人教版高中数学必修五同课异构课件：2.2 等差数列 2.2.2 精讲优练课型 .ppt

1、第2课时 等差数列的性质 【知识提炼知识提炼】 1.1.等差数列的项与序号的关系等差数列的项与序号的关系 两项两项 关系关系 a an n=a=am m+_(n+_(n，mNmN* *) ) 多项多项 关系关系 若若aan n 为等差数列，且为等差数列，且m+n=p+q(mm+n=p+q(m，n n，p p， qNqN* *) )，则，则_ (n(n- -m)dm)d a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q 2.2.等差数列的对称性等差数列的对称性 在有穷等差数列在有穷等差数列aan n 中，与首末两项“等距离”的两项中，与首末两项“等距离”的两项 之和等于首项与末项的和，即之

2、和等于首项与末项的和，即a a1 1+a+an n=_=_=_=_= a a2 2+a+an n- -1 1 a a3 3+a+an n- -2 2 3.3.等差数列的“子数列”的性质等差数列的“子数列”的性质 已知一个无穷等差数列已知一个无穷等差数列aan n 的首项为的首项为a a1 1，公差为，公差为d d， (1)(1)将数列中的前将数列中的前m m项去掉，其余各项组成首项为项去掉，其余各项组成首项为_， 公差为公差为_的等差数列的等差数列. . (2)(2)奇数项数列奇数项数列aa2n 2n- -1 1 是公差为 是公差为_的等差数列的等差数列. . 偶数项数列偶数项数列aa2n 2

3、n 是公差为 是公差为_的等差数列的等差数列. . (3)(3)若数列若数列kkn n 是等差数列，则数列是等差数列，则数列 也是等差数列也是等差数列. . n k a a am+1 m+1 d d 2d2d 2d2d 4.4.等差数列的单调性等差数列的单调性 等差数列等差数列aan n 的公差为的公差为d d， (1)(1)当当d0d0时，数列时，数列aan n 为为_数列数列. . (2)(2)当当d1，且，且 nNnN* *.(.( ) ) (2)(2)若若aan n 为等差数列，且为等差数列，且m+n=p(mm+n=p(m，n n，pNpN* *) )，则，则 a am m+a+an

4、n=a=ap p.(.( ) ) (3)(3)取出一个等差数列的所有偶数项构成的数列为等差取出一个等差数列的所有偶数项构成的数列为等差 数列且其公差为原数列公差的两倍数列且其公差为原数列公差的两倍.(.( ) ) 【解析解析】 (1)(1)正确正确. .由等差数列中任意两项的关系知由等差数列中任意两项的关系知a an+1 n+1=a =an n- -1 1+2d.+2d. (2)(2)错误错误. .因为因为a am m=a=a1 1+(m+(m- -1)d1)d，a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d1)d， m+n=pm+n=p，所以，所以a am m+a+an n=2a=2a1

5、 1+(m+n+(m+n- -2)d=2a2)d=2a1 1+(p+(p- -2)d2)d， 又因为又因为a ap p=a=a1 1+(p+(p- -1)d1)d，所以要使，所以要使a am m+a+an n=a=ap p， 还须有还须有a a1 1+(p+(p- -1)d=2a1)d=2a1 1+(p+(p- -2)d2)d，即，即a a1 1=d.=d. 所以若所以若aan n 为等差数列，且为等差数列，且m+n=p(mm+n=p(m，n n，pNpN* *) )，则，则 a am m+a+an n=a=ap p不一定成立不一定成立. . (3)(3)正确正确. .根据等差数列的定义可以判

6、定根据等差数列的定义可以判定. . 答案：答案：(1)(1) (2)(2) (3)(3) 2.2.等差数列等差数列a a1 1，a a2 2，a a3 3，a an n的公差为的公差为d d，则数列，则数列5a5a1 1， 5a5a2 2，5a5a3 3，5a5an n是是( ( ) ) A.A.公差为公差为d d的等差数列的等差数列 B.B.公差为公差为5d5d的等差数列的等差数列 C.C.非等差数列非等差数列 D.D.以上都不对以上都不对 【解析解析】选选B.5aB.5an+1 n+1- -5a 5an n=5(a=5(an+1 n+1- -a an n)=5d )=5d，nNnN* *.

7、 . 所以所以5a5a1 1，5a5a2 2，5a5a3 3，5a5an n是公差为是公差为5d5d的等差数列的等差数列. . 3.3.等差数列等差数列aan n 中，中，a a100 100=120 =120，a a90 90=100 =100，则公差，则公差d d等于等于 ( ( ) ) A.2A.2 B.20B.20 C.100C.100 D.D.不确定不确定 【解析解析】选选A.A.因为因为a a100 100- -a a9090=10d =10d，所以，所以10d=12010d=120- -100=20100=20， 所以所以d=2.d=2. 4.4.等差数列等差数列aan n 中，

8、中，a a2 2=5=5，a a6 6=33=33，则，则a a3 3+a+a5 5=_=_ 【解析解析】由等差数列的性质可得由等差数列的性质可得 a a3 3+a+a5 5=a=a2 2+a+a6 6=5+33=38.=5+33=38. 答案：答案：3838 5.5.已知递增的等差数列已知递增的等差数列aan n 满足满足a a1 1=1=1，a a3 3=a=a2 22 2- -4 4，则，则 a an n=_.=_. 【解析解析】设等差数列的公差为设等差数列的公差为d d， 因为因为a a3 3=a=a2 22 2- -4 4，所以，所以1+2d=(1+d)1+2d=(1+d)2 2-

9、-4 4， 解得解得d d2 2=4=4，即，即d=d=2.2. 由于该数列为递增数列，故由于该数列为递增数列，故d=2.d=2. 所以所以a an n=1+(n=1+(n- -1)1)2=2n2=2n- -1.1. 答案：答案：2n2n- -1 1 【知识探究知识探究】 知识点知识点1 1 等差数列通项公式的推广等差数列通项公式的推广 观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题： 问题问题1 1：等差数列通项公式的推广形式是什么？如何证：等差数列通项公式的推广形式是什么？如何证 明？明？ 问题问题2 2：等差数列通项公式的推广形式的几何意义是什：等差数列通项公式的推广形式

10、的几何意义是什 么？么？ 【总结提升总结提升】等差数列通项公式的推广形式等差数列通项公式的推广形式 (1)(1)公式的证明公式的证明 设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d d，则，则 a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d1)d，a am m=a=a1 1+(m+(m- -1)d1)d， 两式相减得两式相减得a an n- -a am m=(n=(n- -m)dm)d，即，即a an n=a=am m+(n+(n- -m)d.m)d. (2)(2)公式的理解公式的理解 等差数列等差数列aan n 的图象是均匀分布在一条直线上的孤立的图象是均匀分布在一条直线上的孤立 的

11、点，任选其中两点的点，任选其中两点(n(n，a an n)(m)(m，a am m)(mn)(mn)，类比直，类比直 线的斜率公式可知公差线的斜率公式可知公差 nm aa d. nm 知识点知识点2 2 等差数列的性质等差数列的性质 观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题： 问题问题1 1：如何证明上图中的性质：如何证明上图中的性质1 1？ 问题问题2 2：等差数列还有哪些常用结论？：等差数列还有哪些常用结论？ 【总结提升总结提升】 1.1.等差数列中四项关系的性质及证明等差数列中四项关系的性质及证明 (1)(1)若等差数列若等差数列aan n 中，中，m m，n n，

12、p p，qNqN* *且且m+n=p+qm+n=p+q， 则则a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q. . 证明：设等差数列证明：设等差数列aan n 的公差为的公差为d d， a am m+a+an n=a=a1 1+(m+(m- -1)d+a1)d+a1 1+(n+(n- -1)d=2a1)d=2a1 1+(m+n+(m+n- -2)d2)d， a ap p+a+aq q=a=a1 1+(p+(p- -1)d+a1)d+a1 1+(q+(q- -1)d1)d =2a=2a1 1+(p+q+(p+q- -2)d2)d， 因为因为m+n=p+qm+n=p+q， 所以所以a am

13、 m+a+an n=a=ap p+a+aq q. . (2)(2)若若a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q，则，则m+n=p+qm+n=p+q不一定成立不一定成立. .例如，公差例如，公差 为为0 0时，总有时，总有a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q，m+n=p+qm+n=p+q不一定成立不一定成立. . 2.2.等差数列几个常用的结论等差数列几个常用的结论 若若aan n 是公差为是公差为d d的等差数列，则下列数列：的等差数列，则下列数列： (1)c+a(1)c+an n(c(c为任一常数为任一常数) )是公差为是公差为d d的等差数列的等差数列. .

14、 (2)ca(2)can n(c(c为任一常数为任一常数) )是公差为是公差为cdcd的等差数列的等差数列. . (3)a(3)ank nk(kN (kN* *) )是公差为是公差为kdkd的等差数列的等差数列. . 【题型探究题型探究】 类型一类型一 等差数列中任意两项关系的应用等差数列中任意两项关系的应用 【典例典例】1.(20151.(2015邢台高一检测邢台高一检测) )数列数列aan n 中，中，a a3 3=2=2， a a7 7=1=1，又数列，又数列 是公差为是公差为d d的等差数列，则的等差数列，则 a a8 8=(=( ) ) A.A. B.0B.0 C.C. D.D.-

15、-1 1 n 1 a1 11 13 2 3 2.2.数列数列aan n 是公差为是公差为- -2 2的等差数列，且的等差数列，且a a1 1+a+a4 4+a+a7 7+ + +a+a28 28=100 =100，求，求a a3 3+a+a6 6+a+a9 9+a+a30 30的值 的值. . 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，等差数列中，等差数列 的公差如的公差如 何计算？要求何计算？要求a a8 8须先求什么？须先求什么？ 提示：提示：由由a a3 3=2=2，a a7 7=1=1可求等差数列可求等差数列 的第的第3 3项和项和 第第7 7项，进而求出项，进而求出4 4倍的公差

16、倍的公差. .要求要求a a8 8须先求须先求 n 1 a1 n 1 a1 8 1 . a1 2.2.典例典例2 2中，中，a a1 1+a+a4 4+a+a7 7+a+a28 28与 与a a3 3+a+a6 6+a+a9 9+a+a30 30的项数 的项数 有什么关系？取值有什么关系？有什么关系？取值有什么关系？ 提示：提示：a a1 1+a+a4 4+a+a7 7+ +a+a28 28与 与a a3 3+a+a6 6+a+a9 9+ +a+a30 30的项数相同， 的项数相同， 都是都是1010项项.a.a3 3+a+a6 6+a+a9 9+ +a+a30 30=a =a1 1+a+a4

17、 4+a+a7 7+ +a+a28 28+20d. +20d. 【解析解析】1.1.选选A.A.因为因为 所以所以 所以所以 所以所以a an n= .= .所以所以a a8 8= = 73 11 4d, a1a1 1 d. 24 n3 11n5 (n3)d a1a124 ， 19n n5 19 811 . 8 513 2.2.因为数列因为数列aan n 是公差是公差d=d=- -2 2的等差数列，的等差数列， 所以所以a a3 3+a+a6 6+a+a9 9+ +a+a30 30 =(a=(a1 1+2d)+(a+2d)+(a4 4+2d)+(a+2d)+(a7 7+2d)+2d)+(a+(

18、a28 28+2d) +2d) =(a=(a1 1+a+a4 4+a+a7 7+ +a+a28 28)+2d )+2d1010 =100+(=100+(- -2)2)20=60.20=60. 【方法技巧方法技巧】 1.1.运用等差数列任意两项的关系可解决的两类问题运用等差数列任意两项的关系可解决的两类问题 (1)(1)在已知公差的情况下，由等差数列的某项求其他任在已知公差的情况下，由等差数列的某项求其他任 意项意项. . (2)(2)由等差数列的任意不同两项计算公差由等差数列的任意不同两项计算公差. . 2.2.关注多项相加式之间的关系关注多项相加式之间的关系 (1)(1)等差数列等差数列aa

19、n n 的相邻的相邻k k项的和仍为等差数列，如项的和仍为等差数列，如 a a1 1+a+a2 2，a a2 2+a+a3 3，a a3 3+a+a4 4，a an n- -1 1+a+an n，成等差数列；成等差数列； a a1 1+a+a2 2，a a3 3+a+a4 4，a a5 5+a+a6 6，a an n+a+an+1 n+1， ，成等差数列；成等差数列； a a1 1+a+a2 2+a+am m，a a2 2+a+a3 3+a+am+1 m+1， ，a a3 3+a+a4 4+a+am+2 m+2， ， a ak k+a+ak+1 k+1+a +ak+m k+m- -1 1 成等

20、差数列等成等差数列等. . (2)(2)注意分析等差数列两个注意分析等差数列两个k k项的和之间的关系，如项的和之间的关系，如 a a3 3+a+a6 6+a+a9 9+a+a30 30与 与a a1 1+a+a4 4+a+a7 7+a+a28 28同为 同为1010项的和，项的和， a a3 3+a+a6 6+a+a9 9+a+a30 30=(a =(a1 1+a+a4 4+a+a7 7+a+a28 28)+2d )+2d10.10. 【变式训练变式训练】1.1.等差数列等差数列aan n 中，中，a am+n m+n= = ， ，a am m- -n n= = ， 则其公差则其公差d d的

21、值为的值为( ( ) ) A.B.C.D. 2n2n2m2m 【解析解析】选选B.B.由题意得由题意得a am+n m+n=a =a1 1+(m+n+(m+n- -1)d=1)d=， a am m- -n n=a=a1 1+(m+(m- -n n- -1)d=1)d=， 两式相减得两式相减得2nd=2nd=- -，所以，所以d=d= . 2n 2.2.数列数列aan n 是等差数列，是等差数列，a ap p=q=q，a aq q=p(p=p(p，qNqN* *，且，且 pq)pq)，求，求a ap+q. p+q. 【解题指南解题指南】此题关键是求出公差此题关键是求出公差d d，然后利用，然后利

22、用 a an n=a=am m+(n+(n- -m)dm)d，就可求，就可求a ap+q p+q了 了. . 【解析解析】方法一：设公差为方法一：设公差为d d，则有，则有 所以所以a ap+q p+q=a =ap p+(p+q)+(p+q)- -ppd=qd=q- -q=0.q=0. pq aa qp d1 p qp q ， 方法二：设公差为方法二：设公差为d d，则，则 由由- -，得，得q q- -p=(pp=(p- -q)d.q)d. 所以所以d=d=- -1 1，a a1 1=p+q=p+q- -1.1. 所以所以a ap+q p+q=a =a1 1+(p+q+(p+q- -1)(1

23、)(- -1)1) =p+q=p+q- -1 1- -p p- -q+1=0.q+1=0. p1 q1 aa(p 1)d aa(q 1)d. ， 类型二类型二 等差数列性质的应用等差数列性质的应用 【典例典例】1.(20151.(2015陇南高二检测陇南高二检测) )已知已知aan n ，bbn n 是是 两个等差数列，其中两个等差数列，其中a a1 1=3=3，b b1 1= =- -3 3，且，且a a19 19- -b b1919=16 =16，那么，那么 a a10 10- -b b1010的值为 的值为( ( ) ) A.A.- -6 B.6 6 B.6 C.0 C.0 D.11D.

24、11 2.(20152.(2015广东高考广东高考) )在等差数列在等差数列aan n 中，若中，若a a3 3+a+a4 4+a+a5 5+ + a a6 6+a+a7 7=25=25，则，则a a2 2+a+a8 8=_.=_. 3.3.已知等差数列已知等差数列aan n 中，中，a a5 5+a+a6 6+a+a7 7=15=15，a a5 5aa6 6aa7 7= 45= 45， 求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. . 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，数列中，数列aan n- -b bn n 是等差数列吗？是等差数列吗？ a a1 1- -b b1 1，a a

25、10 10- -b b1010， ，a a19 19- -b b1919之间有什么关系？ 之间有什么关系？ 提示：提示：数列数列aan n- -b bn n 是等差数列是等差数列. . (a(a1 1- -b b1 1)+(a)+(a19 19- -b b1919)=2(a )=2(a10 10- -b b1010). ). 2.2.典例典例2 2中，观察中，观察a a3 3+a+a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7与与a a2 2+a+a8 8项的序号，项的序号， 可由等差数列的性质得到什么结论？可由等差数列的性质得到什么结论？ 提示提示：a a2 2+a+a8 8=a=a3

26、3+a+a7 7=a=a4 4+a+a6 6=2a=2a5 5. . 3.3.典例典例3 3中，可先计算出中，可先计算出a a5 5，a a6 6，a a7 7的哪一项？另外两的哪一项？另外两 项的值如何计算？项的值如何计算？ 提示：提示：可先计算出可先计算出a a6 6，另外两项的值可列方程组进行，另外两项的值可列方程组进行 计算计算. . 【解析解析】1.1.选选D.D.因为因为aan n ，bbn n 是两个等差数列，是两个等差数列， 所以所以aan n- -b bn n 是等差数列，所以是等差数列，所以 (a(a1 1- -b b1 1)+(a)+(a19 19- -b b1919)=

27、2(a )=2(a10 10- -b b1010) )， ， 又因为又因为a a1 1- -b b1 1=3=3- -( (- -3)=63)=6，a a19 19- -b b1919=16 =16， 所以所以2(a2(a10 10- -b b1010)=6+16=22 )=6+16=22，故，故a a10 10- -b b1010=11. =11. 2.2.因为因为aan n 是等差数列，所以是等差数列，所以 a a3 3+a+a7 7=a=a4 4+a+a6 6=a=a2 2+a+a8 8=2a=2a5 5， a a3 3+a+a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7=5a=5a

28、5 5=25=25， 解得解得a a5 5=5=5，所以，所以a a2 2+a+a8 8=2a=2a5 5=10.=10. 答案：答案：1010 3.3.因为因为a a5 5+a+a6 6+a+a7 7=15=15，所以，所以3a3a6 6=15=15，a a6 6=5.=5. 所以所以 解得解得 或或 当当a a5 5=1=1，a a7 7=9=9时，时，d=4d=4， 通项公式通项公式a an n=a=a5 5+(n+(n- -5)d=1+(n5)d=1+(n- -5)5)4=4n4=4n- -1919； 当当a a5 5=9=9，a a7 7=1=1时，时，d=d=- -4 4， 通项公

29、式通项公式a an n=9+(n=9+(n- -5)5)( (- -4)=4)=- -4n+29.4n+29. 57 57 aa10 a a9 ， ， 5 7 a1 a9 ， 5 7 a9 a1. ， 【延伸探究延伸探究】若典例若典例1 1中将条件改为等差数列中将条件改为等差数列aan n ， bbn n 满足满足a a3 3+b+b3 3=13=13，a a5 5+b+b5 5=25=25，试求，试求a a7 7+b+b7 7. . 【解析解析】设设c cn n=a=an n+b+bn n， 由题意知新数列由题意知新数列ccn n 仍为等差数列，且仍为等差数列，且 c c3 3=13=13，

30、c c5 5=25=25，又因为，又因为2c2c5 5=c=c3 3+c+c7 7， 所以所以c c7 7=2c=2c5 5- -c c3 3=2=22525- -13=3713=37， 即即a a7 7+b+b7 7=37.=37. 【方法技巧方法技巧】等差数列运算的两条常用思路等差数列运算的两条常用思路 (1)(1)根据已知条件，列出关于根据已知条件，列出关于a a1 1，d d的方程的方程( (组组) )，确定，确定 a a1 1，d d，然后求其他量，然后求其他量. . (2)(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足 m+n=p+q

31、 =2r(mm+n=p+q =2r(m，n n，p p，q q，rNrN* *) )，则，则a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q=2a=2ar r. . 【变式训练变式训练】已知数列已知数列aan n 为等差数列，且满足为等差数列，且满足 a a4 4+a+a7 7+a+a10 10=17 =17，a a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a14 14=77 =77，a ak k=13=13，求，求k k的值的值. . 【解析解析】因为因为a a4 4+a+a10 10=2a =2a7 7， a a4 4+a+a14 14=a =a5 5+a+a13 13=a =a6 6

32、+a+a12 12=a =a7 7+a+a11 11=a =a8 8+a+a10 10=2a =2a9 9， 所以所以3a3a7 7=17=17，11a11a9 9=77=77，所以，所以a a7 7= = ，a a9 9=7.=7. 则等差数列则等差数列aan n 的公差的公差d=d= 所以所以，a an n=a=a9 9+(n+(n- -9)9) = n+1= n+1， 所以所以a ak k= k+1=13= k+1=13，所以，所以k=18.k=18. 17 3 97 aa2 . 9 73 2 3 2 3 2 3 【补偿训练补偿训练】已知等差数列已知等差数列aan n ， (1)(1)若

33、若a a1 1+a+a5 5+a+a9 9=6=6，求，求a a5 5. . (2)(2)若若a a7 7+a+a8 8+a+a22 22+a +a23 23=28 =28，a a7 7a a23 23=40 =40，求公差，求公差d.d. 【解析解析】(1)(1)因为因为a a1 1+a+a9 9=2a=2a5 5， 所以所以a a1 1+a+a5 5+a+a9 9=3a=3a5 5=6=6， 所以所以a a5 5=2.=2. (2)(2)因为因为a a7 7+a+a23 23=a =a8 8+a+a22 22， ， 所以所以a a7 7+a+a8 8+a+a22 22+a +a23 23=

34、2(a =2(a7 7+a+a23 23)=28. )=28. 解得解得a a7 7+a+a23 23=14. =14. 又已知又已知a a7 7a a23 23=40 =40， 联立解得联立解得a a7 7=4=4，a a23 23=10 =10或或a a7 7=10=10，a a23 23=4. =4. 当当a a7 7=4=4，a a23 23=10 =10时，时，d=d= 当当a a7 7=10=10，a a23 23=4 =4时，时，d=d= 所以公差所以公差d d为为 或或- - . . 237 aa3 23 78 ； 237 aa3 . 23 78 3 8 3 8 类型三类型三

35、等差数列的设法与求解等差数列的设法与求解 【典例典例】(2015(2015中山高二检测中山高二检测) )三个数成等差数列，三个数成等差数列， 这三个数的和为这三个数的和为6 6，三个数之积为，三个数之积为- -2424，求这三个数，求这三个数. . 【解题探究解题探究】本例中，列方程组计算三个数时，如何本例中，列方程组计算三个数时，如何 设三个数可以使运算更加方便？设三个数可以使运算更加方便？ 提示：提示：可设所求三个数为可设所求三个数为a a- -d d，a a，a+d.a+d. 【解析解析】设这三个数为：设这三个数为：a a- -d d，a a，a+da+d，依题意得：，依题意得： 解得解

36、得 或或 所以所求三数为：所以所求三数为：- -2 2，2 2，6 6或或6 6，2 2，- -2.2. (ad)a(ad)6 (ad)a(ad)24 ， ， a2 d4 ，a2 d4 ， ， 【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件) )本例条件改为：三个数成本例条件改为：三个数成 单调递增等差数列，它们的和等于单调递增等差数列，它们的和等于1818，它们的平方和，它们的平方和 等于等于116116，求这三个数，求这三个数. . 【解析解析】设所求三个数依次为设所求三个数依次为a a- -d d，a a，a+d(d0)a+d(d0)， 根据题意得到方程组根据题意得到方程组 (a(a-

37、 -d)+a+(a+d)=18d)+a+(a+d)=18， (a(a- -d)d)2 2+a+a2 2+(a+d)+(a+d)2 2=116.=116. 由得由得a=6.a=6.将将a=6a=6代入，得代入，得d=2d=2，d=d=- -2(2(舍舍).). 所以所求三个数依次为所以所求三个数依次为4 4，6 6，8.8. 2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法) )若把本例条件改为“成等差若把本例条件改为“成等差 数列的四个数之和为数列的四个数之和为2626，第二个数和第三个数之积为，第二个数和第三个数之积为 40”40”，求这四个数，求这四个数. . 【解析解析】设四个数分别为设

38、四个数分别为a a- -3d3d，a a- -d d，a+da+d，a+3da+3d， 则：则： 由得：由得：a= a= ，将，将a= a= 代入得：代入得：d=d= ， 所以四个数为所以四个数为2 2，5 5，8 8，1111或或1111，8 8，5 5，2.2. (a3d)(ad)(ad)(a3d)26 (ad)(ad)40 ， ， 13 2 13 2 3 2 【方法技巧方法技巧】设等差数列的三个技巧设等差数列的三个技巧 (1)(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：对于连续奇数项的等差数列，可设为：，x x- -d d，x x， x+dx+d，此时公差为，此时公差为d.d. (2)(2)

39、对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：，a a- - 3d3d，a a- -d d，a+da+d，a+3da+3d，此时公差为，此时公差为2d.2d. (3)(3)等差数列的通项可设为等差数列的通项可设为a an n=pn+q.=pn+q. 【补偿训练补偿训练】四个数成等差数列，它们的平方和为四个数成等差数列，它们的平方和为9494， 第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积 少少1818，求这四个数，求这四个数. . 【解析解析】设四个数为设四个数为a a- -3d3d，a a- -d d，a+da+d

40、，a+3da+3d， 根据题意，得根据题意，得(a(a- -3d)3d)2 2+(a+(a- -d)d)2 2+(a+d)+(a+d)2 2+(a+3d)+(a+3d)2 2=94=94， 即即4a4a2 2+20d+20d2 2=94.=94. 又又(a(a- -3d)(a+3d)=(a3d)(a+3d)=(a- -d)(a+d)d)(a+d)- -1818， 即即8d8d2 2=18=18，所以，所以d=d= . .代入，得代入，得a=a= ， 所以所求四个数为所以所求四个数为8 8，5 5，2 2，- -1 1，或，或1 1，- -2 2，- -5 5，- -8 8， 或或- -1 1，

41、2 2，5 5，8 8，或，或- -8 8，- -5 5，- -2 2，1.1. 3 2 7 2 【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法) )若将本题改为：若将本题改为： 设三个数成单调递减的等差数列，三个数和为设三个数成单调递减的等差数列，三个数和为1212，三，三 个数的积为个数的积为4848，求这三个数，求这三个数. . 【解析解析】设所求三个数为设所求三个数为a a- -d d，a a，a+d(d0，所以，所以d=1d=1， 所以所求的四个数为所以所求的四个数为- -2 2，0 0，2 2，4.4. 拓展类型拓展类型 等差数列的综合问题等差数列的综合问题

42、【典例典例】1.1.把数列把数列2n+12n+1中的项依次按第一个括号一中的项依次按第一个括号一 个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四 个括号四个数，第五个括号一个数，个括号四个数，第五个括号一个数，循环，为：，循环，为： (3)(3)，(5(5，7)7)，(9(9，1111，13)13)，(15(15，1717，1919，21)21)， (23)(23)，(25(25，27)27)，(29(29，3131，33)33)，(35(35，3737，3939，41)41)， (43)(43)，则第，则第104104个括号内的各数之和为个括号内

43、的各数之和为( ( ) ) A.2036A.2036 B.2048B.2048 C.2060C.2060 D.2072D.2072 2.(20142.(2014金华高一检测金华高一检测) )在圆在圆x x2 2+y+y2 2=5x=5x内，过点内，过点 有有n n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项 a a1 1，最大弦长为，最大弦长为a an n，若公差，若公差d d ，那么，那么n n的可能的可能 取值为取值为_._. 5 3 () 2 2 ， 1 1 6 3 ， 【解析解析】1.1.选选D.D.由观察发现，每四个括号是一个循环，由观察发现，

44、每四个括号是一个循环， 一个循环由一个循环由1010个数组成，个数组成，104104个括号有个括号有2626个循环，则第个循环，则第 104104个括号内有四个数，这四个数为数列个括号内有四个数，这四个数为数列3 3，5 5，7 7， 9 9，的第的第257257项、第项、第258258项、第项、第259259项、第项、第260260项，分别项，分别 为为3+(2573+(257- -1)1)2 2，3+(2583+(258- -1)1)2 2，3+(2593+(259- -1) 1) 2 2， 3+(2603+(260- -1)1)2 2，即，即515515，517517，519519，52

45、1521，其和为，其和为2 072.2 072. 2.2.圆圆x x2 2+y+y2 2=5x=5x的圆心为的圆心为C( )C( )，半径为，半径为r= .r= . 过点过点P( )P( )最短弦的弦长为最短弦的弦长为 过点过点P( )P( )最长弦长为圆的直径长最长弦长为圆的直径长a an n=5=5， 所以所以4+(n4+(n- -1)d=51)d=5，d=d= 因为因为d d ， 5 0 2， 5 2 5 3 2 2 ， 2222 1 53 a2 r|PC|2 ( )( )4 22 ， 5 3 2 2 ， 1 n 1 ， 1 1 6 3 ， 所以所以 所以所以4n7.n4n7.n的可能取值为的可能取值为4 4，5 5，6 6，7.7. 答案：答案：4 4，5 5，6 6，7 7 111 6n 13 ，