人教版高中数学必修五同课异构课件：1.1.2 余弦定理 情境互动课型 .ppt

1、1.1.2 余弦定理 甲乙两位同学均住在世博园的附近，已知甲同学家距离甲乙两位同学均住在世博园的附近，已知甲同学家距离 世博园入口处世博园入口处300300米，乙同学家距离世博园入口处米，乙同学家距离世博园入口处400400米，米， 某天，甲乙两位同学相约一同参观世博园，请问，你能求某天，甲乙两位同学相约一同参观世博园，请问，你能求 出甲乙两同学家相距多少米吗？出甲乙两同学家相距多少米吗？ 已知三角形的任意两角及其一边已知三角形的任意两角及其一边； 问题问题1 1 运用正弦定理能解怎样的三角形运用正弦定理能解怎样的三角形？ 已知三角形的任意两边与其中一边的对角已知三角形的任意两边与其中一边的对

2、角. . 提示提示: 问题问题2 2 如果已知三角形的两边及其夹角，如果已知三角形的两边及其夹角，能能 解这个三角形吗？解这个三角形吗？ 根据三角形全等的判定方法，这个三角形根据三角形全等的判定方法，这个三角形 是大小、形状完全确定的三角形是大小、形状完全确定的三角形. . 从量化的角度来看，如何从已知的两边和从量化的角度来看，如何从已知的两边和 它们的夹角求三角形的另一边和两个角？它们的夹角求三角形的另一边和两个角？ 这就是我们这节课要讲的内容这就是我们这节课要讲的内容. . 提示提示: 1.1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理 的向量方法的向

3、量方法. .（重点）（重点） 2.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问 题题. .( (难点难点) ) 探究点探究点1 1 余弦定理及其推论余弦定理及其推论 用正弦定理试求，发现因用正弦定理试求，发现因A A、 B B均未知，所以较难求边均未知，所以较难求边c.c. 由于涉及边长问题，从而可由于涉及边长问题，从而可 以考虑用向量来研究这个问题以考虑用向量来研究这个问题. . 即：如图，在即：如图，在ABCABC中，设中，设BC=a, AC=b, AB=c.BC=a, AC=b, AB=c. 已知已知a, ba, b和和C C，求边，求边c. c. A

4、 B C b c a 提示提示: A B C b c a 所所以以 222222 c = a -2 a b cosC+ b ，c = a -2 a b cosC+ b ， 22 22 22 . 2 2cos 依依条条件件可可知知， CB=aCB=a， CA=bCA=b， AB=cAB=CBCAAB=cAB=CBCA 因因为为 AB = CBCAAB = CBCA =CBCB CACA =CBCB CACA = CBCB CAC+ CA = CBCB CAC+ CA 222 222 222 2cos 2cos 即即c =ababcosCc =ababcosC 同同理理可可得得a =bcbcAa

5、=bcbcA b =acacB b =acacB +-2+-2 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平三角形中任何一边的平方等于其他两边的平 方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两 倍，即倍，即 余弦定理余弦定理 注：注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角 求出三角形的第三条边求出三角形的第三条边. . 222 222 222 abc2bccosA bac2accosB cab2abcosC. ； ； 这个式子中有几个量？从方程的角度看已知这个式子中有几个量？从方程的角度看已知 其中三个量，可以求出第四个量

6、，能否由三边求其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求 出一角？出一角？ 式子中共有式子中共有4 4个量个量. .已知其中三个量，可以求出已知其中三个量，可以求出 第四个量，当然能由三边求出一角第四个量，当然能由三边求出一角. . 提示提示: 余弦定理的推论：余弦定理的推论： 注注: : 由上述推论由上述推论, , 可以由三角形的三条边求出可以由三角形的三条边求出 三角形的三个角三角形的三个角. . 222 222 222 cos 2 cos 2 bcabca A=A= bcbc acbacb B=B= acac abcabc cosC=cosC= abab +-+- 2 2 思考：思考：勾

7、股定理指出了直角三角形中三边平方之勾股定理指出了直角三角形中三边平方之 间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边 平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定 理是余弦定理的特例理是余弦定理的特例. . 22222 cos900 . ，则则= = ，这这若若在在 ABCABC中中，C=90C=90 c =ababcosC=abc =ababcosC=ab 时时 +-2+-2+ 提示提示: （20142014福建高考）在福建高考

8、）在ABC中，中，A 60 ,AC2,BC3, , 则则AB等于等于_. . 【解析】【解析】由余弦定理由余弦定理 222 2cosBCABACAB ACA，得，得 2 342 2cos60 ABAB ，即，即 2 210 ABAB ，解得，解得 1AB 答案：答案：1 1 【即时练习即时练习】 探究点探究点2 2 余弦定理及其推论的基本作用余弦定理及其推论的基本作用 已知三角形的任意两边及它们的夹角可以求出已知三角形的任意两边及它们的夹角可以求出 第三边；第三边； 已知三角形的三条边就可以求出角已知三角形的三条边就可以求出角. . 已知三角形两边及其一边对角，可求其他已知三角形两边及其一边对

9、角，可求其他 的角和第三条边的角和第三条边. . 在在ABCABC 中，若中，若 b b 2 2 a a 2 2 c c 2 2 acac，则，则 B B 等于等于 ( ( ) ) A A60 60 B B4545或或 135135 C C120 120 D D3030 C 【即时练习即时练习】 例例1 1 在在ABCABC中，已知中，已知b=60 cmb=60 cm，c=34 cmc=34 cm， A=41A=41 ，解三角形（角度精确到，解三角形（角度精确到1 1，边长精确到，边长精确到 1 cm1 cm）. . 解：解：方法一：方法一： 根据余弦定理，根据余弦定理， a a =b=b +

10、c+c - -2bccosA2bccosA =60=60 +34+34 - -2 260603434cos41cos41o o 1 676.82 1 676.82， 所以所以a41(cm).a41(cm). 由正弦定理得，由正弦定理得， 因为因为c c不是三角形中最大的边，所以不是三角形中最大的边，所以C C是锐角，利是锐角，利 用计算器可得：用计算器可得： C33C33，B=180B=180o o- -(A+C)180(A+C)180o o- -(41(41o o+33+33o o)=106)=106. . csinA34csinA34sin41sin41 34340.6560.656 si

11、nC =0.5440.sinC =0.5440. a4141a4141 根据余弦定理，根据余弦定理， a a =b=b +c+c - -2bccosA2bccosA =60=60 +34+34 - -2 260603434cos41cos41o o 1 676.821 676.82， 所以所以a41(cm).a41(cm). 由余弦定理得由余弦定理得 所以利用计算器可得所以利用计算器可得C33C33， B=180B=180o o- -(A+C)180(A+C)180o o- -(41(41o o+33+33o o)=106)=106. . 方法二：方法二： 222222 a +b -ca +b

12、 -c cosC =0.8384cosC =0.8384 2ab2ab 在在ABC 中，中，AB4，BC3，B60 ，则，则 AC 等于等于 _ 13 解析解析 由条件已知三角形的两边及其夹角，故可以由条件已知三角形的两边及其夹角，故可以 直接利用余弦定理求得边直接利用余弦定理求得边 AC，即，即 AC2AB2BC2 2AB BCcosB1692431 2 13. 所以所以 AC 13. 【变式练习变式练习】 注意：注意：一般地，在“知三边及一角”要求剩下的一般地，在“知三边及一角”要求剩下的 两个角时，应先求最小的边所对的角两个角时，应先求最小的边所对的角. . 思考思考: :在解三角形的过

13、程中，求某一个角时既在解三角形的过程中，求某一个角时既 可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什 么利弊呢？么利弊呢？ 例例2 2 在在ABCABC中，已知中，已知a=134.6 cma=134.6 cm，b=87.8 cmb=87.8 cm， c=161.7 cmc=161.7 cm，解三角形（角度精确到，解三角形（角度精确到11）. . 解：解：由余弦定理的推论得：由余弦定理的推论得： 222222 222222 b +c -ab +c -a cosA =cosA = 2bc2bc 87.8 +161.7 -13487.8 +161.7 -134 0

14、.550.55 .6.6 = = 2 2 4 3，4 3， 所所以以A A 87.887.8 5656 161.161. 2020 7 7 ， 222222222222 0.8398， 0.8398， a +c -b134.6 +161.7 -87.8a +c -b134.6 +161.7 -87.8 cosB =cosB = 2ac22ac2134.6134.6161.7161.7 ， 所所 所所以以B32B325353 - （- （A+B）A+B） - （- （5656202053）53） 以以C =C = = = 180180180180 9090 + 2+ 2 4747 3 3 . .

15、 边长为边长为 5、7、8 的三角形中，最大角与最小角的和是的三角形中，最大角与最小角的和是 _ 120 解析解析 设中间角为设中间角为 ， 由于， 由于 875， 故， 故 的对边长为的对边长为 7，由余弦定理，得，由余弦定理，得 cos5 2 8272 258 1 2.所以 所以 60 ，故，故 另外两角和为另外两角和为 180 60 120 . 【变式练习变式练习】 思考：思考：在已知三边时，一般先利用余弦定理求哪在已知三边时，一般先利用余弦定理求哪 个角？然后用正弦定理还是继续用余弦定理求角？个角？然后用正弦定理还是继续用余弦定理求角？ 在已知三边时，一般先利用余弦定理求两个在已知三边

16、时，一般先利用余弦定理求两个 较小的角（大边对大角较小的角（大边对大角, ,小边对小角），然后再小边对小角），然后再 由三角形内角和求第三角由三角形内角和求第三角. . 提示提示: 已知条件已知条件 定理选用定理选用 一般解法一般解法 一边和两角一边和两角 ( (如如a,B,C)a,B,C) 两边和夹角两边和夹角 ( (如如a,b,C)a,b,C) 两边和其中一两边和其中一 边的对角边的对角 ( (如如a,b,A)a,b,A) 三边三边(a,b,c)(a,b,c) 由由A+B+C=180A+B+C=180求角求角A,A,由正弦定理由正弦定理 求出求出b b与与c.c. 解三角形的四种基本类型解

17、三角形的四种基本类型 正弦定理正弦定理 余弦定理余弦定理 由余弦定理求出第三边由余弦定理求出第三边c c，再由，再由 正弦定理求出剩下的角正弦定理求出剩下的角. . 正弦定理正弦定理 由正弦定理求出角由正弦定理求出角B,B,再求角再求角C,C, 最后求出最后求出c c边边. .可有两解可有两解, ,一解一解 或无解或无解. . 余弦定理余弦定理 先由余弦定理求出其中两个角先由余弦定理求出其中两个角, ,再利再利 用内角和为用内角和为180180求出第三个角求出第三个角. . 1在在ABC 中，中，sinA: : sinB: :sinC3: :5: :7，则，则ABC 是是( ) A锐角三角形锐

18、角三角形 B直角三角形直角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D无法确定无法确定 C 解析解析 由正弦定理， 得由正弦定理， 得a: :b: :csinA: :sinB: :sinC3: :5: :7. 设设 a3k，b5k，c7k(k0)，由于，由于 cba，故角，故角 C 是是ABC 中最大的角，中最大的角， 因为因为 cosCb 2 a2c2 2ab 5k 2 3k 2 7k 2 25k3k 1 290 ，即，即ABC 为钝角三角形为钝角三角形 2 2在在ABCABC 中，若中，若 a a 2 2 bcbc，则角，则角 A A 是是 ( ( ) ) A A锐角锐角 B B钝角钝角 C C直角

19、直角 D D6060 解析解析 选选 A.A.cos Acos Ab b 2 2 c c 2 2 a a 2 2 2bc2bc b b 2 2 c c 2 2 bcbc 2bc2bc b bc c 2 2 2 2 3c 3c 2 2 4 4 2bc2bc 00，所以所以 0 0A90A90. . 3.已知已知ABC 中，中，a1，b1，C120 ，则边，则边 c _. 3 解析解析 由余弦定理，得由余弦定理，得 c2a2b22abcosC11 211(1 2) 3，c 3. 4.（2015 北京北京高考高考）在在 ABC 中，中， 4a ， 5b ， 6c ，则，则 sin2 sin A C

20、1 1 5 5. .（20142014天津高考）在天津高考）在ABC中，内角中，内角ABC， ，所对的边分别为所对的边分别为 b， ，ac，已知，已知 6 a-c=b 6 ，sinB= 6sinC. . （1 1）求求cosA的值的值. . （2 2）求求 cos(2A-) 6 的值的值. . 【解析】【解析】(1)(1)在在ABCABC 中中, ,由由 bc =. sinsinCB 及及 sin B=sin B= 6sin C, sin C,可得可得 b=b= 6c, c, 又由又由 a a- -c=c= 6 6 b,b,有有 a=2c.a=2c. 所以所以 cos A=cos A= 222

21、222 2 bca6cc4c = 2bc2 6c = = 6 4 . . ( (2 2) )在在ABCABC 中中, ,由由 coscosA=A= 6 4 , ,可得可得 sin sin A=A= 10 4 . . 于是于是 cos 2cos 2A=A=2cos2cos 2 2A A- -1 1= =- - 1 4 , ,sin2sin2A=A=2sin 2sin A Acos cos A=A= 15 4 . . 所以所以 coscos 2 6 A = =cos 2cos 2A Acoscos 6 + +sin 2sin 2A Asinsin 153 =. 68 1.1.余弦定理是任何三角形边

22、角之间存在的共同规余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规 律，勾股定理是余弦定理的特例律，勾股定理是余弦定理的特例. . 222 222 222 2cos 2cos a =bcbcAa =bcbcA； b =acacBb =acacB； c =ababcosC.c =ababcosC. +-2+-2 2. 2. 余弦定理的应用范围：余弦定理的应用范围： 已知三边求三角；已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边已知两边及它们的夹角，求第三边. . 已知三角形两边及其一边对角，已知三角形两边及其一边对角， 可求其他的角和第三条边可求其他的角和第三条边. . 3.3.正弦定理和余弦定理可解的三角形正弦定理和余弦定理可解的三角形 正弦定理正弦定理 余弦定理余弦定理 已知两角和任一边，求已知两角和任一边，求 另一角和其他两条边另一角和其他两条边 已知两边和其中一边的已知两边和其中一边的 对角，求另一边和其他两对角，求另一边和其他两 角角 已知三边，求各角已知三边，求各角 已知两边和它们的夹角，已知两边和它们的夹角， 求第三边和其他两个角求第三边和其他两个角 人不能像动物那样活着，应该追求知识和 美德，来完善自己。