人教版高中数学必修五同课异构课件：2.3 等差数列的前n项和 2.3.2 精讲优练课型 .ppt

1、第2课时 等差数列习题课 【题型探究题型探究】 类型一类型一 等差数列前等差数列前n n项和的性质项和的性质 【典例典例】1.1.等差数列等差数列aan n 和和bbn n 的前的前n n项和分别为项和分别为S Sn n和和 T Tn n，且，且 则则 =(=( ) ) n n S2n T3n 1 ， 5 5 a b 29207 A. B. C. D. 314319 2.2.已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，且，且 那么那么 的值为的值为( ( ) ) 3.(20153.(2015唐山高二检测唐山高二检测) )设等差数列设等差数列aan n 的前的前n

2、 n项和为项和为 S Sn n，S Sm m- -1 1= =- -2 2，S Sm m=0=0，S Sm+1 m+1=3 =3，则，则m=(m=( ) ) A.3A.3 B.4B.4 C.5C.5 D.6D.6 4 8 S1 S3 ， 8 16 S S 1113 A. B. C. D. 83910 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，中， 如何转化为如何转化为 的形式？的形式？ 提示：提示： 2.2.典例典例2 2中，中，S S4 4，S S8 8- -S S4 4，S S12 12- -S S8 8， ，S S16 16- -S S1212是否成等差数 是否成等差数 列？列？ 提

3、示：提示：S S4 4，S S8 8- -S S4 4，S S12 12- -S S8 8， ，S S16 16- -S S1212成等差数列 成等差数列. . 5 5 a b n n S T 19 55199 19 55199 9 aa a2aaaS 2 . 9 bbb2bbbT 2 3.3.典例典例3 3中，联系题目条件，可以考虑应用等差数列前中，联系题目条件，可以考虑应用等差数列前 n n项和的哪个性质？项和的哪个性质？ 提示：提示：应用数列应用数列 是等差数列是等差数列. . n S n 【解析解析】1.1.选选B.B.由题意得由题意得 19 55199 19 55199 9 aa a

4、2aaaS2 99 2 . 9 bbb2bbbT3 9 114 2 2.2.选选D.D.由由 可设可设S S4 4=t=t，S S8 8=3t=3t，t0t0， 所以所以S S8 8- -S S4 4=3t=3t- -t=2tt=2t， 因为等差数列因为等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n， 所以所以S S4 4，S S8 8- -S S4 4，S S12 12- -S S8 8， ，S S16 16- -S S1212成等差数列， 成等差数列， 所以所以S S12 12- -S S8 8=3t =3t，S S16 16- -S S1212=4t =4t，所以，所以S S

5、12 12=6t =6t，S S16 16=10t. =10t. 所以所以 4 8 S1 S3 ， 8 16 S3t3 . S10t10 3.3.选选C.C.因为数列因为数列aan n 为等差数列，且前为等差数列，且前n n项和为项和为S Sn n， 所以数列所以数列 也为等差数列也为等差数列. . 所以所以 解得解得m m5 5，经检验为原方程的解，经检验为原方程的解. . n S n m 1m 1m SS2S23 0 m 1m 1mm 1m 1 ，即 ， 【延伸探究延伸探究】若典例若典例1 1条件不变，试计算条件不变，试计算 【解析解析】 7 7 a . b 113 7711313 113

6、 7711313 13 aa a2aaaS 2 13 bbb2bbbT 2 2 1313 . 3 13 120 【方法技巧方法技巧】与等差数列前与等差数列前n n项和项和S Sn n有关的性质有关的性质 (1)(1)数列数列S Sn n，S S2n 2n- -S Sn n， ，S S3n 3n- -S S2n2n， ，是公差为是公差为n n2 2d d的等差数列的等差数列. . (2)(2)数列数列 为等差数列为等差数列. . n S n (3)(3)等差数列等差数列aan n 前前n n项和公式为项和公式为 由等差数由等差数 列的性质可得：列的性质可得： (4)(4)若两个等差数列若两个等差

7、数列aan n ，bbn n 的前的前n n项和分别为项和分别为S Sn n，T Tn n， 则则 1n n n aa S 2 ， 12m 2mmm 1 12m 1 2m 1m 1 2m(aa) Sm aa 2 (2m 1)(aa) S(2m 1)a. 2 ， n2n 1 n2n 1 aS . bT 【变式训练变式训练】1.(20151.(2015黄山高二检测黄山高二检测) )等差数列的通等差数列的通 项公式是项公式是a an n=1=1- -2n2n，其前，其前n n项和为项和为S Sn n，则数列，则数列 的前的前1111 项和为项和为( ( ) ) A.A.- -4545 B.B.- -

8、5050 C.C.- -5555 D.D.- -6666 n S n 【解析解析】选选D.D.因为因为 所以所以 所以数列所以数列 是首项为是首项为- -1 1，公差为，公差为- -1 1的等差数列，其的等差数列，其 前前1111项和为项和为- -（1+2+3+1+2+3+11+11）= = =66 .66 . 2 1n n n(aa )n( 1 1 2n) Sn 22 ， 2 n Sn n nn ， n S n 11 (1 11) 2 2.2.等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，S S3 3= =- -6 6，S S18 18- -S S1515=18 =18

9、， 则则S S18 18等于 等于( ( ) ) A.36A.36 B.18B.18 C.72C.72 D.9D.9 【解题指南解题指南】根据根据S S3 3，S S6 6- -S S3 3，S S9 9- -S S6 6，S S18 18- -S S1515成等 成等 差数列计算差数列计算. . 【解析解析】选选A.A.由由S S3 3，S S6 6- -S S3 3，S S9 9- -S S6 6，S S18 18- -S S1515成等差 成等差 数列，可知数列，可知 S S18 18=S =S3 3+S+S6 6- -S S3 3+S+S9 9- -S S6 6+ +S+S18 18-

10、 -S S1515 6 ( 6 18) 36. 2 【补偿训练补偿训练】一个等差数列的前一个等差数列的前1010项之和为项之和为100100，前，前 100100项之和为项之和为1010，求前，求前110110项之和项之和. . 【解析解析】方法一：设该等差数列的公差为方法一：设该等差数列的公差为d d， 由于由于S Sn n= = 所以所以 1 n(n 1 nad 2 ） ， n 1 Sd a(n 1) n2 ， 所以数列所以数列 是等差数列，其公差为是等差数列，其公差为 . . 所以所以 所以所以 所以所以 所以所以S S110 110= = 110.110. n S n d 2 1001

11、0 SSd1010099 (100 10) 2100101001010 ， d11 . 2100 110100 SSd1011 1010 ()1 1101002100100 ， 方法二：数列方法二：数列S S10 10， ，S S20 20- -S S1010， ，S S30 30- -S S2020， ，S S100 100- -S S9090， ，S S110 110 - -S S100 100成等差数列，设其公差为 成等差数列，设其公差为D D，前，前1010项和项和10S10S10 10+ + D=SD=S100 100=10 =10D=D=- -2222，所以，所以S S110 11

12、0- -S S100100=S =S10 10+(11 +(11- -1)D1)D =100+10=100+10( (- -22)=22)=- -120.120. 所以所以S S110 110= =- -120+S 120+S100 100= =- -110. 110. 10 9 2 类型二类型二 奇数项和、偶数项和问题奇数项和、偶数项和问题 【典例典例】等差数列等差数列aan n 的前的前1212项和为项和为354354，前，前1212项中奇项中奇 数项与偶数项的和之比为数项与偶数项的和之比为27322732，求这个数列的通项，求这个数列的通项 公式公式. . 【解题探究解题探究】典例中前典

13、例中前1212项中奇数项能构成等差数列项中奇数项能构成等差数列 吗？偶数项呢？偶数项的和与奇数项的和的差有何特吗？偶数项呢？偶数项的和与奇数项的和的差有何特 点？点？ 提示：提示：前前1212项中奇数项、偶数项分别构成以项中奇数项、偶数项分别构成以a a1 1，a a2 2为为 首项，首项，2d2d为公差的新的等差数列为公差的新的等差数列.S.S偶 偶- -S S奇奇=6d. =6d. 【解析解析】方法一：设方法一：设aan n 的首项为的首项为a a1 1，公差为，公差为d d， S S奇 奇=6a =6a1 1+ + 2d=6a2d=6a1 1+30d+30d， S S偶 偶=6(a =6

14、(a1 1+d)+ +d)+ 2d=6a2d=6a1 1+36d+36d， 所以所以a an n=2+(n=2+(n- -1)1)5=5n5=5n- -3.3. 6 5 2 6 5 2 1 1 1 11 6a30d27 d5 6a36d32 a2. (6a30d)(6a36d)354. ， 所以解得 方法二方法二：S S偶 偶- -S S奇奇=(a =(a2 2+a+a4 4+ +a+a12 12) )- -(a (a1 1+a+a3 3+ +a+a11 11) ) =(a=(a2 2- -a a1 1)+(a)+(a4 4- -a a3 3)+)+(a+(a12 12- -a a1111)=

15、6d )=6d， 所以所以S S偶 偶- -S S奇奇=192 =192- -162=6d.162=6d.所以所以d=5.d=5. 因为因为S S12 12=12a =12a1 1+ + 5 5， 所以所以a a1 1=2.=2.所以所以a an n=5n=5n- -3.3. S 27 S192 S32 S162. SS354 奇 偶 偶 奇 奇偶 ， 因为所以 ， 12 11 2 方法三：设方法三：设aan n 的首项为的首项为a a1 1，公差为，公差为d d，则，则 所以所以 因为因为S S12 12= =6(a = =6(a6 6+a+a7 7)=354)=354， 解得解得 所以所以

16、d=5.d=5.所以所以a an n=a=a6 6+(n+(n- -6)6)5=27+5n5=27+5n- -30=5n30=5n- -3.3. 212111 6aa6aa SS 22 偶奇 （）（） ， 7212 1116 Sa aa32 . Saaa27 偶 奇 112 12 aa 2 (） 6 7 a27 a32. ， 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(变换条件变换条件) )典例中，“典例中，“354”354”改为“改为“222”222”， “2732”2732”改为“改为“1720”1720”，其他条件不变，结果又，其他条件不变，结果又 如何？如何？ 【解析解析】S S偶 偶- -S

17、S奇奇=(a =(a2 2+a+a4 4+ +a+a12 12) )- -(a (a1 1+a+a3 3+ +a+a11 11) ) =(a=(a2 2- -a a1 1)+(a)+(a4 4- -a a3 3)+)+(a+(a12 12- -a a1111)=6d )=6d， 所以所以S S偶 偶- -S S奇奇=120 =120- -102=6d.102=6d.所以所以d=3.d=3. 因为因为222=12a222=12a1 1+ + 3 3， 所以所以a a1 1=2.=2.所以所以a an n=3n=3n- -1.1. S 17 S120 S20 S102. SS222. 奇 偶 偶

18、奇 奇偶 ， 因为所以 12 11 2 2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法) )典例中项数改为典例中项数改为2n+1(nN2n+1(nN* *) ) 项，且奇数项和为项，且奇数项和为4444，偶数项和为，偶数项和为3333，求数列的中间，求数列的中间 项和项数项和项数. . 【解析解析】项数为项数为2n+1(nN2n+1(nN* *) )，则奇数项有，则奇数项有n+1n+1项，偶项，偶 数项有数项有n n项，中间项为项，中间项为a an+1 n+1，则 ，则 所以所以 所以所以n=3n=3，a an+1 n+1=11. =11. 所以数列的中间项为所以数列的中间项为1111，项数

19、为，项数为7.7. 12n 1 n 1 22n n 1 aan 1 Sn 1 a44 2 aan Sna33 2 奇 偶 （） ， ， n 14 . n3 【方法技巧方法技巧】奇数项和与偶数项和的性质奇数项和与偶数项和的性质 (1)(1)若等差数列的项数为若等差数列的项数为2n2n，则，则 S S2n 2n=n(a =n(an n+ a+ an+1 n+1) )， ， S S偶 偶- -S S奇奇=nd =nd， n 1 n S a . Sa 偶 奇 (2)(2)若等差数列的项数为若等差数列的项数为2n+12n+1，则，则 S S2n+1 2n+1=(2n+1)a =(2n+1)an+1 n+

20、1， ， S S偶 偶- -S S奇奇= =- -a an+1n+1， ， S n . Sn 1 偶 奇 【补偿训练补偿训练】在等差数列在等差数列aan n 中前中前m m项项(m(m为奇数且为奇数且m1)m1) 和为和为7777，其中偶数项和为，其中偶数项和为3333且且a a1 1- -a am m=18=18，求这个数列，求这个数列 的通项公式的通项公式. . 【解析解析】设等差数列设等差数列aan n 的首项为的首项为a a1 1，公差为，公差为d d，则数，则数 列的前列的前m m项为项为a a1 1，a a1 1+d+d，a a1 1+2d+2d，a a1 1+3d+3d，a a1

21、 1+(m+(m- -1)d.1)d. 前前m m项项(m(m为奇数为奇数) )和为和为7777，其中偶数项之和为，其中偶数项之和为3333，所以，所以 奇数项之和为奇数项之和为4444， S S奇 奇=a =a1 1+(a+(a1 1+2d)+(a+2d)+(a1 1+4d)+4d)+a+a1 1+(m+(m- -1)d1)d m 1 (1) 2 共项 ， S S偶 偶=(a =(a1 1+d)+(a+d)+(a1 1+3d)+(a+3d)+(a1 1+5d)+5d)+a+a1 1+(m+(m- -2)d2)d 所以所以S S奇 奇- - S S偶偶=a =a1 1+ d=11+ d=11，

22、 因为因为a a1 1- -a am m=a=a1 1- -aa1 1+(m+(m- -1)d=181)d=18，所以，所以(m(m- -1)d=1)d=- -1818， 联立解得联立解得a a1 1=20=20，所以，所以a am m=2=2， 因为因为S Sm m= (a= (a1 1+a+am m)=77)=77，所以，所以m=7.m=7. m 1 () 2 共项 ， m 1 2 m 2 代入代入(m(m- -1)d=1)d=- -1818，解得，解得d=d=- -3.3. 通项公式通项公式a an n=20=20- -3(n3(n- -1)=231)=23- -3n.3n. 【延伸探究

23、延伸探究】 1.(1.(变换条件变换条件) )本题中“本题中“77”77”改为“改为“93 ”93 ”，“，“33”33”改改 为“为“4242 ”，“，“a a1 1- -a am m=18”=18”改为“改为“a a1 1=1”=1”，其他条件，其他条件 不变，结果如何？不变，结果如何？ 1 2 1 2 【解析解析】设设m=2n+1m=2n+1， 由题意得由题意得S S2n+1 2n+1=(2n+1)a =(2n+1)an+1 n+1=93 =93 ， S S奇 奇=S =S2n+1 2n+1- -S S偶偶=93 =93 - -42 =5142 =51， S S奇 奇- -S S偶偶=a

24、 =an+1 n+1=8 =8 ， 所以所以 所以所以n=5.n=5. 1 2 1 2 1 2 1 2 2n 1 1 93 S 2 2n 111 1 SS 8 2 奇偶 ， 又因为又因为a a1 1=1=1，a a1 1+nd=8 +nd=8 ， 所以所以1+5d=8 1+5d=8 ，解得，解得d= d= ， 所以所以a an n=1+(n=1+(n- -1)1) 1 2 1 2 3 2 33n 1. 22 2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法) )将本题中“奇数且将本题中“奇数且m1”m1”改为改为 “偶数且“偶数且m18”m18”，“，“77”77”改为“改为“162”“33”

25、162”“33”改为改为 “72”72”，“，“a a1 1- -a am m=18”=18”改为“各项为整数”，求首项改为“各项为整数”，求首项a a1 1. . 【解析解析】设设m=2nm=2n，则，则n9.n9. S S奇 奇=a =a1 1+a+a3 3+ +a+a2n 2n- -1 1 =na=na1 1+ + 2d=na2d=na1 1+n(n+n(n- -1)d=1621)d=162- -72=9072=90， S S偶 偶=a =a2 2+a+a4 4+a+a6 6+ +a+a2n 2n =na=na2 2+ + 2d=na2d=na1 1+n+n2 2d=72d=72， 所以

26、所以S S偶 偶- -S S奇奇=nd= =nd=- -1818，所以，所以d=d=- - ， n n 1 2 ( ) n n 1 2 ( ) 18 n 因为等差数列因为等差数列aan n 各项均为整数，各项均为整数， 所以所以d=d=- - (n9)(n9)为整数，为整数， 所以所以n=9n=9，1818， 当当n=9n=9时，时，d=d=- -2 2， 所以所以9a9a1 1+9+92 2( (- -2)=722)=72，a a1 1=26=26， 当当n=18n=18时，时，d=d=- -1 1， 所以所以18a18a1 1+18+182 2( (- -1)=721)=72，a a1 1

27、=22.=22. 18 n 类型三类型三 数列求和数列求和 角度角度1 1：裂项相消法求和：裂项相消法求和 【典例典例】(2015(2015江苏高考江苏高考) )数列数列aan n 满足满足a a1 1=1=1，且，且 a an+1 n+1- -a an n=n+1(nN =n+1(nN* *) )，则数列，则数列 的前的前1010项和为项和为_._. n 1 a 【解题探究解题探究】典例中，用什么方法求数列典例中，用什么方法求数列aan n 的通项的通项 公式？用什么方法计算数列公式？用什么方法计算数列 的前的前1010项和？项和？ 提示：提示：利用累加法求出数列利用累加法求出数列aan n

28、 的通项公式；利用裂的通项公式；利用裂 项相消法计算项相消法计算 的前的前1010项和项和. . n 1 a n 1 a 【解析解析】a an n=(a=(an n- -a an n- -1 1)+(a)+(an n- -1 1- -a an n- -2 2)+)+(a+(a2 2- -a a1 1)+a)+a1 1 =n+(n=n+(n- -1)+(n1)+(n- -2)+2)+2+1=+2+1= 所以所以 所以所以 的前的前1010项和为项和为 答案：答案： n n 1 2 ， n 12 an n 1 ， 2222 11 122 133 11010 1 111111120 2(1). 22

29、334101111 20 11 n 1 a 【延伸探究延伸探究】若把典例中“若把典例中“a an+1 n+1- -a an n=n+1” =n+1”改为改为 “a an n= ”= ”，其他条件不变，结果又如何？，其他条件不变，结果又如何？ 【解析解析】因为因为 所以所以 的前的前1010项和为项和为 n 1n n 11 n 1n an 1n ， n 1 a 2132431110 11 1. 角度角度2 2：并项转化求和：并项转化求和 【典例典例】数列数列aan n 的通项的通项a an n= = 其前其前n n项项 和为和为S Sn n，则，则S S30 30的值为 的值为_._. 222

30、nn n (cossin) 33 ， 【解题探究解题探究】典例中的数列典例中的数列aan n 的通项公式可转化为的通项公式可转化为 何种形式？根据数列何种形式？根据数列aan n 中项的变化规律，用什么方中项的变化规律，用什么方 法求和？法求和？ 提示：提示： 数列数列 中重复出现中重复出现 ， ，1 1三项三项. . 据此特点，可将各项重新搭配并项求和据此特点，可将各项重新搭配并项求和. . 2 n 2n an cos . 3 2n cos 3 1 2 1 2 【解析解析】由题意得由题意得 ， 所以所以S S30 30= =- - (1(12 2+2+22 2- -2 23 32 2)+(4

31、)+(42 2+5+52 2- -6 62 22)+2)+(28+(282 2+29+292 2 - -30302 22)2) = =- - (1(12 2- -3 32 2)+(4)+(42 2- -6 62 2)+)+(28+(282 2- -30302 2)+(2)+(22 2- -3 32 2)+(5)+(52 2- -6 62 2) ) + +(29+(292 2- -30302 2) = =- - - -2(4+10+16+2(4+10+16+58)+58)- -(5+11+17+(5+11+17+59)+59) 2 n 2n an cos 3 1 2 1 2 1 2 答案：答案：

32、470470 14 585 59 ( 21010)470. 222 角度角度3 3：求数列：求数列|a|an n|的前的前n n项和项和 【典例典例】已知数列已知数列aan n 的通项公式的通项公式a an n= =2n+11.2n+11. (1)(1)如果如果aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，求，求S Sn n的最大值的最大值. . (2)(2)如果如果b bn n=|a=|an n| | (n(nN N* *) )，求数列，求数列bbn n 的前的前n n项和项和T Tn n. . 【解题探究解题探究】典例中典例中(1)(1)如何求如何求S Sn n的最大值？的最大值？

33、(2)T(2)Tn n与与S Sn n有什么关系？有什么关系？ 提示：提示：(1)(1)利用二次函数求最值的方法求利用二次函数求最值的方法求S Sn n的最大值的最大值. . (2)(2)当当n5n5时，时，T Tn n=S=Sn n； 当当n6n6时，时，T Tn n=S=S5 5- -(S(Sn n- -S S5 5).). 【解析解析】(1)(1)因为因为S Sn n= (9+11= (9+11- -2n)=10n2n)=10n- -n n2 2 = =- -(n(n- -5)5)2 2+25+25， 所以当所以当n=5n=5时，时，S Sn n最大，最大值为最大，最大值为25.25.

34、n 2 (2)b(2)bn n= = 当当n5n5时，时，T Tn n=S=Sn n=10n=10n- -n n2 2； 当当n6n6时，时，T Tn n=S=S5 5- -(S(Sn n- -S S5 5)=2S)=2S5 5- -S Sn n =25=252 2- -(10n(10n- -n n2 2)=n)=n2 2- -10n+5010n+50， 所以所以 n 112nn5 |a | 2n 11n6 ， ， 2 n 2 n10n(n5) T n10n50(n6). ， 【方法技巧方法技巧】 1.1.裂项相消法求数列的和裂项相消法求数列的和 裂项相消法求数列的和，主要适用于数列的通项公式

35、裂项相消法求数列的和，主要适用于数列的通项公式 是分式是分式. .常见的裂项有：常见的裂项有： (1)(1)若若aan n 是等差数列，则是等差数列，则 nn 1nn 1 1111 () a ad aa ， nn 2nn 2 1111 (). a a2d aa 2 222 2 2 11 11 2(). n nkk nnk 11111 3(). 4n12n 1 2n 12 2n 12n 1 n 1n11 4. n 1 nnn 1 n 11 11 5(). 4 n nn2n2 2n 111 61(). 2n 1 2n 12 2n 12n 1 2.2.并项转化法求数列的和并项转化法求数列的和 (1)

36、(1)适用形式：适用形式： 适用于形如适用于形如a an n=(=(- -1)1)n nf(n)f(n)的摆动数列的摆动数列. . 项成周期变化的数列项成周期变化的数列. . (2)(2)求和方法：求和方法： 形如形如a an n=(=(- -1)1)n nf(n)f(n)的数列用并项法把相邻项的一正的数列用并项法把相邻项的一正 一负两项并作一项，从而使通项降次，得以转化为等一负两项并作一项，从而使通项降次，得以转化为等 差数列求解差数列求解. . 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有 某种特殊的性质，因此在求数列的和时，可将这些项某种特殊的

37、性质，因此在求数列的和时，可将这些项 放在一起先求和，然后再求原数列的前放在一起先求和，然后再求原数列的前n n项和项和. . 3.3.数列数列|a|an n|的前的前n n项和的四种类型及其求解策略项和的四种类型及其求解策略 (1)(1)等差数列等差数列aan n 的各项都为非负数，这种情形中数列的各项都为非负数，这种情形中数列 |a|an n|就等于数列就等于数列aan n ，可以直接求解，可以直接求解. . (2)(2)等差数列等差数列aan n 中，中，a a1 100，d0，这种数列只有前边，这种数列只有前边 有限项为负数，从某项开始其余都为非负数，同样可有限项为负数，从某项开始其余

38、都为非负数，同样可 以把数列分成两段处理以把数列分成两段处理. . (4)(4)等差数列等差数列aan n 的各项均为负数，则的各项均为负数，则|a|an n|的前的前n n项项 和为和为aan n 前前n n项和的相反数项和的相反数. . 【变式训练变式训练】1.(20151.(2015四平高一检测四平高一检测) )在等差数列在等差数列aan n 中，中，a a1 100，a a10 10 a a11 110，a a10 10 a a11 110，a a11 110， (1)(1)求求aan n 的通项公式的通项公式. . (2)(2)设设b bn n= = ，求数列，求数列bbn n 的前

39、的前n n项和项和. . 2 nnn a2a4S3. nn 1 1 a a 【审题指导审题指导】(1)(1)首先根据首先根据a an+1 n+1=S =Sn+1 n+1- -S Sn n及 及 +2a+2an n=4S=4Sn n+3+3， 确定确定aan n 的递推公式，然后确定的递推公式，然后确定aan n 的通项公式的通项公式. . (2)(2)由于数列由于数列bbn n 的通项公式是分式形式，可考虑利用的通项公式是分式形式，可考虑利用 裂项法求和裂项法求和. . 2 n a 【规范解答规范解答】(1)(1)由由a an n2 2+2a+2an n=4S=4Sn n+3+3，可知，可知a

40、 an+1 n+12 2 +2a +2an+1 n+1 =4S=4Sn+1 n+1+3 +3，1 1分分 可得可得a an+1 n+12 2- -a an n2 2+2(a +2(an+1 n+1- -a an n)=4a )=4an+1 n+1， ，2 2分分 即即2(2(a an+1 n+1+a +an n)=)=a an+1 n+12 2- -a an n2 2 =(a=(an+1 n+1+a +an n)(a)(an+1 n+1- -a an n) )， ， 3 3分分 由于由于a an n00，可得，可得a an+1 n+1- -a an n=2 =2，4 4分分 又又a a1 12

41、 2+2a+2a1 1=4a=4a1 1+3+3， 解得解得a a1 1= =- -1(1(舍去舍去) )，a a1 1=3.=3. 5 5分分 所以所以aan n 是首项为是首项为3 3，公差为，公差为2 2的等差数列，通项公式的等差数列，通项公式 为为a an n=2n+1.=2n+1.6 6分分 (2)(2)由由a an n=2n+1=2n+1可知可知 8 8分分 n nn 1 11 b a a2n 1 2n3 111 () 2 2n 12n3 设数列设数列bbn n 的前的前n n项和为项和为T Tn n， 则则T Tn n=b=b1 1+b+b2 2+ +b+bn n= = 1010

42、分分 1212分分 1111111 ()()() 235572n 12n3 1 11 () 2 32n3 n . 3 2n3 【题后悟道题后悟道】 1.1.重视数列通项公式的变形重视数列通项公式的变形 数列求和的关键是将数列通项公式变形到恰当的形式，数列求和的关键是将数列通项公式变形到恰当的形式， 并选择合适的方法进行求和并选择合适的方法进行求和. .如本例，注意到如本例，注意到 b bn n= = 就可以用裂项相消法求和就可以用裂项相消法求和. . 111 () 2 2n 12n3 2.2.认真分析有关项的抵消规律认真分析有关项的抵消规律 裂项相消法的基本思想是将数列的每一项拆成两项裂项相消法的基本思想是将数列的每一项拆成两项( (裂裂 成两项成两项) )，并使它们在相加时除了首尾的各一项或少数，并使它们在相加时除了首尾的各一项或少数 几项外，其余项都前后抵消，进而可求出数列的前几项外，其余项都前后抵消，进而可求出数列的前n n项项 和和. .如本例中，如本例中， 11111111 . 35572n 12n332n3