人教版高中数学必修五同课异构课件:2.2 等差数列 2.2.1 探究导学课型 .ppt
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1、2.2 等差数列 第1课时 等差数列 1.1.理解等差数列的定义理解等差数列的定义. . 2.2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解 决一些简单的问题决一些简单的问题. . 3.3.掌握等差中项的概念并能运用掌握等差中项的概念并能运用. . 1.1.等差数列等差数列 (1)(1)定义:一般地,如果一个数列从第定义:一般地,如果一个数列从第2 2项起,每一项与它的项起,每一项与它的 前一项的差等于前一项的差等于_,那么这个数列就叫做等差数列,那么这个数列就叫做等差数列. . (2)(2)公差:这个公差:这个_叫做等差数列的公差
2、,通常用字母叫做等差数列的公差,通常用字母_表示表示. . (3)(3)通项公式:通项公式:a an n=_.=_. 2.2.等差中项等差中项 若三个数若三个数a a,A A,b b构成等差数列,则构成等差数列,则A A叫做叫做a a,b b的等差中项,的等差中项, 并且并且A=_.A=_. ab 2 同一个常数同一个常数 常数常数 d d a a1 1+(n+(n- -1)d1)d 1.1.已知等差数列已知等差数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2n=2n- -1 1,则它的公差为,则它的公差为 ( ( ) ) A.2A.2 B.B.- -2 2 C.3C.3 D.D.-
3、-3 3 【解析解析】选选A.d=aA.d=an n- -a an n- -1 1=(2n=(2n- -1)1)- -2(n2(n- -1)1)- -1=2.1=2. 2.2.已知已知a=1a=1,b=3b=3,则,则a a,b b的等差中项为的等差中项为( ( ) ) A.1A.1 B.2B.2 C.3C.3 D.4D.4 【解析解析】选选B. B. ab1 3 2. 22 3.3.已知等差数列已知等差数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=3=3- -2n2n,则,则a a1 1+a+a2 2= = . . 【解析解析】因为因为a an n=3=3- -2n2n,所以,所以a
4、 a1 1=3=3- -2=12=1, a a2 2=3=3- -2 22=2=- -1 1,故,故a a1 1+a+a2 2=0.=0. 答案:答案:0 0 4.4.等差数列等差数列1 1,- -1 1,- -3 3,- -5 5,- -8989的项数为的项数为 . . 【解析解析】因为因为a a1 1=1=1,d=d=- -1 1- -1=1=- -2 2,所以,所以a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d=1)d=- -2n+3.2n+3. 由由- -2n+3=2n+3=- -8989,得,得n=46.n=46. 答案:答案:4646 一、等差数列的概念一、等差数列的概念 观察
5、下列几个实例,探究以下问题观察下列几个实例,探究以下问题 (1)2(1)2,4 4,6 6,8 8,1010,1212, (2)1(2)1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1, (3)1(3)1,3 3,5 5,7 7,9 9,1111, 探究探究1 1:请观察:请观察(1)(1)(3)(3)中的数列,它们中的每个数列从第二中的数列,它们中的每个数列从第二 项起每一项与前一项的差是否都相等?项起每一项与前一项的差是否都相等? 提示:提示:观察这三个实例可以看出,观察这三个实例可以看出,(1)(3)(1)(3)中的差都是中的差都是2 2,(2)(2)中中 的差是的差是0.0.因此上述几个数列
6、从第二项起每一项与前一项的差都因此上述几个数列从第二项起每一项与前一项的差都 相等相等. . 探究探究2 2:在探究:在探究1 1的基础上,你能用数学符号表示它们之间的关的基础上,你能用数学符号表示它们之间的关 系吗?系吗? 提示:提示:可表示为可表示为a an+1 n+1- -a an n=d(d =d(d为常数,为常数,n nN N* *).). 探究探究3 3:根据等差数列的定义,思考是否所有的常数列都是等:根据等差数列的定义,思考是否所有的常数列都是等 差数列?差数列? 提示:提示:是,根据等差数列的特点知,所有的常数列都是等差数是,根据等差数列的特点知,所有的常数列都是等差数 列列.
7、 . 【探究总结探究总结】理解等差数列定义时的三个注意点理解等差数列定义时的三个注意点 (1)(1)注意定义中注意定义中“从第从第2 2项起项起”这一前提条件这一前提条件. .这一条件有两层这一条件有两层 意义,其一,第一项前面没有项,无法与后续条件中意义,其一,第一项前面没有项,无法与后续条件中“与前一与前一 项的差项的差”相吻合;其二,必须从第相吻合;其二,必须从第2 2项起保证使数列中各项均项起保证使数列中各项均 与其前面一项作差与其前面一项作差. . (2)(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求,注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求, 它的含义也有两个,其一
8、是强调作差的顺序,即后面的项减前它的含义也有两个,其一是强调作差的顺序,即后面的项减前 面的项;其二是强调这两项必须相邻面的项;其二是强调这两项必须相邻. . (3)(3)注意定义中的“同一个常数”这一点可理解为每一项与前注意定义中的“同一个常数”这一点可理解为每一项与前 面一项的差是常数且是同一个常数面一项的差是常数且是同一个常数. . 二、等差数列的通项公式及等差中项二、等差数列的通项公式及等差中项 结合等差数列的通项公式结合等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d1)d,探究下列问题:,探究下列问题: 探究探究1 1:利用数列的通项公式如何建立数:利用数列的通
9、项公式如何建立数 列任意两项之间的关系列任意两项之间的关系. . 提示:提示:在等差数列在等差数列aan n 中,若中,若m m,nNnN* *, 则则a an n=a=am m+(n+(n- -m)d.m)d. 推导如下:因为对任意的推导如下:因为对任意的m m,nNnN* *,在等差数列中,在等差数列中, 有有a am m=a=a1 1+(m+(m- -1)d1)d, a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d1)d, 由由- -得得a an n- -a am m=(n=(n- -m)dm)d, 所以所以a an n=a=am m+(n+(n- -m)d.m)d. 探究探究2 2:
10、若:若A= A= ,则,则a a,A A,b b是否成等差数列?若一个数列是否成等差数列?若一个数列 任意相邻的三项具有这种关系,结果怎样?任意相邻的三项具有这种关系,结果怎样? 提示提示:若若A= A= ,则,则a+b=2Aa+b=2A,A A- -a=ba=b- -A A,则,则a a,A A,b b成等差数成等差数 列,反之也成立列,反之也成立. . 若若a an+1 n+1= (a = (an n+a+an+2 n+2) ),则 ,则a an+1 n+1是它的前一项 是它的前一项a an n与后一项与后一项a an+2 n+2的等差 的等差 中项,由中项,由n n的任意性可得,数列的任
11、意性可得,数列aan n 是等差数列是等差数列. . ab 2 ab 2 1 2 【探究总结探究总结】1.1.对等差数列通项公式的三点说明对等差数列通项公式的三点说明 (1)(1)利用通项公式可以求出首项与公差利用通项公式可以求出首项与公差. . (2)(2)可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项. . (3)(3)若某数为等差数列中的一项,可以利用通项公式求出项数若某数为等差数列中的一项,可以利用通项公式求出项数. . 2.2.等差中项的注意点等差中项的注意点 (1)(1)等差中项等差中项A=A= a a,A A,b b成等差数列成等差数列. . (
12、2)(2)用等差中项:用等差中项:a an+1 n+1= (a = (an n+a+an+2 n+2) )可以证明一个数列为等差数 可以证明一个数列为等差数 列列. . ab 2 1 2 【拓展延伸拓展延伸】用函数的观点理解等差数列的通项公式用函数的观点理解等差数列的通项公式 (1)(1)将等差数列的通项公式将等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d1)d变形整理可得变形整理可得a an n= = dn+adn+a1 1- -d d,从函数角度来看,从函数角度来看,a an n=dn+(a=dn+(a1 1- -d)d)是关于是关于n n的一次函的一次函 数数(d0
13、(d0时时) )或常数函数或常数函数(d=0(d=0时时).). (2)a(2)an n=dn+(a=dn+(a1 1- -d)d)的图象是一条射线上一些间距相等的点,其的图象是一条射线上一些间距相等的点,其 中公差中公差d d是该射线所在直线的斜率,从上面的变形公式可以知是该射线所在直线的斜率,从上面的变形公式可以知 道,道,d= (nm).d= (nm). nm aa nm 类型一类型一 等差数列的定义等差数列的定义 1.1.给出下列数列,其中是等差数列的是给出下列数列,其中是等差数列的是 . . (1)0(1)0,- -3 3,- -6 6,- -9 9,- -1212,. . (2)1
14、(2)1,- -1 1,1 1,- -1 1,1 1,- -1 1,. . (3)6(3)6,6 6,6 6,6 6,. . (4)6(4)6,5 5,3 3,1 1,- -1 1,- -3 3,. . 2.2.已知已知c cn n= = 试判断数列试判断数列ccn n 是否为等差数列是否为等差数列. . 1n1 2n 5n2 , , 【解题指南解题指南】1.1.验证从第二项起,每一项与其前一项的差是否验证从第二项起,每一项与其前一项的差是否 等于同一个常数等于同一个常数. . 2.2.分段函数要分别计算每一项与其前一项的差是否等于同一个分段函数要分别计算每一项与其前一项的差是否等于同一个 常
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