人教版高中数学选修4-4课件：第一讲三简单曲线的极坐标方程.ppt

1、第一讲第一讲 坐标系坐标系 三、三、 简单曲线的极坐标方程简单曲线的极坐标方程 学习目标学习目标 1.会写过极点的直线方程和圆心在极点会写过极点的直线方程和圆心在极点 的圆的方程的圆的方程(重点重点) 2.熟练掌握和运用过极点且圆心在熟练掌握和运用过极点且圆心在 极轴或在极轴或在(，)处的圆的极坐标方程处的圆的极坐标方程(重点、难点重点、难点) 3. 运用极坐标方程解一些与圆有关的几何问题运用极坐标方程解一些与圆有关的几何问题， 进而体会极进而体会极 坐标方程的方便之处坐标方程的方便之处(难点难点) 4.深入理解并熟练运用平面上点的极坐标深入理解并熟练运用平面上点的极坐标(，)，并并 理解平面

2、曲线的极坐标方程理解平面曲线的极坐标方程 ()的含义的含义(难点难点) 知识提炼知识提炼 梳理梳理 1极坐标极坐标方程与平面曲线方程与平面曲线 在极坐标系中在极坐标系中，如果平面曲线如果平面曲线 C 上任意一点的极坐上任意一点的极坐 标中标中至少至少有有一个满足方程一个满足方程 f(，)0，并且坐标适合方程并且坐标适合方程 f(，)0 的点的点都在都在曲线曲线 C 上上，那么方程那么方程 f(，)0 叫作叫作 曲线曲线 C 的极坐标方的极坐标方程程 2圆的极坐标方程圆的极坐标方程(半径为半径为 r) 圆心位置圆心位置 极坐标方程极坐标方程 图形图形 圆心在极点圆心在极点(0，0) r (02)

3、 圆心在点圆心在点(r，0) 2rcos 2 2 圆心在点圆心在点 r， 2 2rsin_ (0) 圆心在点圆心在点(r，) 2rcos 2 3 2 圆心在点圆心在点 r，3 2 2rsin (0)， 且与极轴垂直且与极轴垂直 cos a 2 0)， 且与极轴平行且与极轴平行 sin a(0) 4.曲线的直角坐标方程与极坐标方程的互化曲线的直角坐标方程与极坐标方程的互化 当我们把直角坐标系的原点作为极点当我们把直角坐标系的原点作为极点，极轴与平面极轴与平面 直角坐标系中直角坐标系中 x 轴的正半轴重合轴的正半轴重合， 且两种坐标系取相同的且两种坐标系取相同的 单位长度单位长度，则有则有 利用这

4、两个公式我们不仅可以把平面上点的两种坐利用这两个公式我们不仅可以把平面上点的两种坐 标进行相互转化标进行相互转化，还可以把曲线的两种方程进行相互转还可以把曲线的两种方程进行相互转 化化 思考尝试思考尝试 夯基夯基 1思考判断思考判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)若点若点 P 在曲线在曲线 C 上上，则点则点 P 的极坐标满足曲线的极坐标满足曲线 C 的极坐标方程的极坐标方程( ) (2)tan 1 与与 4表示同一条曲线 表示同一条曲线( ) (3)3 与与 3 表示同一条曲线表示同一条曲线( ) (4)极坐标方程极坐标方程 3 4 表示的图形是一条射线表示的图

5、形是一条射线( ) 解析：解析：(1)点点 P 的极坐标有无数个的极坐标有无数个，故故(1)不正确不正确 (2)tan 1 所表示的是直线所表示的是直线 yx，不包括坐标原点不包括坐标原点， 4所表示的是直线 所表示的是直线 yx，包括坐标原点包括坐标原点，故不正确故不正确 (3)中的两个极坐标方程都表示圆心在极点中的两个极坐标方程都表示圆心在极点， 半径为半径为 3 的圆的圆，正确正确 (4)3 4 是指由极角为 是指由极角为3 4 ， 极径为任意实数的点组成极径为任意实数的点组成 的一条直线的一条直线，不正确不正确 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2极极坐标方程坐标方程 cos

6、 4 表示的曲线是表示的曲线是( ) A双双曲线曲线 B椭椭圆圆 C抛抛物线物线 D圆圆 解析：解析：极坐标方程极坐标方程 cos 4 化为直角坐标方程是化为直角坐标方程是 x2y2 2 2 x 2 2 y0，表示的曲线是圆表示的曲线是圆 答案：答案：D 3 在在极坐标系中极坐标系中， 过点过点 P 3， 3 且垂直于极轴的直线且垂直于极轴的直线 方程为方程为( ) Acos 3 2 B sin 3 2 C3 2cos D 3 2sin 解析：解析：如图所示如图所示，设直线设直线 l 与极与极 轴交点为轴交点为 A，则则|OA|OP|cos 3 3 2， ， 设直线上动点设直线上动点 M(，)

7、， 则则|OM|cos |OA|， 即即 cos 3 2. 答案：答案：A 4把把圆圆 C 的极坐标方程的极坐标方程 2cos 转化为直角坐标转化为直角坐标 方程为方程为_，圆心的直角坐标为圆心的直角坐标为_ 解析：解析：因为因为 2cos ，所以所以 22cos ， 将将 2x2y2，xcos 代入得直角坐标方程为代入得直角坐标方程为 x2 y22x，其圆心坐标为其圆心坐标为(1，0) 答案：答案：x2y22x (1，0) 5极极点到直线点到直线 (cos sin ) 3的距离是的距离是_ 解析：解析：直线的直角坐标方程是直线的直角坐标方程是 xy 30，极点即极点即 原点原点， 故极点到该

8、直线的距离是故极点到该直线的距离是 3 2 6 2 . 答案：答案： 6 2 类型类型 1 求圆的极坐标方程求圆的极坐标方程(自主研析自主研析) 典例典例 1 在极坐标平面上在极坐标平面上，求圆心求圆心 A 8， 3 ，半径为半径为 5 的圆的方的圆的方程程 解：解：法一法一 如图所示如图所示，在圆上任取一点在圆上任取一点 P(，)， 那么那么，在在AOP 中中，|OA|8，|AP|5， AOP 3 或或 3. 由余弦定理由余弦定理，得得 cos 3 82252 28 . 即即 216cos 3 390. 经检验经检验，点点 3， 3 ， 13， 3 的坐标满足以上方程的坐标满足以上方程 所以

9、所以，所求圆的方程为：所求圆的方程为：216cos 3 390. 法二法二 以极点以极点 O 为坐标原点为坐标原点， 极轴极轴 Ox 为为 x 轴建立平轴建立平 面直角坐标系面直角坐标系 则圆心则圆心 A 8， 3 的直角坐标为的直角坐标为(4，4 3)，半径为半径为 5 的的 圆的直角坐标方程为：圆的直角坐标方程为： (x4)2(y4 3)225， 化为极坐标方程为：化为极坐标方程为： (cos 4)2(sin 4 3)225， 化简得：化简得：216cos 3 390. 所以所求圆的方程为：所以所求圆的方程为：216cos 3 390. 归纳升华归纳升华 1求圆的极坐标方程的步骤：求圆的极

10、坐标方程的步骤： 根据题意画出草图根据题意画出草图 设圆上任设圆上任意一点的极坐标为意一点的极坐标为 M(，) 在极点、圆心与点在极点、圆心与点 M 构成的三角形中构成的三角形中，运用余弦运用余弦 定理等列出方程定理等列出方程 f(，)0，并化简并化简 验证极点、圆心与验证极点、圆心与 M 三点共线时三点共线时，点点 M(，)的的 极坐标也适合所得极坐标方程极坐标也适合所得极坐标方程 2求圆的极坐标方程也可采用间接法求圆的极坐标方程也可采用间接法，即先求出相即先求出相 应的直角坐标方程再化为极坐标方程应的直角坐标方程再化为极坐标方程 变式训练变式训练 求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程(

11、其中点的坐标其中点的坐标 均为极坐标均为极坐标) (1)圆心为点圆心为点 1， 2 ，半径为半径为 1； (2)圆心为点圆心为点(2，)，半径为半径为 1； (3)圆心为点圆心为点 2 2， 4 ，半径为半径为 1. 解：解：(1)设点设点 P(，)为所求圆上任意一点为所求圆上任意一点，根据圆的根据圆的 性质和三角形的知识可得性质和三角形的知识可得 2sin . (2)设点设点 P(，)为所求圆上任意一点为所求圆上任意一点，当点当点 P 不在极不在极 轴的反向延长线上时轴的反向延长线上时，根据余弦定理可得根据余弦定理可得 12222 2 2cos|，即即 24cos 30. 当点当点P在极轴的

12、反向延长线上时在极轴的反向延长线上时， P点的极坐标为点的极坐标为(1， )或或(3，)，经验证经验证，也适合这个方程也适合这个方程，故故 24cos 30 为所求圆的极坐为所求圆的极坐标方程标方程 (3)设点设点 P(，)为所求圆上任意一点为所求圆上任意一点，当点当点 P 不在直不在直 线线 4上时 上时，根据余弦定理根据余弦定理，得得 122(2 2)24 2 cos 4 ，即即 24cos 4sin 7 0. 不难验证当点不难验证当点 P 在直线在直线 4上时也适合上述方程 上时也适合上述方程， 故故 24cos 4sin 70 为所求圆的极坐标方程为所求圆的极坐标方程 类型类型 2 求

13、直线的极坐标方程求直线的极坐标方程(互互动探究动探究) 典例典例 2 求过点求过点 A(1，0)，且倾斜角为且倾斜角为 4的直线的极 的直线的极 坐标方坐标方程程 解：解：法一法一 设设 M(，)为直线上除点为直线上除点 A 以外的任意一以外的任意一 点点 则则xAM 4， ， OAM3 4 ， OMA 4 . 在在OAM 中中，由正弦定理得由正弦定理得 |OM| sin OAM |OA| sin OMA ， 即即 sin 3 4 1 sin 4 ，故故 sin 4 2 2 ， 即即 sin 4cos cos 4sin 2 2 ， 化简得化简得 (cos sin )1， 经检验点经检验点 A(

14、1，0)的坐标适合上述方程的坐标适合上述方程，所以满足条所以满足条 件的直线的极坐标方程为件的直线的极坐标方程为 (cos sin )1，其中其中 0 4， ，0 和和5 4 2，0. 法二法二 以极点以极点 O 为直角坐标原点为直角坐标原点，极轴为极轴为 x 轴轴，建建 立平面直角坐标系立平面直角坐标系 Oxy. 因为直线的斜率因为直线的斜率 ktan 4 1， 所以过点所以过点 A(1，0)的直的直线方程为线方程为 yx1. 将将 ysin ，xcos 代入上式代入上式，得得 sin cos 1， 所以所以 (cos sin )1， 其中其中，0 4， ，0 和和5 4 2，0. 归纳升华

15、归纳升华 1求解直线的极坐标方程求解直线的极坐标方程，常用两个方法：常用两个方法：(1)通过通过 运用解三角形建立动点所满足的等式运用解三角形建立动点所满足的等式， 从而集中条件建立从而集中条件建立 以以 ， 为未知数的方为未知数的方程；程； (2)先求出直线的直角坐标方程先求出直线的直角坐标方程， 然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接求解然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接求解 2求直线的极坐标方程时求直线的极坐标方程时，若若 0，直线的极坐标直线的极坐标 方程需转化为两条射线的极坐标方程表示方程需转化为两条射线的极坐标方程表示，只有规定了只有规定了 “负极径负极径”的意义的意义，即允许

16、即允许 R 时时，直线的极坐标方程直线的极坐标方程 才是唯一的才是唯一的 迁移探究迁移探究 (1)求过求过 A 2， 4 且平行于极轴的直线的且平行于极轴的直线的 极坐标方程；极坐标方程； (2)求过求过 A 3， 3 且和极轴成且和极轴成3 4 的直线的极坐标方的直线的极坐标方程程 解：解：(1)如图所示如图所示，在直线在直线 l 上任意取点上任意取点 M(，)， 因为因为 A 2， 4 ， 所以所以|MH|2sin 4 2. 在在 Rt OMH 中中，|MH|OM|sin ，即即 sin 2， 所以过所以过 A 2， 4 且平行于极轴的直线方程为且平行于极轴的直线方程为 sin 2. (2

17、)如下图所示如下图所示，A 3， 3 ，即即|OA|3， AOB 3.由 由 已知已知MBx3 4 ， 所以所以OAB3 4 3 5 12. 所以所以OAM5 12 7 12. 又又OMAMBx3 4 . 在在MOA 中中，根据正弦定理根据正弦定理，得得 3 sin 3 4 sin 7 12 . 因为因为 sin 7 12 sin 4 3 2 6 4 ， 将将 sin 3 4 展开展开，(sin cos )3 3 2 3 2. 故过故过 A 3， 3 且和极轴成且和极轴成3 4 的直线方程为的直线方程为 (sin cos )3 3 2 3 2. 类型类型 3 直角坐标方程与极坐标方程的互化直角

18、坐标方程与极坐标方程的互化 典例典例 3 (1)把下列直角坐标方程化为极坐标方把下列直角坐标方程化为极坐标方程程 2xy10；x2y24；x 2 4 y 2 3 1；x2 y22. (2)把下列极坐标方程化为直角坐标方把下列极坐标方程化为直角坐标方程程 cos sin 10；3； 4( R)； 4cos 2sin . 解：解：(1)把把 xcos ，ysin 代入代入 2xy10 中中，得得 2cos sin 10，即即 (2cos sin )1 0. 把把 xcos ，ysin 代入代入 x2y24 中中， 得得 2cos22sin24，化简得化简得 2. 把把 xcos ，ysin 代入代

19、入x 2 4 y 2 3 1 中中， 得得 2cos2 4 2sin2 3 1，即即 2(3cos24sin2)12. 把把 xcos ，ysin 代入代入 x2y22 中中， 得得 2cos 22. (2)把把 cos x， sin y 代入方程代入方程 cos sin 10 中中，得得 xy10. 把把 x2y2代入方程代入方程 3 中中，得得 x2y29. 由由 tan y x(x 0)可得可得y x 1，即即 xy0.(0，0)在在 已知的曲线上已知的曲线上，也适合也适合 xy0，故故 xy0 即为即为 4 (R)的直角坐标方程的直角坐标方程 等式等式 4cos 2sin 两边同时乘以

20、两边同时乘以 ，并把并把 x2y2，cos x，sin y 代入代入，化简可得化简可得(x2)2 (y1)25. 归纳升华归纳升华 1利用公式利用公式 y cos ， ysin 将直角坐标化将直角坐标化为极坐标为极坐标 2将极坐标化为直角坐标时将极坐标化为直角坐标时，应注意极坐标方程的应注意极坐标方程的 形式形式，可以两边同乘可以两边同乘 ，cos ，sin 等等，如如 2 cos 两边 两边 同乘同乘 cos 得得 cos 2，即即 x2； 2cos 两边同乘两边同乘 得得 22cos ，即即 x2y22x 等也可以由等也可以由 x2y2，cos x ， ，sin y 直接代入 直接代入 求

21、得求得 变式训练变式训练 (1)直角坐标方程直角坐标方程 y24x 化为极坐标方化为极坐标方 程为程为_ (2)直角坐标方程直角坐标方程 y2x22x10 化为极坐标方程化为极坐标方程 为为_ (3)极坐标方程极坐标方程 3化为直角坐标方程为 化为直角坐标方程为_ (4)极坐标方程极坐标方程 2cos 24 化为直角坐标方程为化为直角坐标方程为 _ 解析：解析：(1)将将 xcos ，ysin 代入代入 y24x， 得得(sin )24cos .化简得化简得 sin24cos . (2)将将 xcos ，ysin 代入代入 y2x22x10， 得得(sin )2(cos )22cos 10，

22、化简化简，得得 22cos 10. (3)因为因为 tan y x， ，所以所以 tan 3 y x 3. 化简化简，得得 y 3x(x0) (4)因为因为 2cos 24， 所以所以 2cos22sin24，即即 x2y24. 答案：答案：(1)sin24cos (2)22cos 10 (3)y 3x(x0) (4)x2y24 类型类型 4 极坐标方程与直角坐标方程的综合运用极坐标方程与直角坐标方程的综合运用(规规 范解答范解答) 典例典例 4 (本小题满分本小题满分 10 分分)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中中， 以以 O 为极点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系轴正半轴为极轴建

23、立极坐标系，曲线曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为 cos 3 1，M，N 分别为分别为 C 与与 x 轴轴， y 轴的交点轴的交点 (1)写出写出 C 的直角坐标方程的直角坐标方程，并求并求 M，N 的极坐标；的极坐标； (2)设设 MN 的中点为的中点为 P，求直线，求直线 OP 的极坐标方程的极坐标方程 审题指导：审题指导：(1)先利用三角函数的差角公式展开曲线先利用三角函数的差角公式展开曲线 C 的的 极坐标方程的左式极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系代换再利用直角坐标与极坐标间的关系代换 (2)先在直角坐标系中算出中点先在直角坐标系中算出中点 P 的坐标的坐标， 再

24、利用直角坐标再利用直角坐标 与极坐标间的关系与极坐标间的关系，求出其极坐标和直线求出其极坐标和直线 OP 的极坐标方程的极坐标方程 规范解答规范解答 (1)由由 cos 3 1 得得， (1 2cos 3 2 sin )1. 从而从而 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为1 2x 3 2 y1.即即 x 3y 2.(2 分分) 当当 0 时时，2， 所以所以 M(2，0)；(3 分分) 当当 2时 时，2 3 3 ， 所以所以 N 2 3 3 ， 2 .(5 分分) (2)M 点的直角坐标为点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为点的直角坐标为(0， 2 3 3 )，所以所以 P 点的直角

25、坐标为点的直角坐标为(1， 3 3 )，(6 分分) 则则 P 点的极坐标为点的极坐标为 2 3 3 ， 6 .(8 分分) 所以直线所以直线 OP 的极坐标方程为的极坐标方程为 6， ， (， ) (10 分分) 失分警示：失分警示：若若的范围不正确的范围不正确，扣扣1分分. 注意：不表示为注意：不表示为 6， ，0，这是射线的极坐标方程这是射线的极坐标方程 归纳升华归纳升华 1熟练掌握极坐标方程与直熟练掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化是关角坐标方程的互化是关 键键 2特殊直线的极坐标方程应熟记特殊直线的极坐标方程应熟记，为活用极坐标方为活用极坐标方 程创造条件程创造条件 变式训练变式训练

26、 (2015 课标全国课标全国卷卷)在直角在直角坐标系坐标系 xOy 中中，直线直线 C1：x2，圆圆 C2：(x1)2(y2)21，以坐以坐 标原点为极点标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标轴的正半轴为极轴建立极坐标系系 (1)求求 C1，C2的极坐标方程；的极坐标方程； (2)若直线若直线 C3的极坐标为的极坐标为 4( R)，设设 C2与与 C3的的 交点为交点为 M，N，求求C2MN 的面的面积积 解：解：(1)因为因为 xcos ，ysin ， 所以所以 C1的极坐标方程为的极坐标方程为 cos 2， C2的的极坐标方程为极坐标方程为 22cos 4sin 40. (2)将将

27、 4代入 代入 22cos 4sin 40，得得 23 240，解得解得 12 2，2 2. 故故 12 2，即即|MN| 2. 由于由于 C2的半径为的半径为 1，所以所以C2MN 的面积为的面积为1 2. 1建建立曲线的极坐标方程的步骤：立曲线的极坐标方程的步骤： (1)在曲线上任取一点在曲线上任取一点 P(，)； (2)建立起直角三角形建立起直角三角形(或斜三角形或斜三角形)， 利用锐角的三角利用锐角的三角 函数概念、正弦定理、余弦定理建立起函数概念、正弦定理、余弦定理建立起 、 的方程；的方程； (3)验证求得的方程为曲线的方验证求得的方程为曲线的方程程 2不不论曲线的直角坐标方程如何

28、论曲线的直角坐标方程如何，只要我们将极坐只要我们将极坐 标系的极点放在曲线的焦点上标系的极点放在曲线的焦点上，总可将方程化成较简单总可将方程化成较简单 的极坐标方的极坐标方程反程反过来过来，有了适当的极坐标方程和直角有了适当的极坐标方程和直角 坐标系与极坐标系的位置关系坐标系与极坐标系的位置关系，也可以得到曲线的直角也可以得到曲线的直角 坐坐标方标方程程在在解题过程中解题过程中，可以灵活地变换坐标系可以灵活地变换坐标系，使使 解题过程大为简解题过程大为简化化 3处处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思 路：路： (1)化极坐标方程为直角坐标方程再处理；化极坐标方程为直角坐标方程再处理； (2)根根据据 、 的几何意义进行旋转或伸缩变的几何意义进行旋转或伸缩变换换