人教版高中数学必修五同课异构课件：1.2　应用举例1.2.2 精讲优练课型 .ppt

1、第2课时 解三角形的实际应用举例高度、角 度问题 【知识提炼知识提炼】 1.1.仰角和俯角仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线与目标视线在同一铅垂平面内的水平线 和目标视线的夹角，目标视线在水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线 _时叫仰角，目标视线在水平线时叫仰角，目标视线在水平线_ 时叫俯角，如图所示时叫俯角，如图所示. . 上方上方 下方下方 2.2.方位角和方向角方位角和方向角 (1)(1)方位角：从方位角：从_方向方向_转到目标方向线所成转到目标方向线所成 的角的角. . 如图如图(1)(1)目标目标A A的方位角为的方位角为135135. . 正北正北 顺时针顺时针 (

2、2)(2)方向角：从方向角：从_方向线到目标方向线所成的小于方向线到目标方向线所成的小于 9090的水平角的水平角. .如图如图(2)(2)，北偏东，北偏东3030，南偏东，南偏东4545. . 指定指定 3.3.视角视角 从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的_，如，如 图所示，视角图所示，视角5050指的是观察该物体的两端视线张开指的是观察该物体的两端视线张开 的角度的角度. . 夹角夹角 【即时小测即时小测】 1.1.思考下列问题思考下列问题: : (1)(1)仰角和俯角都是与铅垂线所成的角吗？仰角和俯角都是与铅垂线所成的角吗？ 提示：提示：不是不是

3、. .仰角和俯角都是与水平线所成的角仰角和俯角都是与水平线所成的角. . (2)(2)方位角的范围是方位角的范围是(0(0， ) )吗？吗？ 提示：提示：不是不是. .方位角的概念表明，“从正北方向顺时针方位角的概念表明，“从正北方向顺时针 转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该 是是(0(0，2 2 ).). 2.2.从从A A处望处望B B处的仰角为处的仰角为 ，从，从B B处望处望A A处的俯角为处的俯角为 ， 则则 ， 的关系为的关系为( ( ) ) A.A. B. B. = = C.C. + + =90=90 D.D. + + =

4、180=180 【解析解析】选选B.B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，根据题意和仰角、俯角的概念画出草图， 如图，因为两直线平行内错角相等，所以如图，因为两直线平行内错角相等，所以 = = . . 3.3.从高出海平面从高出海平面h h米的小岛看正东方向有一只船俯角为米的小岛看正东方向有一只船俯角为 3030，看正南方向有一只船俯角为，看正南方向有一只船俯角为4545，则此时两船，则此时两船 间的距离为间的距离为( ( ) ) A.2hA.2h米米 B. hB. h米米 C. hC. h米米 D.2 hD.2 h米米 2 32 【解析解析】选选A.A.如图所示，如图所示， BC= hBC

5、= h，AC=hAC=h， 所以所以AB= =2h(AB= =2h(米米).). 3 22 3hh 4.4.如图所示，如图所示，D D，C C，B B在地平面同一直线上，在地平面同一直线上，DC=10mDC=10m， 从从D D，C C两地测得两地测得A A点的仰角分别为点的仰角分别为3030和和4545，则，则A A点点 离地面的高离地面的高ABAB等于等于( ( ) ) A.10m B.5 mA.10m B.5 m C.5( C.5( - -1)m D.5( +1)m1)m D.5( +1)m 3 33 【解析解析】选选D.D.在在ACDACD中，由正弦定理得中，由正弦定理得 AD= =1

6、0( +1).AD= =10( +1). 在在RtRtABDABD中，中，AB=ADsin30AB=ADsin30=5( +1)(m).=5( +1)(m). 10sin 135 sin 15 3 3 5.5.身高为身高为1.701.70米的李明站在离旗杆米的李明站在离旗杆2020米的地方，目测米的地方，目测 该旗杆的高度，若李明此时的仰视角为该旗杆的高度，若李明此时的仰视角为3030，则该旗，则该旗 杆的高度约为杆的高度约为_米米.(.(精确到精确到0.10.1米米) ) 【解析解析】h= +1.7013.2(h= +1.7013.2(米米).). 答案：答案：13.213.2 20 3 【

7、知识探究知识探究】 知识点知识点 高度和角度的测量问题高度和角度的测量问题 观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题： 问题问题1 1：如图：如图1 1，求高度时，底可到达时，如何求解？，求高度时，底可到达时，如何求解？ 问题问题2 2：如图：如图2 2，图，图3 3，求高度时，底不可到达时，如何，求高度时，底不可到达时，如何 求解？求解？ 【总结提升总结提升】测量高度问题时常见的三种数学模型及测量高度问题时常见的三种数学模型及 其特征其特征 (1)(1)三种模型三种模型. . 底部可到达底部可到达 底部不可到达底部不可到达 解直角三角形解直角三角形 解直角三角形解直角三角形 解一般三角

8、形解一般三角形 (2)(2)特征特征. . 底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形. . 底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内， 此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条 直线上，观测者一直向“目标物”前进直线上，观测者一直向“目标物”前进. . 底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面. .此类问题此类问题 中观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”中观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”. . 【题型探究题型探究】

9、 类型一类型一 高度问题高度问题 【典例典例】1.(20151.(2015湖北高考湖北高考) )如图，一辆汽车在一条如图，一辆汽车在一条 水平的公路上向正西行驶，到水平的公路上向正西行驶，到A A处时测得公路北侧一山处时测得公路北侧一山 顶顶D D在西偏北在西偏北3030的方向上，行驶的方向上，行驶600m600m后到达后到达B B处，测处，测 得此山顶在西偏北得此山顶在西偏北7575的方向上，仰角为的方向上，仰角为3030，则此，则此 山的高度山的高度CD=_m.CD=_m. 2.2.如图，为了测量河对岸的塔高如图，为了测量河对岸的塔高ABAB，有不，有不 同的方案，其中之一是选取与塔底同的

10、方案，其中之一是选取与塔底B B在同在同 一水平面内的两个观测点一水平面内的两个观测点C C和和D D，测得，测得CD=CD= 200200米，在米，在C C点和点和D D点测得塔顶点测得塔顶A A的仰角分别是的仰角分别是4545和和 3030，且，且CBD=30CBD=30，求塔高，求塔高AB.AB. 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，图中西偏北中，图中西偏北3030及西偏北及西偏北 7575的分别是哪个角？仰角为的分别是哪个角？仰角为3030指的是哪个角？指的是哪个角？ 提示：提示：图中西偏北图中西偏北3030即即CAB=30CAB=30，西偏北，西偏北7575即即 ABCAB

11、C的补角的补角. .仰角为仰角为3030即即DBC=30DBC=30. . 2.2.典例典例2 2中，在中，在BCDBCD中，已知中，已知CDCD，CBDCBD，如何建立关，如何建立关 于塔高的方程？于塔高的方程？ 提示：提示：设设AB=hAB=h，将，将BCBC与与BDBD分别用分别用h h表示，在表示，在BCDBCD中，中， 利用余弦定理建立关于塔高利用余弦定理建立关于塔高h h的方程求解的方程求解. . 【解析解析】1.1.在在ABCABC中，中，CAB=30CAB=30，ACB=75ACB=75- - 3030=45=45，根据正弦定理知，根据正弦定理知， 即即 BC= BC= sin

12、BAC= (m)sinBAC= (m)，所以，所以 CD=BCCD=BCtanDBC= (m).tanDBC= (m). 答案：答案： BCAB sin BACsin ACB ， AB sin ACB 6001 300 2 22 2 3 300 2100 6 3 100 6 2.2.在在RtRtABCABC中，中，ACB=45ACB=45，设，设AB=hAB=h，则，则BC=hBC=h； 在在RtRtABDABD中，中，ADB=30ADB=30，则，则BD= h.BD= h. 在在BCDBCD中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得 CDCD2 2=BC=BC2 2+BD+BD2 2- -2 2B

13、CBCBDBDcosCBDcosCBD， 即即2002002 2=h=h2 2+( h)+( h)2 2- -2 2h h h h ， 所以所以h h2 2=200=2002 2，解得，解得h=200(h=h=200(h=- -200200舍去舍去).). 即塔高即塔高ABAB为为200200米米. . 3 33 3 2 【方法技巧方法技巧】测量高度的一般步骤测量高度的一般步骤 (1)(1)根据已知条件画出示意图根据已知条件画出示意图. . (2)(2)分析与问题有关的三角形分析与问题有关的三角形. . (3)(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步运用正、余弦定理，有序地解相关的三

14、角形，逐步 求解求解. . (4)(4)把解出的答案还原到实际问题中把解出的答案还原到实际问题中. . 【变式训练变式训练】(2015(2015潍坊高二潍坊高二 检测检测) )如图，为测量山高如图，为测量山高MNMN，选，选 择择A A和另一座山的山顶和另一座山的山顶C C为测量观为测量观 测点测点. .从从A A点测得点测得M M点的仰角点的仰角MAN=60MAN=60，C C点的仰角点的仰角 CAB=45CAB=45以及以及MAC=75MAC=75；从；从C C点测得点测得MCA=60MCA=60. . 已知山高已知山高BC=100mBC=100m，则山高，则山高MN=_m.MN=_m.

15、【解析解析】如图，如图， 在在RtRtABCABC中，中，BC=100BC=100，CAB=45CAB=45， 所以所以AC=100 .AC=100 . 在在AMCAMC中，中，CAM=75CAM=75，ACM=60ACM=60， 所以所以AMC=45AMC=45. . 由正弦定理知由正弦定理知 所以所以AM=100 .AM=100 . 2 AM100 2 sin 60sin 45 ， 3 在在RtRtAMNAMN中，中，NAM=60NAM=60， 所以所以MN=AMMN=AMsin60sin60=100 =100 =150(m).=150(m). 答案：答案：150150 3 3 2 【补偿

16、训练补偿训练】某人从塔某人从塔ABAB的正东的正东C C处沿着南偏西处沿着南偏西6060的的 方向前进方向前进4040米后到达米后到达D D处，望见塔在东北方向，若沿途处，望见塔在东北方向，若沿途 测得塔的最大仰角为测得塔的最大仰角为3030，求塔高，求塔高. . 【解题指南解题指南】解答时可以先依据题意画出图形，着重解答时可以先依据题意画出图形，着重 思考何时仰角最大，要突破这一难点，可转化为沿途思考何时仰角最大，要突破这一难点，可转化为沿途 观测点何处距塔底观测点何处距塔底B B距离最小距离最小. . 【解析解析】根据题意画出示意图，且根据题意画出示意图，且BECD.BECD.在在BDCB

17、DC中，中， CD=40CD=40，BCD=30BCD=30，DBC=135DBC=135. . 由正弦定理，由正弦定理， 得得 所以所以BD=BD= CDBD sin DBCsin DCB ， 40sin 30 20 2. sin 135 在在RtRtBEDBED中，中，BDE=180BDE=180- -135135- -3030=15=15， 所以所以BE=DBsin15BE=DBsin15 62 20 210( 3 1). 4 在在RtRtABEABE中，中，AEB=30AEB=30， 所以所以AB=BEtan 30AB=BEtan 30= (= (米米).). 故塔高为故塔高为 米米.

18、 . 10 (33) 3 10 (33) 3 类型二类型二 角度问题角度问题 【典例典例】1.1.已知两座灯塔已知两座灯塔A A和和B B与海洋观察站与海洋观察站C C的距离相的距离相 等，灯塔等，灯塔A A在观察站在观察站C C的北偏东的北偏东4040，灯塔，灯塔B B在观察站在观察站C C 的南偏东的南偏东6060，则灯塔，则灯塔A A在灯塔在灯塔B B的的( ( ) ) A.A.北偏东北偏东1010 B.B.北偏西北偏西1010 C.C.南偏东南偏东1010 D.D.南偏西南偏西1010 2.2.如图，甲船在如图，甲船在A A处，乙船在处，乙船在A A处的南偏东处的南偏东 4545方向，

19、距方向，距A A有有9 9海里的海里的B B处，并以处，并以2020海海 里每小时的速度沿南偏西里每小时的速度沿南偏西1515方向行驶，方向行驶， 若甲船沿南偏东若甲船沿南偏东 度的方向，并以度的方向，并以2828海里每小时的速海里每小时的速 度行驶，恰能在度行驶，恰能在C C处追上乙船处追上乙船. .问用多少小时追上乙船，问用多少小时追上乙船， 并求并求sinsin 的值的值.(.(结果保留根号，无需求近似值结果保留根号，无需求近似值) ) 【解题探究解题探究】 1.1.典例典例1 1中，分析题中角的关系的关键是什么？中，分析题中角的关系的关键是什么？ 提示：提示：确定角的关系的关键是画出图

20、形，并结合方向确定角的关系的关键是画出图形，并结合方向 角的有关概念求解角的有关概念求解. . 2.2.典例典例2 2中，如何求中，如何求ABCABC？ 提示提示：ABC=180ABC=180- -1515- -4545=120=120. . 【解析解析】1.1.选选B.B.如图，由题意，知如图，由题意，知AC=BCAC=BC，ACB=80ACB=80， 所以所以CBA=50CBA=50，+CBA=60+CBA=60. .所以所以=10=10， 即灯塔即灯塔A A在灯塔在灯塔B B的北偏西的北偏西1010. . 2.2.设用设用t t小时，甲船追上乙船，且在小时，甲船追上乙船，且在C C处相遇

21、，处相遇， 那么在那么在ABCABC中，中，AC=28tAC=28t，BC=20tBC=20t，AB=9AB=9， ABC=180ABC=180- -1515- -4545=120=120，由余弦定理得：，由余弦定理得： (28t)(28t)2 2=81+(20t)=81+(20t)2 2- -2 29 920t20t( )( )， 128t128t2 2- -60t60t- -27=027=0，解得，解得t= t= 或或t=t=- - ( (舍去舍去) )， 1 2 3 4 9 32 所以所以AC=21(AC=21(海里海里) )，BC=15(BC=15(海里海里) )， 根据正弦定理，得根

22、据正弦定理，得sinBAC=sinBAC= cosBAC=cosBAC= 又又ABC=120ABC=120，BACBAC为锐角，为锐角， 所以所以=45=45- -BACBAC， BCsin ABC5 3 AC14 ， 2 7511 1. 1414 sin=sin(45sin=sin(45- -BAC)BAC) =sin45=sin45cosBACcosBAC- -cos45cos45sinBAC=sinBAC= 11 25 6 . 28 【延伸探究延伸探究】典例典例2 2中若乙船向正南方向行驶，速度未中若乙船向正南方向行驶，速度未 知，而甲船沿南偏东知，而甲船沿南偏东1515的方向行驶恰能与

23、乙船相遇，的方向行驶恰能与乙船相遇， 其他条件不变，试求乙船的速度其他条件不变，试求乙船的速度. . 【解析解析】设乙船的速度为设乙船的速度为x x海里每小时，用海里每小时，用t t小时甲船小时甲船 追上乙船，且在追上乙船，且在C C处相遇处相遇( (如图所示如图所示) )， 则在则在ABCABC中，中，AC=28tAC=28t，BC=xtBC=xt， CAB=30CAB=30，ABC=135ABC=135. . 由正弦定理得由正弦定理得 ACBC sin ABCsin CAB ， 即即 所以所以 ( (海里每小时海里每小时).). 答：乙船的速度为答：乙船的速度为14 14 海里每小时海里每

24、小时. . 28txt sin 135sin 30 ， 1 28 28 sin 30 2 x14 2 sin 1352 2 2 【方法技巧方法技巧】测量角度问题的基本思路测量角度问题的基本思路 (1)(1)测量角度问题关键是在弄清题意的基础上，画出表测量角度问题关键是在弄清题意的基础上，画出表 示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离. . (2)(2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后 将解得的结果转化为实际问题的解将解得的结果转化为实际问题的解. . 【拓展延伸拓展延伸】解决追及问题的步骤

25、解决追及问题的步骤 (1)(1)把实际问题转化为数学问题把实际问题转化为数学问题. . (2)(2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角 和距离，借助正弦定理或余弦定理解决问题和距离，借助正弦定理或余弦定理解决问题. . (3)(3)把数学问题还原到实际问题中去把数学问题还原到实际问题中去. . 【变式训练变式训练】如图所示，位于如图所示，位于A A处的处的 信息中心获悉：在其正东方向相距信息中心获悉：在其正东方向相距 4040海里的海里的B B处有一艘渔船遇险，在原处有一艘渔船遇险，在原 地等待营救地等待营救. .信息中心立即把消息告知在其

26、南偏西信息中心立即把消息告知在其南偏西3030、 相距相距2020海里的海里的C C处的乙船，现乙船朝北偏东处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿的方向沿 直线直线CBCB前往前往B B处救援，则处救援，则coscos 的值为的值为_._. 【解析解析】在在ABCABC中，中，AB=40AB=40，AC=20AC=20，BAC=120BAC=120， 由余弦定理得，由余弦定理得，BCBC2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2- -2AB2ABACACcos120cos120= = 2 8002 800，所以，所以BC=BC= 由正弦定理得，由正弦定理得， 所以所以sinACB=sinACB=

27、20 7， ABBC sin ACBsin BAC ， AB21 sin BAC BC7 ， 由由BAC=120BAC=120，知，知ACBACB为锐角，则为锐角，则cosACB=cosACB= 由由=ACB+30=ACB+30，cos=cos(ACB+30cos=cos(ACB+30) ) =cosACBcos30=cosACBcos30- -sinACBsin30sinACBsin30= = 故故coscos的值为的值为 . . 答案：答案： 2 7 . 7 21 . 14 21 14 21 14 【补偿训练补偿训练】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信 号

28、，我海军舰艇在号，我海军舰艇在A A处获悉后，立即测出该渔船在方位处获悉后，立即测出该渔船在方位 角为角为4545，距离，距离A A为为1010海里的海里的C C处，并测得渔船正沿方处，并测得渔船正沿方 位角为位角为105105的方向，以的方向，以1010海里海里/ /时的速度向小岛时的速度向小岛B B靠拢，靠拢， 我海军舰艇立即以我海军舰艇立即以10 10 海里海里/ /时的速度前去营救，并时的速度前去营救，并 在小岛在小岛B B处与渔船相靠，求舰艇的航向和靠近渔船所需处与渔船相靠，求舰艇的航向和靠近渔船所需 的时间的时间. . 3 【解析解析】如图所示，设所需时间为如图所示，设所需时间为t

29、 t小时，小时， 则则AB=10 tAB=10 t，BC=10tBC=10t， 在在ABCABC中，由余弦定理得，中，由余弦定理得， ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2- -2AC2ACBCBCcos120cos120， 即即(10 t)(10 t)2 2=10=102 2+(10t)+(10t)2 2- -2 2101010tcos12010tcos120. . 整理得：整理得：2t2t2 2- -t t- -1=01=0，解得，解得t=1t=1或或t=t=- - ( (舍去舍去) )， 3 3 1 2 所以舰艇需所以舰艇需1 1小时靠近渔船，此时小时靠近渔船，此时AB=10

30、 AB=10 ，BC=10.BC=10. 3 在在ABCABC中，由正弦定理得：中，由正弦定理得： 所以所以sinCAB=sinCAB= 所以所以CAB=30CAB=30. . 所以舰艇航行的方位角为所以舰艇航行的方位角为7575. . BCAB sin CABsin 120 ， 3 10 BC sin 1201 2 . AB210 3 易错案例易错案例 正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用 【典例典例】某观测站某观测站C C在城在城A A的南偏西的南偏西2020的方向，由城的方向，由城A A 出发的一条公路，走向是南偏东出发的一条公路，走向是南偏东4040，在，在C C处测得公路处测

31、得公路 上上B B处有一人，距处有一人，距C C为为3131千米，正沿公路向千米，正沿公路向A A城走去，走城走去，走 了了2020千米后到达千米后到达D D处，此时处，此时CDCD间的距离为间的距离为2121千米，则这千米，则这 人能到达人能到达A A城还要走城还要走_千米千米 【失误案例失误案例】 【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：提示：本题在解本题在解ACDACD时，利用余弦定理求时，利用余弦定理求ADAD，产生了，产生了 增解，应用正弦定理来求解增解，应用正弦定理来求解. . 【自我矫正自我矫正】如图，令如图，令ACD=ACD=

32、，CDB=CDB=，在，在CBDCBD 中，由余弦定理得中，由余弦定理得 cos=cos= 所以所以sin=sin= 又又sin=sin(sin=sin(- -6060) ) =sincos60=sincos60- -sin60sin60coscos 222222 BDCDCB2021311 2BD CD2 20 217 ， 4 3 . 7 4 31315 3 722714 ， 在在ACDACD中，由正弦定理得中，由正弦定理得 所以所以AD= =15(AD= =15(千米千米).). 答案：答案：1515 21AD sin 60sin ， 21 sin sin 60 【防范措施防范措施】解决应

33、用举例问题的两个关注点解决应用举例问题的两个关注点 (1)(1)审题作图：认真阅读题目，依据题目中给出的角审题作图：认真阅读题目，依据题目中给出的角 ( (注意明确相关角的概念注意明确相关角的概念) )及给出的相应长度，正确画及给出的相应长度，正确画 出对应的图形，在图形中标出相应的角度或长度出对应的图形，在图形中标出相应的角度或长度. . (2)(2)根据图形中的数据，合理选择公式及定理根据图形中的数据，合理选择公式及定理. .注意在注意在 利用余弦定理时，有时会出现两个解，解题时要注意利用余弦定理时，有时会出现两个解，解题时要注意 根据实际情况进行取舍，避免出现增解根据实际情况进行取舍，避免出现增解. .