人教版高中数学必修五同课异构课件:2.1 数列的概念与简单表示法 第2课时 数列的通项公式与递推公式 情境互动课型 .ppt
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1、第2课时 数列的通项公式与递推公式 按照一定顺序排列的一列数称为按照一定顺序排列的一列数称为数列数列. . ( (数列具有数列具有有序性、可重复性、确定性有序性、可重复性、确定性) ) 1.1.数列的定义:数列的定义: 2.2.数列与函数的关系数列与函数的关系: : 数列可以看成以正整数集数列可以看成以正整数集 (或它的有限子集(或它的有限子集 1,21,2,nn)为定义域的函数)为定义域的函数 当自当自 变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一 列函数值列函数值. . 反过来,对于函数反过来,对于函数y=fy=f(x x), ,如果如果f f(i
2、i) (i=1,2,3i=1,2,3,)有意义,那么我们可以得到一个)有意义,那么我们可以得到一个 数列数列f f(1 1),),f f(2 2),),f f(3 3),),f f(n n),), * * N N n n a =fa =f(n n) 1.1.了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数 列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其 前几项的特征写出它的一个通项公式前几项的特征写出它的一个通项公式. .( (重点)重点) 2.2.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公了解数列的递推公式,明确递推公式与通
3、项公 式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前 几项几项. .(难点)(难点) 我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项. . 探究点探究点1 1 数列的通项公式数列的通项公式 注:数列与函数的关系注:数列与函数的关系 y=fy=f(x x) a an n n n (正整数集(正整数集NN或它的有或它的有 限子集限子集1,2,3, ,n)1,2,3, ,n) 项项 通项公式通项公式 函数值函数值 自变量自变量 如果数列如果数列 的第的第n n项与序号项与序号n n之间的关系可以用一个之间的关系可以用一个 式子来
4、表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. . n n a a 3 n an 1 2n n a 【即时练习即时练习】 写出下面数列的一个通项公式写出下面数列的一个通项公式: : 例例1 1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前写出下面数列的一个通项公式,使它的前4 4 项分别是下列各数:项分别是下列各数: 解解:(1 1)这个数列的前)这个数列的前4 4项的绝对值都是序号项的绝对值都是序号 的倒数,并且奇数项为正,偶数项为负,所以,的倒数,并且奇数项为正,偶数项为负,所以, 它的一个通项公式为它的一个通项公式为 通项公式不通项公式不 唯一唯一 11
5、1111 (1 1) 1 1,- -, , -. -. 234234 (2 2) 2 2, 0 0, 2 2, 0. 0. n+1n+1 n n (-1-1) a =a = n n (2 2)这个数列的前)这个数列的前4 4项构成一个摆动数列,奇项构成一个摆动数列,奇 数项是数项是2 2,偶数项是,偶数项是0 0,所以,它的一个通项公,所以,它的一个通项公 式为式为 思考:思考:1.1.根据数列的前若干项写出的通项公式根据数列的前若干项写出的通项公式 的形式唯一吗?请举例说明的形式唯一吗?请举例说明. . 提示:不一定唯一提示:不一定唯一. . . . n+1n+1 n n a =a =(-1
6、-1)1 2 0 2 1 2sin1cos. 2 ,n n为为奇奇数数 n n,n n为为偶偶数数 nnnn 如如:例例(2 2)中中通通项项公公式式还还可可以以写写成成a =a =, n n 或或a =a =或或a =na =n 2.2.根据数列的前若干项一定能写出通项公式吗?根据数列的前若干项一定能写出通项公式吗? 请举例说明请举例说明. . 提示:不一定能写出提示:不一定能写出. . 如如:2 2精精确确到到1,0.1,0.01,0.0011,0.1,0.01,0.001, 的的不不足足近近似似值值 构构成成的的数数列列1, 1.4, 1.41, 1.4141, 1.4, 1.41, 1
7、.414, 就就无无法法写写出出通通项项 公公式式. . n n 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 a an n =2n =2n- -1 1 1 3 5 7 9 解:解:列表列表: : 已知数列已知数列 的通项公式为的通项公式为 ,用列表,用列表 写出这个数列写出这个数列 的前的前5 5项,并作出图象项,并作出图象. . n n a a n n a = 2n-1a = 2n-1 n n a a 【变式练习变式练习】 O 1 2 3 4 5 6 7 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 an=2n-1 n n 图象如下:图象如下: 图象是一群图象是一群 孤立的点孤立的点 例例2 2 图
8、中的三角形图案称为谢宾斯基图中的三角形图案称为谢宾斯基 (Sierpinski)(Sierpinski)三角形三角形. .在下图四个三角形图案中,在下图四个三角形图案中, 着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4 4 项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角 坐标系中画出它的图象坐标系中画出它的图象. . 解:解:如图,这四个三角形图案中着色的小三角形如图,这四个三角形图案中着色的小三角形 的个数依次为的个数依次为1,3,9,27.1,3,9,27.则所求数列的前则所求数列的前4 4项都是项都是 3 3的指数
9、幂,指数为序号减的指数幂,指数为序号减1.1.所以所以, ,这个数列的一这个数列的一 个通项公式是个通项公式是 在直角坐标系中的图象如图所示在直角坐标系中的图象如图所示. . . . n-1n-1 n n a =3a =3 O 3 3 6 6 9 9 12 15 18 21 24 27 30 1 1 2 2 3 3 4 4 n-1n-1 n n a =3a =3 根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通 项公式:项公式: (1 1)3,5,7,9,113,5,7,9,11,. (3 3)0,1,0,1,0,10,1,0,1,0,1,. (5 5)7,
10、77,777,77777,77,777,7777,. 246810246810 (2 2) , , , , , . . 3 15 35 63 993 15 35 63 99 1111111111 (4 4) - -, - -, - -, . . 2 1 2 22 3 242 52 1 2 22 3 242 5 【变式练习变式练习】 n n (1)1)a =a =解解:2n+1.2n+1. n n2 2 2n2n (2)2)a =.a =. (2n)2n)-1-1 n n n n 1+ (1+ (-1)-1) (3)3)a =.a =. 2 2 n n n n 1 1 (4)4)a = (a =
11、 (-1)-1). . 2n2n n n n n 7 7 (5)5)a = (a = (10 -1)10 -1). . 9 9 探究点探究点2 2 数列的递推公式数列的递推公式 1.1.观察以下数列,并写出其通项公式:观察以下数列,并写出其通项公式: 思考:思考:除用通项公式外,还有什么办法可以确除用通项公式外,还有什么办法可以确 定这些数列的每一项?定这些数列的每一项? (1 1)1,3,5,7,9,111,3,5,7,9,11, (2 2)0 0,- -2 2,- -4 4,- -6 6,- -8 8, (3 3)3,9,27,813,9,27,81, n n n n a =3a =3 n
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