人教版高中数学必修五同课异构课件:2.5 第1课时 等比数列的前n项和 教学能手示范课 .ppt
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1、2.5 等比数列的前等比数列的前n项和项和 第第1课时课时 等比数列的前等比数列的前n项和项和 1记住等比数列的前记住等比数列的前n项和公式,能够利用公项和公式,能够利用公 式求等比数列的前式求等比数列的前n项和项和 2掌握前掌握前n项和公式的推导方法项和公式的推导方法 1在等比数列在等比数列an中,若公比中,若公比q1,则其前,则其前n 项和项和Sn_. 答案答案:na1 2在等比数列在等比数列an中,若公比中,若公比q1,则其前,则其前n项项 和和Sn_. 自学导引自学导引 答案:答案:a1 1 qn 1q a1anq 1q 1等比数列的前等比数列的前n项和公式与函数有哪些关系?项和公式与
2、函数有哪些关系? 自主探究自主探究 答案:答案:(1)当公比当公比 q1 时,等比数列的前时,等比数列的前 n 项和公项和公 式是式是Sna1 1 qn 1q , 它可以变形为, 它可以变形为Sn a1 1q q n a1 1q, , 设设 A a1 1q, 上式可写成 , 上式可写成 SnAqnA.由此可见, 非常由此可见, 非常 数列的等比数列的前数列的等比数列的前 n项和项和Sn是由关于是由关于n的一个指数式的一个指数式 与一个常数的和构成的,而指数式的系数与常数项互为与一个常数的和构成的,而指数式的系数与常数项互为 相反数相反数 当公比当公比q1时,因为时,因为a10,所以,所以Snn
3、a1,是,是n 的正比例函数的正比例函数(常数项为常数项为0的一次函数的一次函数) (2)当当q1时,数列时,数列S1,S2,S3,Sn,的图的图 象是函数象是函数yAqxA图象上的一群孤立的点当图象上的一群孤立的点当q 1时,数列时,数列S1,S2,S3,Sn,的图象是正比的图象是正比 例函数例函数ya1x图象上的一群孤立的点图象上的一群孤立的点 2数列数列a,a2,a3,an,一定是等比数列一定是等比数列 吗?吗? 答案答案:不一定,例如当:不一定,例如当a0时,数列就不是等时,数列就不是等 比数列比数列 1等比数列等比数列1,a,a2,a3,的前的前n项和为项和为( ) 预习测评预习测评
4、 A1a 1 an 1 1a B.1 an 1a C.a n1 1 a1 D以上皆错以上皆错 【解析解析】要考虑到公比为要考虑到公比为1的情况,此时的情况,此时Snn. 答案答案:D 2数列数列2n 1的前 的前99项和为项和为 ( ) A21001 B12100 C2991 D1299 【解析解析】a11,q2, S991 1299 12 2991. 答案答案:C 3若等比数列若等比数列an的前的前3项的和为项的和为13,首项为,首项为1, 则其公比为则其公比为_ 【解析解析】由题知由题知1 q3 1q 13,1qq213,q2q 120,所以,所以 q3 或或 q4. 答案答案:3或或4
5、【解析解析】由题知由题知 a1 1 1 2 4 11 2 15 8 .所以所以 a11. 答案答案:1 4若一个等比数列的前若一个等比数列的前 4 项的和为项的和为15 8 ,公比为,公比为1 2, , 则其首项为则其首项为_ 1等比数列前等比数列前n项和公式的推导项和公式的推导 设等比数列设等比数列a1,a2,a3,an,它的前它的前n项和项和 是是Sna1a2an. 由等比数列的通项公式可将由等比数列的通项公式可将Sn写成写成 Sna1a1qa1q2a1qn 1. 式两边同乘以式两边同乘以q得,得, qSna1qa1q2a1q3a1qn. ,得,得(1q)Sna1a1qn,由此得,由此得q
6、1时,时, 要点阐释要点阐释 当当q1时,时,Snna1. 以上的推导方法叫做“错位相减法”这是中以上的推导方法叫做“错位相减法”这是中 学数学里比较重要的一种求和方法,要多用心体学数学里比较重要的一种求和方法,要多用心体 会会 Sna 1 1 qn 1q . ana1qn 1,所以上式可化为 ,所以上式可化为 Sna 1 anq 1q . 特别提示特别提示:(1)等比数列的前等比数列的前n项和的公式及通项和的公式及通 项公式涉及五个量:项公式涉及五个量:a1,q,n,an,Sn,只要知道其,只要知道其 中任意三个量,都可以通过建立方程中任意三个量,都可以通过建立方程(组组)等手段求出等手段求
7、出 其余两个量,俗称其余两个量,俗称“知三求二”“知三求二” (2)在应用公式求和时,应注意到公式的使用条在应用公式求和时,应注意到公式的使用条 件为件为q1,当,当q1时应按常数列求和,即时应按常数列求和,即Snna1.在在 解含字母参数的等比数列求和问题时,应分别讨论解含字母参数的等比数列求和问题时,应分别讨论 q1与与q1两种情况两种情况 (3)等比数列前等比数列前 n 项和公式的另一种形式是:项和公式的另一种形式是: Sn na1 q1 , a1anq 1q q1 . 2等比数列的判定方法等比数列的判定方法 (1)an 1 anq(an0,q是不为是不为0的常数,的常数, nN*)an
8、为等比数列为等比数列 (2)ancqn(c,q均是不为均是不为0的常数,的常数,nN*)an 是等比数列是等比数列 (3) an an 2(an an1 an20, , nN*)an是等比数列是等比数列 2 n 1 a + 题型一题型一 等比数列前等比数列前n n项和公式的基本运算项和公式的基本运算 典例剖析典例剖析 【例例1】 在等比数列在等比数列an中,中, (1)S230,S3155,求,求Sn; (3)a1an66,a2an 1 128,Sn126,求,求q. (2)a1a310,a4a65 4,求 ,求 S5; 解:解:(1)由题意知由题意知 a1 1q 30, a1 1qq2 15
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