人教版高中数学必修五同课异构课件：1.1.2 余弦定理 精讲优练课型 .ppt

1、1.1.2 余弦定理 【知识提炼知识提炼】 余弦定理余弦定理 1.1.文字表述文字表述 三角形中任何一边的平方等于三角形中任何一边的平方等于_减减 去这两边与它们的去这两边与它们的_的两倍的两倍. . 其他两边的平方的和其他两边的平方的和 夹角的余弦的积夹角的余弦的积 2.2.公式表达公式表达 a a2 2=_=_， b b2 2=_=_， c c2 2=_.=_. b b2 2+c+c2 2- -2bccosA2bccosA a a2 2+c+c2 2- -2accosB2accosB a a2 2+b+b2 2- -2abcosC2abcosC 3.3.变形变形 cosA=_cosA=_；

2、cosB=_cosB=_；cosC=_cosC=_ _._. 222 bca 2bc 222 acb 2ac 222 abc 2ab 【即时小测即时小测】 1.1.思考下列问题思考下列问题: : (1)(1)在在ABCABC中，若中，若a a2 2a，所以，所以BABA， 所以角所以角A A为锐角为锐角. . 62 . 4 26 23 62 由正弦定理，由正弦定理， 得得sinA=sinA= 因为因为0 0csin30=3 =3 = = 知本题有两解知本题有两解. . 由正弦定理由正弦定理sinC=sinC= 所以所以C=60C=60或或120120. . 当当C=60C=60时，时，A=90

3、A=90， 由勾股定理由勾股定理 3 1 2 3 3 2 1 3 3 csin B3 2 b32 ， 2222 abc3(3 3)6 ， 当当C=120C=120时，时，A=30A=30，ABCABC为等腰三角形，为等腰三角形， 则则a=3.a=3. 类型二类型二 已知三边解三角形已知三边解三角形 【典例典例】1.1.在在ABCABC中，若中，若a=7a=7，b=4 b=4 ，c= c= ，则，则 ABCABC的最小角为的最小角为_._. 2.2.已知已知ABCABC的三边长为的三边长为a=2 a=2 ，b=2 b=2 ，c=c= 解此三角形解此三角形. . 313 3262, 【解题探究解题

4、探究】1.1.在典例在典例1 1的三角形中，边和角有怎样的的三角形中，边和角有怎样的 大小对应关系？大小对应关系？ 提示：提示：大角对大边，故此大角对大边，故此ABCABC的最小角为角的最小角为角C.C. 2.2.典例典例2 2中，可按什么顺序求解三角形？中，可按什么顺序求解三角形？ 提示：提示：已知三边解三角形可先利用余弦定理求出两个已知三边解三角形可先利用余弦定理求出两个 角的余弦值进而求出这两个角，再利用内角和定理求角的余弦值进而求出这两个角，再利用内角和定理求 出第三个角出第三个角. . 【解析解析】1.1.因为因为c1)，求这个三角形的最大角，求这个三角形的最大角. . 【解析解析】

5、因为因为x1x1，所以，所以(x(x2 2+x+1)+x+1)- -(x(x2 2- -1)=x+201)=x+20， (x(x2 2+x+1)+x+1)- -(2x+1)=x(2x+1)=x2 2- -x=x(xx=x(x- -1)0.1)0. 所以所以x x2 2+x+1+x+1是三角形中的最大边是三角形中的最大边. . 该边所对的角是最大角，设此最大角为该边所对的角是最大角，设此最大角为A A， 则则cosA=cosA= 因为因为0 0A180A180，所以，所以A=120A=120， 即三角形的最大角为即三角形的最大角为120120. . 22222 2 (x1)(2x 1)(xx 1

6、)1 2(x1)(2x 1)2 ， 类型三类型三 判断三角形的形状判断三角形的形状 【典例典例】1.(20151.(2015武冈高二检测武冈高二检测) )在在ABCABC中，已知中，已知 sinA=2cosBsinCsinA=2cosBsinC，则，则ABCABC是是( ( ) ) A.A.直角三角形直角三角形 B.B.等腰三角形等腰三角形 C.C.等腰直角三角形等腰直角三角形 D.D.不确定不确定 2.2.在在ABCABC中，中，(a+b+c)(b+c(a+b+c)(b+c- -a)=3bca)=3bc，且，且sinA= sinA= 2sinBcosC2sinBcosC，试判断，试判断ABC

7、ABC的形状的形状. . 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，如何根据等式判断三角形的中，如何根据等式判断三角形的 形状？形状？ 提示：提示：可利用正弦定理将“角”化为“边”，再利用可利用正弦定理将“角”化为“边”，再利用 余弦定理寻找边与边之间的关系来判断三角形形状余弦定理寻找边与边之间的关系来判断三角形形状. . 2.2.典例典例2 2中，判断三角形形状的思路是什么？中，判断三角形形状的思路是什么？ 提示：提示：可以先利用三边之间的数量关系式，应用余弦可以先利用三边之间的数量关系式，应用余弦 定理求角定理求角A A，再应用三角公式求出另外两角，进而判断，再应用三角公式求出另外两角

8、，进而判断 ABCABC的形状的形状. . 【解析解析】1.1.选选B.B.由正弦定理可得由正弦定理可得a=2ca=2ccosBcosB， 由余弦定理得由余弦定理得a=2ca=2c ，化简得，化简得b=c.b=c. 所以所以ABCABC是等腰三角形是等腰三角形. . 222 acb 2ac 2.2.因为因为(a+b+c)(b+c(a+b+c)(b+c- -a)=3bca)=3bc， 所以所以a a2 2=b=b2 2+c+c2 2- -bcbc， 由余弦定理有由余弦定理有a a2 2=b=b2 2+c+c2 2- -2bccosA2bccosA， 所以所以cosA= cosA= ，即，即A=6

9、0A=60. . 又因为又因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinCsinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC， 1 2 且且sinA=2sinBcosCsinA=2sinBcosC， 所以所以sinBcosC=cosBsinCsinBcosC=cosBsinC，即，即sin(Bsin(B- -C)=0C)=0， 所以所以B=CB=C， 又因为又因为A=60A=60，所以，所以B+C=180B+C=180- -A=120A=120， 即即B=C=60B=C=60，故，故ABCABC为等边三角形为等边三角形. . 【方法技巧方法技巧】利用三角形的边角关

10、系判断三角形的形利用三角形的边角关系判断三角形的形 状的两个思路状的两个思路 (1)(1)利用边的关系判断：利用正、余弦定理把已知条件利用边的关系判断：利用正、余弦定理把已知条件 转化为边边关系，通过代数恒等变换得出边的相应关转化为边边关系，通过代数恒等变换得出边的相应关 系，从而判断三角形的形状系，从而判断三角形的形状. . (2)(2)利用角的关系判断：利用正、余弦定理把已知条件利用角的关系判断：利用正、余弦定理把已知条件 转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等 变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，变形，得出内角的关系，从而判

11、断出三角形的形状， 此时要注意应用此时要注意应用A+B+C=A+B+C= 这个结论这个结论. . 【变式训练变式训练】在在ABCABC中，已知中，已知 (a(a，b b，c c 分别为角分别为角A A，B B，C C的对边的对边) )，判断，判断ABCABC的形状的形状. . 2 Abc cos 22c 【解析解析】方法一：在方法一：在ABCABC中，由已知中，由已知 得得 所以所以cosA= .cosA= .根据余弦定理，得根据余弦定理，得 所以所以b b2 2+c+c2 2- -a a2 2=2b=2b2 2，即，即a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. . 所以所以ABCABC是直角

12、三角形是直角三角形. . 2 Abc cos 22c ， 1 cos Abc 22c ， b c 222 bcab . 2bcc 方法二：在方法二：在ABCABC中，设其外接圆半径为中，设其外接圆半径为R R，由正弦定，由正弦定 理知，理知， b=2RsinBb=2RsinB，c=2RsinCc=2RsinC， 由由 知，知，cosA=cosA= 所以所以cosA= cosA= ，即，即sinB=sinCcosA.sinB=sinCcosA. 因为因为B=B=- -(A+C)(A+C)，所以，所以sin(A+C)=sinCcosAsin(A+C)=sinCcosA， 所以所以sinAcosC=

13、0.sinAcosC=0. 2 Abc cos 22c b . c sin B sin C 因为因为A A，C C都是都是ABCABC的内角，所以的内角，所以A0A0，A.A. 所以所以cosC=0cosC=0，所以，所以C= .C= . 所以所以ABCABC是直角三角形是直角三角形. . 2 【补偿训练补偿训练】在在ABCABC中，若中，若b b2 2sinsin2 2C+cC+c2 2sinsin2 2B= B= 2bccosBcosC2bccosBcosC，试判断，试判断ABCABC的形状的形状. . 【解析解析】方法一：因为方法一：因为b b2 2sinsin2 2C+cC+c2 2s

14、insin2 2B= 2bccosBcosCB= 2bccosBcosC， 所以利用正弦定理可得所以利用正弦定理可得 sinsin2 2BsinBsin2 2C+sinC+sin2 2CsinCsin2 2B=2sinBB=2sinBsinCsinCcosBcosBcosCcosC， 因为因为sinBsinC0sinBsinC0，所以，所以sinBsinBsinC=cosBcosCsinC=cosBcosC， 所以所以cos(B+C)=0cos(B+C)=0，所以，所以cosA=0cosA=0， 因为因为0A0A，所以，所以A= A= ， 所以所以ABCABC为直角三角形为直角三角形. . 2

15、 方法二方法二：已知等式可化为：已知等式可化为 b b2 2- -b b2 2coscos2 2C+cC+c2 2- -c c2 2coscos2 2B=2bccosBcosCB=2bccosBcosC， 由余弦定理可得由余弦定理可得 所以所以b b2 2+c+c2 2=a=a2 2， 所以所以ABCABC为直角三角形为直角三角形. . 222222 222222 abcacb bcb ()c () 2ab2ac 222222 acbabc 2bc. 2ac2ab 方法三方法三：已知等式变形为：已知等式变形为 b b2 2(1(1- -coscos2 2C)+cC)+c2 2(1(1- -co

16、scos2 2B)=2bccosBB)=2bccosBcosCcosC， 所以所以b b2 2+c+c2 2=b=b2 2coscos2 2C+cC+c2 2coscos2 2B+2bccosBB+2bccosBcosCcosC， 因为因为b b2 2coscos2 2C+cC+c2 2coscos2 2B+2bccosBcosCB+2bccosBcosC =(bcosC+ccosB)=(bcosC+ccosB)2 2=a=a2 2， 所以所以b b2 2+c+c2 2=a=a2 2， 所以所以ABCABC为直角三角形为直角三角形. . 规范解答规范解答 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定

17、理解三角形 【典例典例】(12(12分分)(2015)(2015江苏高考江苏高考) )在在ABCABC中，已知中，已知 AB=2AB=2，AC=3AC=3，A=60A=60. . (1)(1)求求BCBC的长的长. . (2)(2)求求sin2Csin2C的值的值. . 【审题指导审题指导】(1)(1)要求要求BCBC的长，只需要利用余弦定理，的长，只需要利用余弦定理， 将数值代入到将数值代入到BCBC2 2=AC=AC2 2+AB+AB2 2- -2AC2ACABABcosAcosA求解求解. . (2)(2)要求要求sin2Csin2C的值，只需要利用正弦定理求出的值，只需要利用正弦定理求

18、出sinCsinC的的 值，利用余弦定理求出值，利用余弦定理求出cosCcosC的值，然后由二倍角的正的值，然后由二倍角的正 弦公式即可求得弦公式即可求得sin2Csin2C的值的值. . 【规范解答规范解答】 (1)(1)在在ABCABC中，由余弦定理可知，中，由余弦定理可知， BCBC2 2=AC=AC2 2+AB+AB2 2- -2AC2ACABABcosA.cosA. 2 2分分 即即BCBC2 2=3=32 2+2+22 2- -2 23 32 2cos60cos60. . 解得解得BC= .BC= .4 4分分 7 (2)(2)由正弦定理可知，由正弦定理可知， ，6 6分分 即即

19、，解得，解得sinC= sinC= ； 8 8分分 由余弦定理可得，由余弦定理可得，cosC=cosC= . .1010分分 ABBC sin Csin A 27 sin Csin 60 21 7 222 BCACAB 2BC AC 222 ( 7)322 7 727 3 所以所以sin2C=2sinCcosCsin2C=2sinCcosC = .= .1212分分 212 74 3 2 777 【题后悟道题后悟道】 1.1.熟练掌握正、余弦定理及其应用熟练掌握正、余弦定理及其应用 在三角形的六个元素中要知三个在三角形的六个元素中要知三个( (除三角外除三角外) )才能求解才能求解. . 已知一边和二角、已知两边和其中一边的对角，采用已知一边和二角、已知两边和其中一边的对角，采用 正弦定理；已知两边和夹角、已知三边，采用余弦定正弦定理；已知两边和夹角、已知三边，采用余弦定 理，如本例中已知理，如本例中已知ABAB，ACAC及角及角A A采用余弦定理求解采用余弦定理求解. . 2.2.注意隐含或限制条件的挖掘注意隐含或限制条件的挖掘 在三角形中注意三内角和等于在三角形中注意三内角和等于180180，在同一三角形中，在同一三角形中 大边对大角，大角对大边，大角的正弦值大于小角的大边对大角，大角对大边，大角的正弦值大于小角的 正弦值等隐含条件的应用正弦值等隐含条件的应用. .