸盐、硝酸盐66 t66 t，在此基，在此基 础上生产这两种混合肥料础上生产这两种混合肥料. .列出满足生产条件的数学关列出满足

17、生产条件的数学关 系式，并画出相应的平面区域若生产系式，并画出相应的平面区域若生产1 1车皮甲种肥料，车皮甲种肥料， 产生的利润为产生的利润为10 00010 000元；生产元；生产1 1车皮乙种肥料，产生的车皮乙种肥料，产生的 利润为利润为5 0005 000元元. .那么分别生产甲、乙两种肥料各多少那么分别生产甲、乙两种肥料各多少 车皮，能够产生最大的利润？车皮，能够产生最大的利润？ 二、效益最佳问题二、效益最佳问题 解：解：设生产设生产x x车皮甲种肥料、车皮甲种肥料、y y车皮乙种肥料，能够车皮乙种肥料，能够 产生利润产生利润z z万元，则目标函数为万元，则目标函数为 分析：分析：列表

18、列表 4 4 1818 1 1 1515 甲种肥料甲种肥料 乙种肥料乙种肥料 磷酸盐磷酸盐(t)(t) 硝酸盐硝酸盐(t(t） 总吨数总吨数 车皮数车皮数 4xy1815xy x y 利润利润( (元元) ) 10 00010 000 5 0005 000 410 181566 0 0. ， ， 约束条件为 ， xy xy x y z0.5 .xy y x O 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 4=10xy1815 =66xy 作出可行域，作出可行域， 2yx M 直直y = -2x+2z可y = -2x+2z可行行域域上上 的的M，M，z最z最大大. . 当线经过 点 时 变为把把z

19、 = x+0.5y形z = x+0.5y形 y = -2x+2z,y = -2x+2z, 得到斜率为得到斜率为- -2 2，在，在y y轴轴 上的截距为上的截距为2z2z，随，随z z变变 化的一族平行直线化的一族平行直线. . maxmax 18x+15y =66,18x+15y =66, 解解方方程程得得M的M的坐坐(2,2).(2,2). 4x+y =10,4x+y =10, 所所以以z=2+0.5z=2+0.52=3.2=3. 组标为 答：生产甲、乙两种肥料各答：生产甲、乙两种肥料各2 2车皮，能够产生车皮，能够产生 最大利润，最大利润为最大利润，最大利润为3 3万元万元. . 某工厂

20、生产甲、乙两种产品某工厂生产甲、乙两种产品. .已知生产甲种产品已知生产甲种产品 1 1 t t需耗需耗A A种矿石种矿石10 t10 t、B B种矿石种矿石5 t5 t、煤、煤4 t4 t；生产；生产 乙种产品乙种产品1 t1 t需耗需耗A A种矿石种矿石4 t4 t、B B种矿石种矿石4 t4 t、煤、煤9 t.9 t. 每吨甲种产品的利润是每吨甲种产品的利润是600600元，每吨乙种产品的利元，每吨乙种产品的利 润是润是1 0001 000元元. . 工厂在生产这两种产品的计划中要工厂在生产这两种产品的计划中要 求消耗求消耗A A种矿石不超过种矿石不超过300 t300 t、B B种矿石

21、不超过种矿石不超过 200 t200 t、煤不超过、煤不超过363 t.363 t.甲、乙两种产品应各生产甲、乙两种产品应各生产 多少吨，能使利润总额达到最大多少吨，能使利润总额达到最大? ? 【变式练习变式练习】 将已知数据列成下表：将已知数据列成下表： 分析：分析： A A种矿石种矿石(t)(t) B B种矿石种矿石(t)(t) 煤煤(t)(t) 甲产品甲产品(1 t)(1 t) 乙产品乙产品(1 t)(1 t) 资源限额 资源限额(t)(t) 利润利润( (元元) ) 1010 5 5 4 4 600600 4 4 4 4 9 9 1 0001 000 300300 200200 363

22、363 解：解：设生产甲、乙两种产品分别为设生产甲、乙两种产品分别为x tx t、y ty t， 利润总额为利润总额为z z元，则元，则 10x4y300, 5x4y200, 4x9y363, x0, y0; 作出如图所示的可行域，作出如图所示的可行域， 3z z600x1 000yyx. 51 000 可变形为 z600x1 000y. 54200xy y x O 10 10 104300xy 49363xy 0 3 : 5 lyx l线 0 0 3 3 作作:y = -x及:y = -x及其其平平行行， 5 5 M 3z3z 直直y = -x+M，y = -x+M， 51 00051 00

23、0 z最z最大大. . 当线经过点 时 解方程组：解方程组： 5x4y200, 4x9y363, 标标为为得得M的M的坐坐(12, 35).(12, 35). 答：甲、乙两种产品应各生产答：甲、乙两种产品应各生产12 t,35 t12 t,35 t，能使利润，能使利润 总额达到最大，利润总额最大为总额达到最大，利润总额最大为42 20042 200元元. . max z600 12 1 000 3542200.（元） 得点得点 例例4 4 若二次函数若二次函数 的图象过原点，且的图象过原点，且 求求 的范围的范围. . ( )yf x ( 2)f 3(1)4,f 1( 1)2,f 设条 关数数

24、 围线规识 2 2 f(x)= ax +bx(a 0), 由f(x)= ax +bx(a 0), 由已已知知件件可可以以得得到到 于于二二次次函函y = f(x)的y = f(x)的系系a,b的a,b的不不等等式式，f(-2)=f(-2)= 4a-2b的4a-2b的范范可可用用性性 分分： 划划知知 析析 求求解解. . 探究点探究点2 2 利用简单线性规划求变量的范围利用简单线性规划求变量的范围 2 2 y = f(x)的y = f(x)的象象原原，所所以以 f(x)= ax +bx(af(x)= ax +bx(a0).0). 所所以以f(-1)= a-b,f(1)= a+b.f(-1)=

25、a-b,f(1)= a+b. 1a-b2,1a-b2, 所所以以 3a+b4.3a+b4. f(-2)=4a-2b.f(-2)=4a-2b. 令令z=4a-2bz=4a-2b 解解：因因 . . 图过点设 为 作出如图所示的可行域，作出如图所示的可行域， 变为 线l0 0 z z z = 4a-2b可z = 4a-2b可形形b = 2a-.b = 2a-. 2 2 作作:b = 2a及:b = 2a及其其平平行行. . O b a 1 2 2 4 24 AB 2ba 3ab 1ab 4ab 2ab 由图可知，由图可知， z z 直直b = 2a-b = 2a- 2 2 可可行行域域上上的的A，

26、A， z z 截截距距-最-最大大，即即z最z最小小. . 2 2 z z B，B，截截距距-最-最小小， 2 2 即即z最z最大大. . 当线经过 点 时 经过点 时 组组 组组 minmin maxmax a-b =1,a-b =1, 由由方方程程得得A(2,1).A(2,1). a+b =3a+b =3 所所以以z= 4a-2b = 4z= 4a-2b = 42-22-21= 6.1= 6. a-b = 2,a-b = 2, 由由方方程程得得B(3,1).B(3,1). a+b = 4a+b = 4 所所以以z= 4a-2b = 4z= 4a-2b = 43-23-21=10.1=10.

27、 所所以以6f(-2) 10.6f(-2) 10. 将求变量范围的问题巧妙地转化为简单将求变量范围的问题巧妙地转化为简单 的线性规划问题进行求解，减少了失误的线性规划问题进行求解，减少了失误. . 【提升总结提升总结】 已已知知f(x)=(3a-1)x+b-a,xf(x)=(3a-1)x+b-a,x0, 1,0, 1,若若f(x)f(x)1 1恒恒成成立立， 则则a+ba+b的的最最大大值值是是 . . 5 3 【变式练习变式练习】 C C 1.（2013 湖南高考）若变量湖南高考）若变量 , x y 满足约束条件满足约束条件 ， 5 - 2 0 5 3 5 2A B C D （ ） 2.（2

28、015北京高考北京高考）若若 x，y 满足满足 0 1 0 xy xy x ， ， ， 则则 2zxy 的最大值为（的最大值为（ ） A0 B1 C 3 2 D2 D D 【解析】如图，先画出可行域，由于【解析】如图，先画出可行域，由于 2zxy ， 则则 11 22 yxz ，令，令 0Z， 作直线作直线 1 2 yx ，在可行域中，在可行域中 作平行线，得最优解作平行线，得最优解(0,1)， 此时直线的截距最大，此时直线的截距最大， Z 取得最小值取得最小值 2. 3.（2015陕西高考陕西高考）某企业生产甲、乙两种产品均需用某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料已知生产两种原料

29、已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原吨每种产品需原料及每天原 料的可用限额如表所示，料的可用限额如表所示， 甲甲 乙乙 原料限额原料限额 A （吨）（吨） 3 2 12 B（吨）（吨） 1 2 8 如果生产如果生产 1 吨甲、 乙产品可获利润分别为吨甲、 乙产品可获利润分别为 3 万元、万元、 4 万元，万元， 则该企业每天可获得最大利润为（则该企业每天可获得最大利润为（ ） A12 万元万元 B16 万元万元 C17 万元万元 D18 万元万元 D D 【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 x、y 吨，吨， 则利润则利润 34zxy 由题

30、意可列由题意可列 3212, 28, 0, 0, xy xy x y 其表示如图阴影部分区域：当直线其表示如图阴影部分区域：当直线 3x+4y-z=0 过点过点 A(2,3)时，时， Z 取得最大值，所以取得最大值，所以max 3 24 318z ，故选，故选 D 4.4.（20132013北京高考）设北京高考）设D D为不等式组为不等式组 表示的平面区域，区域表示的平面区域，区域D D上的点与上的点与 点（点（1 1，0 0）之间的距离的最小值为）之间的距离的最小值为_._. 2 5 5 1.1.设所求的未知数；设所求的未知数； 2.2.列出约束条件；列出约束条件； 3.3.建立目标函数；建立目标函数； 4.4.作出可行域；作出可行域； 5.5.运用图解法，求出最优解运用图解法，求出最优解; ; 6.6.实际问题需要整数解时，适当调整，确定最实际问题需要整数解时，适当调整，确定最 优解优解. . 一、利用简单的线性规划解决实际问题的一般步骤：一、利用简单的线性规划解决实际问题的一般步骤： 二、利用线性规划知识解决具有限制条件的函数不等式二、利用线性规划知识解决具有限制条件的函数不等式. . 人生是个圆，有的人走了一辈子也没有 走出命运画出的圆圈，他就是不知道，圆上的 每一个点都有一条腾飞的切线。