人教版高中数学必修五同课异构课件：1.1.2 余弦定理 探究导学课型 .ppt

1、1.1.2 余 弦 定 理 1.1.掌握余弦定理及余弦定理的推导过程掌握余弦定理及余弦定理的推导过程. . 2.2.了解余弦定理的几种变形公式了解余弦定理的几种变形公式. . 3.3.能熟练应用余弦定理解三角形及处理现实生活中的实际问题能熟练应用余弦定理解三角形及处理现实生活中的实际问题. . 余弦定理余弦定理 平方平方 平方平方 夹角夹角 两倍两倍 c c2 2+a+a2 2- -2accosB2accosB 222 bca 2bc 222 cab 2ac 1.1.已知已知a a2 2+b+b2 2- -c c2 2= ab= ab，则，则C=(C=( ) ) A.30A.30 B.60B.

2、60 C.120C.120 D.150D.150 【解析解析】选选A.A.因为因为cosC= cosC= ，0 0acba知知C C最大，最大， 因为因为cosC=cosC= 所以所以C=120C=120. . 答案：答案：120120 37 22222 abc34371 2ab2 3 42 ， 4.4.在在ABCABC中，已知中，已知a a2 2+b+b2 2=c=c2 2，A=30A=30，a=1a=1，则，则S S ABCABC= = . . 【解析解析】因为因为a a2 2+b+b2 2=c=c2 2，所以，所以ABCABC是以是以C C为直角的直角三角为直角的直角三角 形，又因为形，

3、又因为A=30A=30，a=1a=1，所以，所以c=2c=2，b=b= 所以所以S S ABCABC= = 答案：答案： 22 ca3， 13 ab. 22 3 2 一、余弦定理及其证明一、余弦定理及其证明 探究探究1 1：如图，设：如图，设 那么向量那么向量c的平方是的平方是 什么？表示为对应的边可以得到什么式子？什么？表示为对应的边可以得到什么式子？ 提示提示：c= =b- -a，| |c| |2 2=(=(b- -a) )( (b- -a)=)=bb+ +aa- -2 2ab =a=a2 2+b+b2 2- -2abcosC2abcosC，所以，所以c c2 2=a=a2 2+b+b2

4、2- -2abcosC.2abcosC. ABACBC，cba 探究探究2 2：利用探究：利用探究1 1的结论思考下面的问题：的结论思考下面的问题： (1)(1)已知三角形的三边已知三角形的三边a a，b b，c c，如何表示，如何表示cosC.cosC. 提示：提示：由探究由探究1 1知知c c2 2=a=a2 2+b+b2 2- -2abcosC2abcosC，故，故cosC= cosC= (2)(2)若若C=90C=90，探究，探究1 1的结论还成立吗？如果成立写出该结论，的结论还成立吗？如果成立写出该结论， 若不成立说明理由若不成立说明理由. . 提示：提示：若若C=90C=90，探究

5、，探究1 1的结论仍成立，即的结论仍成立，即c c2 2=a=a2 2+b+b2 2. . 222 abc . 2ab 探究探究3 3：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系， 余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，请问两余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，请问两 定理之间有何联系？定理之间有何联系？ 提示：提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特 殊情况殊情况. . 【拓展延伸拓展延伸】利用平面图形的几何性质和利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理

6、勾股定理证明余弦定理 当当ABCABC为锐角三角形时，如图，为锐角三角形时，如图， 作作CDABCDAB，D D为垂足，则为垂足，则CD=bsinACD=bsinA， DB=cDB=c- -bcosAbcosA，则，则a a2 2=DB=DB2 2+CD+CD2 2=(c=(c- -bcosA)bcosA)2 2+(bsinA)+(bsinA)2 2 =b=b2 2+c+c2 2- -2bccosA2bccosA，其余两个式子同理可证；，其余两个式子同理可证； 当当ABCABC为钝角三角形时，如图，为钝角三角形时，如图， 作作CDABCDAB，交，交BABA的延长线于点的延长线于点D D，则，

7、则CD=bsinACD=bsinA， DB=bcos(DB=bcos( - -A)+c=cA)+c=c- -bcosAbcosA， 则则a a2 2=DB=DB2 2+CD+CD2 2=(c=(c- -bcosA)bcosA)2 2+(bsinA)+(bsinA)2 2 =b=b2 2+c+c2 2- -2bccosA2bccosA，其余两个式子同理可证；，其余两个式子同理可证； 当当ABCABC为直角三角形时，易证余弦定理仍然成立为直角三角形时，易证余弦定理仍然成立. . 【探究总结探究总结】对余弦定理及其推论的两点说明对余弦定理及其推论的两点说明 (1)(1)余弦定理适用于任意三角形，反映

8、了三角形中三条边与一余弦定理适用于任意三角形，反映了三角形中三条边与一 个内角的余弦之间严格确定的量化关系个内角的余弦之间严格确定的量化关系. . (2)(2)余弦定理余弦定理a a2 2=b=b2 2+c+c2 2- -2bccosA2bccosA还可改写为还可改写为sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C C- - 2sinB2sinBsinCcosAsinCcosA，有时应用它求三角函数值会很方便，有时应用它求三角函数值会很方便. . 二、余弦定理在解三角形中的应用二、余弦定理在解三角形中的应用 探究探究1 1：根据余弦定理及其推论的形式，可以解哪两类三角

9、形：根据余弦定理及其推论的形式，可以解哪两类三角形 问题？问题？ 提示：提示：余弦定理及其推论可以解决以下两类三角形问题：余弦定理及其推论可以解决以下两类三角形问题： (1)(1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边. . (2)(2)已知三角形的三条边就可以求出其角已知三角形的三条边就可以求出其角. . 探究探究2 2：根据下面的提示，写出角：根据下面的提示，写出角A A的范围的范围 在在ABCABC中，若中，若a a2 2b2 2+c+c2 2 . . 提示：提示：由余弦定理可知由余弦定理可知cosA= cosA= 显然当显然当a

10、 a2 20，即，即0 0b2 2+c+c2 2 时，时，9090A180A180. . 答案答案：0 0A90A90 A=90A=90 9090A180A180 222 bca 2bc ， 【探究总结探究总结】对余弦定理解三角形的两点说明对余弦定理解三角形的两点说明 (1)(1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三 角形的三边和一个角，可角形的三边和一个角，可“知三求一知三求一”. . (2)(2)当已知两边和其中一边的对角时，一般采用正弦定理，但当已知两边和其中一边的对角时，一般采用正弦定理，但 根据需要也可用余弦定理，解三角

11、形时，要注意灵活应用根据需要也可用余弦定理，解三角形时，要注意灵活应用. . 类型一类型一 利用余弦定理解三角形利用余弦定理解三角形 1.(20151.(2015成都高二检测成都高二检测) )在在ABCABC中，若中，若(a+c)(a(a+c)(a- -c)=b(b+c)c)=b(b+c)， 则则A=(A=( ) ) A.60A.60或或120120 B.60B.60 C.120C.120 D.150D.150 2.(20142.(2014福建高考福建高考) )在在ABCABC中，中，A=60A=60，AC=2AC=2，BC= BC= ， 则则ABAB等于等于 . . 3 【解题指南解题指南】

12、1.1.先利用等式变形，再利用余弦定理求出角先利用等式变形，再利用余弦定理求出角A A的的 余弦值，再求角余弦值，再求角A.A. 2.2.直接应用余弦定理求解直接应用余弦定理求解. . 【自主解答自主解答】1.1.选选C.C.因为因为(a+c)(a(a+c)(a- -c)=b(b+c)c)=b(b+c)，所以，所以a a2 2- -c c2 2 =b=b2 2+bc+bc，即，即b b2 2+c+c2 2- -a a2 2= =- -bcbc，所以，所以cosA= cosA= 故故A=120A=120. . 2.2.由余弦定理由余弦定理BCBC2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2- -2

13、AB2ABACACcosAcosA， 得得3=AB3=AB2 2+4+4- -2 22AB2ABcos60cos60，即，即ABAB2 2- -2AB+1=02AB+1=0， 解得解得AB=1.AB=1. 答案：答案：1 1 222 bca1 2bc2 ， 【规律总结规律总结】利用余弦定理解三角形的两种类型及解法技巧利用余弦定理解三角形的两种类型及解法技巧 (1)(1)已知三角形的两边及夹角解三角形，可以先由余弦定理求已知三角形的两边及夹角解三角形，可以先由余弦定理求 出第三条边，再由正弦定理求出一角，最后由出第三条边，再由正弦定理求出一角，最后由A+B+C=180A+B+C=180， 求出第

14、三个角求出第三个角. . (2)(2)已知三角形的三边，可由余弦定理求三角形的两个内角，已知三角形的三边，可由余弦定理求三角形的两个内角， 再由再由A+B+C=180A+B+C=180求出第三个角求出第三个角. . 上述两种情况，运用余弦定理时，因为是已知三边求角，或已上述两种情况，运用余弦定理时，因为是已知三边求角，或已 知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理可知，三角知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理可知，三角 形是确定的，因而解唯一形是确定的，因而解唯一. . 【拓展延伸拓展延伸】解斜三角形的常见类型及解法解斜三角形的常见类型及解法 已知条件已知条件 应用定理应用定理 一

15、般解法一般解法 一边和两角一边和两角 ( (如如a a，B B，C)C) 正弦定理正弦定理 由由A+B+C=180A+B+C=180，求角，求角A A；由正弦；由正弦 定理求出定理求出b b与与c.c.在有解时只有一在有解时只有一 解解. . 两边和夹角两边和夹角 ( (如如a a，b b，C)C) 余弦定理、余弦定理、 正弦定理正弦定理 由余弦定理求第三边由余弦定理求第三边c c；由正弦；由正弦 定理求出小边所对的角；再由定理求出小边所对的角；再由 A+B+C=180A+B+C=180求出另一角求出另一角. .在有解在有解 时只有一解时只有一解. . 已知条件已知条件 应用定理应用定理 一般

16、解法一般解法 三边三边 (a(a，b b，c)c) 余弦定理余弦定理 由余弦定理求出角由余弦定理求出角A A，B B；再利用；再利用 A+B+C=180A+B+C=180，求出角，求出角C.C.在有解在有解 时只有一解时只有一解. . 两边和其中两边和其中 一边的对角一边的对角 ( (如如a a，b b，A)A) 正弦定理、正弦定理、 余弦定理余弦定理 由正弦定理求出角由正弦定理求出角B B；由；由 A+B+C=180A+B+C=180，求出角，求出角C C；再利用；再利用 正弦定理或余弦定理求正弦定理或余弦定理求c.c.可有两可有两 解、一解或无解解、一解或无解. . 【变式训练变式训练】在

17、在ABCABC中，中，a=2a=2，b= b= - -1 1，C=30C=30，求，求c c及及 A A，B B的值的值. . 【解析解析】由余弦定理，得由余弦定理，得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2- -2abcosC=22abcosC=22 2+( +( - -1)1)2 2- - 2 22 2( ( - -1)cos301)cos30=2=2，所以，所以c= c= 所以所以cosA=cosA= 因为因为0 0A180A180，所以，所以A=135A=135， 所以所以B=180B=180- -A A- -C=15C=15. . 3 32. 22 2 222 3 122 bca2

18、. 2bc2 23 12 3 类型二类型二 判断三角形形状判断三角形形状 1.1.在在ABCABC中，若中，若a=2bcosCa=2bcosC，则，则ABCABC的形状是的形状是( ( ) ) A.A.直角三角形直角三角形 B.B.等腰三角形等腰三角形 C.C.等腰直角三角形等腰直角三角形 D.D.等腰或直角三角形等腰或直角三角形 2.2.在在ABCABC中，已知中，已知acosA+bcosB=ccosCacosA+bcosB=ccosC，试判断，试判断ABCABC的形状的形状. . 【解题指南解题指南】1.1.将将cosC= cosC= 代入已知条件，转化为边代入已知条件，转化为边 的关系，

19、化简变形即可判断的关系，化简变形即可判断ABCABC的形状的形状. . 2.2.将余弦定理的变形式代入，转化成边的关系，化简变形后将余弦定理的变形式代入，转化成边的关系，化简变形后 判断三角形的形状判断三角形的形状. . 222 abc 2ab 【自主解答自主解答】1.1.选选B.B.因为因为a=2bcosC=2ba=2bcosC=2b 所以所以a a2 2=a=a2 2+b+b2 2- -c c2 2，即，即b b2 2=c=c2 2， 所以所以b=cb=c，所以，所以ABCABC为等腰三角形为等腰三角形. . 2.2.由余弦定理，得由余弦定理，得 所以所以a a2 2(b(b2 2+c+c

20、2 2- -a a2 2)+b)+b2 2(c(c2 2+a+a2 2- -b b2 2)=c)=c2 2(a(a2 2+b+b2 2- -c c2 2) )， a a2 2(b(b2 2- -a a2 2)+a)+a2 2c c2 2+b+b2 2(a(a2 2- -b b2 2)+b)+b2 2c c2 2=c=c2 2a a2 2+b+b2 2c c2 2- -c c4 4， 即即(a(a2 2- -b b2 2) )2 2=c=c4 4，所以，所以a a2 2- -b b2 2=c=c2 2或或a a2 2- -b b2 2= =- -c c2 2， 即即b b2 2+c+c2 2=a

21、=a2 2或或a a2 2+c+c2 2=b=b2 2. . 所以所以ABCABC是直角三角形是直角三角形. . 222 abc 2ab 222222222 bcacababc abc. 2bc2ca2ab 【延伸探究延伸探究】本例本例2 2中条件中条件“acosA+bcosB=ccosCacosA+bcosB=ccosC”若换为若换为 “asinA+bsinB=csinCasinA+bsinB=csinC”，其结论又如何呢？，其结论又如何呢？ 【解析解析】由正弦定理得由正弦定理得 所以所以 所以所以 即即a a2 2+b+b2 2=c=c2 2， 所以所以ABCABC为直角三角形为直角三角形

22、. . abc 2R sin Asin Bsin C ， abc sin Asin Bsin C 2R2R2R ， 222 abc 2R2R2R ， 【规律总结规律总结】利用正、余弦定理判断三角形形状的技巧利用正、余弦定理判断三角形形状的技巧 判断三角形的形状特征，必须从研究三角形边与边的关系，或判断三角形的形状特征，必须从研究三角形边与边的关系，或 角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转 化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，找出边与边或化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，找出边与边或 角与角的关系，从而作出正确

23、判断角与角的关系，从而作出正确判断. . 【变式训练变式训练】在在ABCABC中，已知中，已知b b2 2sinsin2 2C+cC+c2 2sinsin2 2B=B= 2bccosBcosC2bccosBcosC，试判断，试判断ABCABC的形状的形状. . 【解析解析】将已知等式变形得将已知等式变形得b b2 2(1(1- -coscos2 2C)+cC)+c2 2(1(1- -coscos2 2B)=B)= 2bccosB2bccosBcosCcosC，由余弦定理得，由余弦定理得 即即b b2 2+c+c2 2= = 所以所以ABCABC为直角三角形为直角三角形. . 222222 22

24、2222 abcacb bcb ()c () 2ab2ac 2222222 2 2 abcacb a 4a ， 222222 acbabc 2bc 2ac2ab ， 类型三类型三 正弦定理、余弦定理的综合应用正弦定理、余弦定理的综合应用 1.(20131.(2013安徽高考安徽高考) )设设ABCABC的内角的内角A A，B B，C C所对边的长分别为所对边的长分别为 a a，b b，c.c.若若b+c=2ab+c=2a，且，且3sinA=5sinB3sinA=5sinB，则角，则角C=C= . . 2.(20142.(2014盐城高二检测盐城高二检测) )如图，在如图，在ABCABC中，中，

25、B=45B=45，D D是是BCBC边边 上的一点，上的一点，AD=5AD=5，AC=7AC=7，DC=3DC=3，则，则ABAB的长为的长为 . . 【解题指南解题指南】1.1.先由正弦定理找出先由正弦定理找出a a与与b b的关系，然后再结合已的关系，然后再结合已 知条件知条件b+c=2ab+c=2a，利用余弦定理即可求出角，利用余弦定理即可求出角C.C. 2.2.先根据余弦定理求出先根据余弦定理求出ADCADC的值，即可得到的值，即可得到ADBADB的值，最后的值，最后 根据正弦定理可得答案根据正弦定理可得答案. . 【自主解答自主解答】1.1.由题设条件可得由题设条件可得 由余弦定理得

26、由余弦定理得 所以所以C= C= 答案：答案： 5 ab bc2a 3 3a5b7 cb 3 ， ， ， ， 222 222 2 57 ( b)b( b) abc1 33 cos C 5 2ab2 2b 3 ， 2 . 3 2 3 2.2.在在ADCADC中，中，AD=5AD=5，AC=7AC=7，DC=3DC=3， 由余弦定理得由余弦定理得cosADC= cosADC= 所以所以ADC=120ADC=120，ADB=60ADB=60. . 在在ABDABD中，中，AD=5AD=5，B=45B=45，ADB=60ADB=60， 由正弦定理得由正弦定理得 所以所以AB= AB= 答案：答案： 2

27、22 ADDCAC1 2AD DC2 ， ABAD sin ADBsin B ， 5 6 . 2 5 6 2 【规律总结规律总结】利用正、余弦定理解决三角形中综合问题的常用利用正、余弦定理解决三角形中综合问题的常用 思想方法思想方法 (1)(1)正弦定理和余弦定理从不同的侧面反映了三角形中的边角正弦定理和余弦定理从不同的侧面反映了三角形中的边角 关系，揭示了三角形中元素间的内在联系，解题时一定要注意关系，揭示了三角形中元素间的内在联系，解题时一定要注意 正、余弦定理的结合，可相互渗透，相互促进，它们是解决三正、余弦定理的结合，可相互渗透，相互促进，它们是解决三 角形问题的主要依据角形问题的主要

28、依据. . (2)(2)解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具 体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题. . 【变式训练变式训练】在在ABCABC中，中，a a，b b，c c分别是角分别是角A A，B B，C C的对边，的对边， 已知已知b b2 2=ac=ac，且，且a a2 2- -c c2 2=ac=ac- -bc.bc. (1)(1)求角求角A A的值的值. . (2)(2)求求 的值的值. . bsin B c 【解析解析】(1)(1)因为因为b b2 2=ac=ac，a a2

29、2- -c c2 2=ac=ac- -bcbc， 所以所以b b2 2+c+c2 2- -a a2 2=bc=bc， 在在ABCABC中，由余弦定理，得：中，由余弦定理，得： cosA= cosA= 所以所以A=60A=60. . (2)(2)在在ABCABC中，由正弦定理，得：中，由正弦定理，得：sinB= sinB= 因为因为b b2 2=ac=ac，A=60A=60， 所以所以 222 bca1 2bc2 ， bsin A . a 2 bsin Bb sin 603 sin 60. cac2 【拓展类型拓展类型】利用正、余弦定理证明三角恒等式利用正、余弦定理证明三角恒等式 1.1.在在A

30、BCABC中，求证：中，求证： 2.2.在在ABCABC中，求证：中，求证：a a2 2+b+b2 2+c+c2 2=2(bccosA+cacosB+abcosC).=2(bccosA+cacosB+abcosC). 【解题指南解题指南】1.1.从要证明的等式的左端出发，将切化弦，从要证明的等式的左端出发，将切化弦， 然后利用正、余弦定理即可证明该等式成立然后利用正、余弦定理即可证明该等式成立. . 2.2.从要证明的等式的右端出发，利用余弦定理即可证明从要证明的等式的右端出发，利用余弦定理即可证明. . 222 222 tan Aacb . tan Bbca 【证明证明】1.1.左边左边=

31、= = =右边，等式得证右边，等式得证. . 2.2.右边右边= = =b=b2 2+c+c2 2- -a a2 2+a+a2 2+c+c2 2- -b b2 2+a+a2 2+b+b2 2- -c c2 2=a=a2 2+b+b2 2+c+c2 2= =左边左边. . sin A tan Asin A cos B cos A sin B tan Bsin B cos A cos B 222 222 222222 acb aacb 2ac bcabbca 2bc 222222222 bcaacbabc 2bc2ac2ab 2bc2ac2ab 【规律总结规律总结】利用正、余弦定理证明三角恒等式的关键利用正、余弦定理证明三角恒等式的关键 证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异. .形式形式 上一般有左上一般有左右；右右；右左或左左或左中中右三种右三种. .