人教版高中数学选修4-4课件：第二讲三直线的参数方程.ppt

1、第二讲第二讲 参数方程参数方程 三、三、 直线的参数方程直线的参数方程 学习目标学习目标 1.掌握直线参数方程的标准形式掌握直线参数方程的标准形式，明确明确 参数的几何意义参数的几何意义(重点重点) 2.能运用直线的参数方程解决能运用直线的参数方程解决 某些相关的应用问题某些相关的应用问题(重点、难点重点、难点) 3.通过关于直线和通过关于直线和 圆锥曲线的综合练习圆锥曲线的综合练习， 进一步体会参数方程的方便之处和进一步体会参数方程的方便之处和 参数的作用参数的作用，增强在处理这一类问题中的参数意识增强在处理这一类问题中的参数意识(难难 点点) 知识提炼知识提炼 梳理梳理 1直线的参数方程直

2、线的参数方程 经过点经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为倾斜角为 的直线的直线 l 的参数方程的参数方程 为为_ (t 为参数为参数) x x0tcos ， yy0tsin 温馨提示温馨提示 (1)上直线上直线 l 的参数方程称为直线参数的的参数方程称为直线参数的 标准形式标准形式，此时参数此时参数 t 有明确的几何意义有明确的几何意义(2)参数方程为参数方程为 x x0at， yy0bt (t 为参数为参数)，称为直线参数方程的一般形式称为直线参数方程的一般形式， 此时参数此时参数 t 不具有标准式中参数的几何不具有标准式中参数的几何意义意义 2直线的参数方程中参数直线的参数方程中参数 t

3、的几何意义的几何意义 参数参数 t 的绝对值表示参数的绝对值表示参数 t 所对应的点所对应的点 M 到定点到定点 M0 的的距离距离 温馨提示温馨提示 (1)当当 t0 时时，M0M 的方向向上的方向向上(2)当当 t0 时时，M0M 的方向向下的方向向下(3)当当 t0 时时，点点 M 与与 M0重合重合 思考尝试思考尝试 夯基夯基 1思思考判断考判断(正确的打正确的打“”，错误的打错误的打“”“”) (1)直线直线 y2x1 的参数方程是的参数方程是 x t1， y2t1 (t 为参为参 数数)( ) (2)直线的参数方程为直线的参数方程为 x 1 t 2， ， y2 3 2 t (t 为

4、参数为参数)， M0( 1，2)和和 M(x，y)是该直线上的定点和动点是该直线上的定点和动点，则则|t|的几何意的几何意 义是义是M0M .( ) (3)直线直线 x 2tcos 30， y3tsin 60 (t为参数为参数)的倾斜角的倾斜角等等 于于 30.( ) (4)直线的参数方程为直线的参数方程为 x 21 2t， ， y3 3 2 t (t 为参数为参数)，则它的则它的 斜截式方程为斜截式方程为 y 3x32 3.( ) 解析：解析：(1)把把 x t1， y2t1， 消去参数消去参数 t 后得后得 y2x1， 故故(1)正确正确 (2)直线参数方程的参数几何意义易知直线参数方程的

5、参数几何意义易知|t|的几何意义的几何意义 是是|M0M |，故故(2)错误错误 (3)直线方程直线方程可化为可化为 x 2 3 2 t， y3 3 2 t， 消去参数消去参数 t 可得可得 xy1，故直线的倾斜角为故直线的倾斜角为 135 . (4)把参数方程消参后即得把参数方程消参后即得，故正确故正确 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2下下列可以作为直线列可以作为直线 2xy10 的参数方程的是的参数方程的是 ( ) A. x 1t， y3t (t 为参数为参数) B. x 1t， y52t (t 为参数为参数) C. x t， y12t(t 为参数 为参数) D. x 22

6、5 5t， y5 5 5 t (t 为参数为参数) 解析：解析：题目所给的直线的斜率为题目所给的直线的斜率为 2，选项选项 A 中直线斜中直线斜 率为率为 1，选项选项 D 中直线斜率为中直线斜率为1 2，所以可排除选项 ，所以可排除选项 A，D. 而选项而选项 B 中直线的普通方程为中直线的普通方程为 2xy30，故选故选 C. 答案：答案：C 3直直线线 x 23t， y1t (t 为参数为参数)上对上对应应 t0，t1 两点两点 间的距离是间的距离是( ) A1 B. 10 C10 D2 2 解析：解析： 将将 t0， t1 代入参数方程可得两点坐标为代入参数方程可得两点坐标为( (2，

7、 1)和和(5，0)， 所以所以 d（25）2（10）2 10. 答案：答案：B 4设设直线直线 l 过点过点 A(2，4)，倾斜角为倾斜角为5 6， ，则直线则直线 l 的参数方程是的参数方程是_ 解析：解析：直线直线 l 的参数方程为的参数方程为 x 2tcos5 6， ， y4tsin 5 6 (t 为参为参 数数)，即即 x 2 3 2 t， y41 2t (t 为参数为参数) 答案：答案： x 2 3 2 t， y41 2t (t 为参数为参数) 5已已知直线知直线 l1： x 13t， y24t (t 为参数为参数)与直线与直线 l2：2x 4y5 相交于点相交于点 B，且点且点

8、A(1，2)，则则|AB|_ 解析：解析：将将 x 13t， y24t， 代入代入 2x4y5， 得得 t1 2， ，则则 B 5 2， ，0 .而而 A(1，2)，得得|AB|5 2. 答案：答案：5 2 类型类型 1 直线参数方程的标准形式直线参数方程的标准形式(自主研析自主研析) 典典例例 1 已知直线已知直线 l 过点过点 M0(1，3)，倾斜角为倾斜角为 3， ，判判 断方程断方程 x 11 2t， ， y3 3 2 t (t 为参数为参数)和方和方程程 x 1t， y3 3t(t 为参数 为参数) 是否为直线是否为直线 l 的参数方的参数方程如程如果是直线果是直线 l 的参数方程的

9、参数方程， 那么请指出是参数方程中的哪种形式那么请指出是参数方程中的哪种形式，并指出方程并指出方程 中的参数中的参数 t 是否具有标准形式中参数的几何意是否具有标准形式中参数的几何意义义 自主解答自主解答 因为以上两个方程消去参数后因为以上两个方程消去参数后，均可以均可以 得到直得到直线线 l 的普通方程为的普通方程为 3xy 330， 所以以上两个方程都是直线所以以上两个方程都是直线 l 的参数方程的参数方程，其中其中 x 11 2t， ， y3 3 2 t (cos 1 2， ，sin 3 2 ，t 为参数为参数)是标准形式是标准形式， 参数参数 t 的绝对值是有向线段的绝对值是有向线段M

10、0M 的长度的长度，而方程而方程 x 1t， y3 3t (t 为参数为参数)是非标准形式是非标准形式， 参数参数 t 不具有上不具有上 述几何意义述几何意义 归纳升华归纳升华 1已知直线已知直线 l 上一点的坐标和直线的倾斜角上一点的坐标和直线的倾斜角，可直可直 接写出直线参数方程接写出直线参数方程 2已知直线已知直线 l 的参数方程求倾斜角的参数方程求倾斜角 . (1)若是标准式若是标准式 x x0tcos ， yy0tsin (t 为参数为参数)，则可直接则可直接 得出倾斜角即方程中的得出倾斜角即方程中的 ，否则需化成标准式再求否则需化成标准式再求 . (2)若是一般式若是一般式 x x

11、0at， yy0bt， 则当则当 a0 时时， 斜率斜率 kb a， ， 再由再由 tan b a及 及 0 求出求出 ，当当 a0 时时，显然直线与显然直线与 x 轴垂直轴垂直，倾斜角为倾斜角为 2. (3)若是其他形式若是其他形式，则通过消参化成普通方程则通过消参化成普通方程，再求再求 斜率及倾斜角斜率及倾斜角 变式训练变式训练 (1)若直线的参数方程为若直线的参数方程为 x 31 2t， ， y3 3 2 t (t 为参数为参数)，则此直线的斜率为则此直线的斜率为( ) A. 3 B 3 C. 3 3 D 3 3 (2)设直线设直线 l 过点过点(1，1)，倾斜角为倾斜角为 6， ，则直

12、线则直线 l 的参的参 数方程为数方程为_ 解析：解析：(1)直线的参数方程直线的参数方程 x 31 2t， ， y3 3 2 t (t 为参数为参数)可可 化为标准形式化为标准形式 x 3 1 2 （t）， y3 3 2 （t） (t 为参数为参数) 所以直线的斜率为所以直线的斜率为 3. (2)直线直线 l 的参数方程为的参数方程为 x 1tcos 6， ， y1tsin 6 (t 为参数为参数)， 即即 x 1 3 2 t， y11 2t (t 为参数为参数) 答案：答案：(1)B (2) x 1 3 2 t， y11 2t (t 为参数为参数) 类型类型 2 直线参数方程的一般式直线参

13、数方程的一般式 典例典例 2 设直线的参数方程为设直线的参数方程为 x 53t， y104t (t 为参为参 数数) (1)求直线的普通方程；求直线的普通方程； (2)化参数方程为标准形化参数方程为标准形式式 解：解：(1)由由 y104t，得得 t 10y 4 ，代入代入 x53t， 得得 x53 10y 4 . 化简得普通方程为化简得普通方程为 4x3y500. (2)把方程变形为把方程变形为 x 53t53 5 （5t）， y104 5 （5t）. 令令 cos 3 5， ，sin 4 5. u5t，则参数方程的标准形式为：则参数方程的标准形式为： x 53 5u， ， y104 5u

14、(u 为参数为参数) 归纳升华归纳升华 如果直线的参数方程的一般形式为如果直线的参数方程的一般形式为 x x0ct， yy0dt (t 为为 参数；参数；c，d R)，则通过则通过 x x0 c c2d2 （c2d2 t）， yy0 d c2d2 （c2d2 t）， 就可以把直线的参数方程化为标准形式：就可以把直线的参数方程化为标准形式： x x0 c c2d2 t ， yy0 d c2d2 t ( 其 中其 中 t 是 参 数是 参 数 ， 且且 t c2d2 t) 变式训练变式训练 化直线的参数方程化直线的参数方程 x 13t， y3 6t (t 为参为参 数数)为参数方程的标准形为参数方

15、程的标准形式式 解：解：由由 x 13t， y3 6t 得得 x 1 3 32（ 6）2 （32（ 6）2t）， y3 6 32（ 6）2 （32（ 6）2t）， 令令 t32（ 6）2t， 得到直线得到直线 l 的参数方程的标准形式为：的参数方程的标准形式为： x 1 15 5 t， y3 10 5 t (t为参数为参数) 类型类型 3 直线的参数方程中参数的几何意义的应用直线的参数方程中参数的几何意义的应用 (互动探究互动探究) 典例典例 3 一直线过点一直线过点 P0(3，4)，倾斜角倾斜角 a 4， ，求此求此 直线与直线直线与直线 3x2y6 的交点的交点 M 与与 P0之间的距之间

16、的距离离 解：解：设直线的参数方程为设直线的参数方程为 x 3 2 2 t， y4 2 2 t (t 为参数为参数)， 将它代入已知直线将它代入已知直线 3x2y60 得得 3(3 2 2 t) 2 4 2 2 t 6，解得解得 t11 2 5 ， 则则|MP0|t|11 2 5 . 迁移探究迁移探究 (变换条件变换条件，改变问改变问法法)过抛物线过抛物线 y24x 的焦点的焦点 F 作倾斜角为作倾斜角为3 4 的直线的直线，它与抛物线交于它与抛物线交于 A，B 两点两点，求这两点之间的距求这两点之间的距离离 解：解：由题意知由题意知 F(1，0)， 则直线的参数方程为则直线的参数方程为 x

17、1 2 2 t， y 2 2 t (t 为参数为参数)， 代入抛物线方程得代入抛物线方程得( 2 2 t)24(1 2 2 t)， 整理得整理得 t24 2t80， 由一元二次方程根与系数的由一元二次方程根与系数的 关系可得关系可得 t1t24 2，t1t28，由参数由参数 t 的几何意义的几何意义 得得 |AB|t1t2|（t1t2）24t1t2 648. 归纳升华归纳升华 1在直线的参数方程在直线的参数方程 x x0tcos ， yy0tsin (t 为参数为参数)中中， 参数参数 t 的绝对值表示直线上动点的绝对值表示直线上动点 M 到定点到定点 M0的距离的距离，参参 数数 t 可以理

18、解为直线可以理解为直线 l 上有向线段上有向线段M0M 的数量对于直线的数量对于直线 l 上任意两点上任意两点 A，B(不重合不重合)， 若对应的参数值为若对应的参数值为 tA，tB，那么那么|AB |M0B M0A | |tBtA|，通常把这一公通常把这一公式叫作参数方程下的弦长公式式叫作参数方程下的弦长公式 2若直线参数方程为若直线参数方程为 x x0at， yy0bt (t 为参数为参数)，那么那么 对于直线对于直线 l 上任意两点上任意两点 A，B(不重合不重合)， 若对应的参数值为若对应的参数值为 tA，tB，则则|AB |a2b2|tAtB|. 另外另外，对于这种情形也可以先将参数

19、方对于这种情形也可以先将参数方程转化为程转化为 x x0tcos ， yy0tsin (t 为参数为参数)再求解再求解 类型类型 4 直线与圆、圆锥曲线的综合直线与圆、圆锥曲线的综合(规范解答规范解答) 典例典例 4 (本小题满分本小题满分 10 分分)已知直线已知直线 l 经过点经过点 P 1 2， ，1 ，倾斜角倾斜角 6 ，圆圆 C 的极坐标方程为的极坐标方程为 2cos 4 . (1)写出直线写出直线 l 的参数方程的参数方程，并把圆并把圆 C 的方程化为直的方程化为直 角坐标方程；角坐标方程； (2)设设 l 与圆与圆 C 相交于相交于 A，B 两点两点，求点求点 P 到到 A，B

20、两两 点的距离之点的距离之积积 审题指导：审题指导：(1)由已知直线由已知直线 l 经过点经过点 P 1 2， ，1 ，倾斜角倾斜角 6， ，利用直线参数方程的定义利用直线参数方程的定义，我们易得到直线我们易得到直线 l 的参的参 数方程； 利用两角差的余弦公式数方程； 利用两角差的余弦公式， 可得到可得到 cos sin ， 进而进而即可得到圆即可得到圆 C 的标准方程的标准方程 (2)联立直线与圆的方程联立直线与圆的方程，我们可以得到一个关于我们可以得到一个关于 t 的方程的方程，由于由于|t|表示表示 P 点到点到 A，B 的距离的距离，故点故点 P 到到 A， B 两点距离之积为两点距

21、离之积为|t1 t2|，根据韦达定理根据韦达定理，即可得到答案即可得到答案 规范解答规范解答 (1)直线直线l的参数方程为的参数方程为 x 1 2 tcos 6， ， y1tsin 6 (t 为参数为参数)，即即 x 1 2 3 2 t， y11 2t (t 为参数为参数)(2 分分) 由由 2cos 4 得得 cos sin ， 所以所以 2cos sin ， 得得 x2y2xy， 即圆即圆 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 x1 2 2 y1 2 2 1 2.(5 分 分) (2)把把 x 1 2 3 2 t， y11 2t 代入代入 x1 2 2 y1 2 2 1 2， ， 得得 t

22、21 2t 1 4 0，(7 分分) 设设 A、B 两点对应的参数分别为两点对应的参数分别为 t1，t2， 失分警示：失分警示：若漏掉此步若漏掉此步，则扣则扣 1 分分 则则 t1t21 4， ，所以所以|PA| |PB|t1 t2|1 4.(10 分 分) 归纳升华归纳升华 1标准形式的参数方程中参数的应用标准形式的参数方程中参数的应用 直线直线 l 的参数方程为的参数方程为 x x0tcos ， yy0tsin (t 为参数为参数) (1)若若 P1、P2是直线是直线 l 上的两个点上的两个点，对应的参数分别对应的参数分别 为为 t1，t2，则向量则向量P1P2 的数量为的数量为 t2t1

23、，所以所以|P2P1 |t2t1|； 若若 P1，P2是直线是直线 l 与圆锥曲线的两个交点与圆锥曲线的两个交点，则弦长则弦长|P1P2| |t2t1|. (2)若若 P1P2的中点为的中点为 P3，且且 P1，P2，P3对应的参数分对应的参数分 别为别为 t1，t2，t3，则则 t3 t1t2 2 .特别地特别地，若直线若直线 l 上的两个上的两个 点点 P1，P2的的中点为中点为 M0(x0，y0)，则则 t1t20，t1t20. 2非标准形式的参数方程中参数的应用非标准形式的参数方程中参数的应用 根据非标准形式的参数方程根据非标准形式的参数方程 x x0at， yy0bt (t 为参数为

24、参数) 化标准形式的公式化标准形式的公式，非标准形式中的非标准形式中的a2b2t 具有标准具有标准 形式参数方程形式参数方程 x x0tcos ， yy0tsin ( 为参数为参数)中参数中参数 t 的几何的几何 意义意义，故可以直接利用非标准形式的参数方程解题故可以直接利用非标准形式的参数方程解题 变式训练变式训练 在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中中，过点过点 P(1，2) 的直线的直线 l 的倾斜角为的倾斜角为 45.以坐标原点为极点以坐标原点为极点，x 轴的正轴的正 半轴为极轴建立极坐标系半轴为极轴建立极坐标系， 曲线曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为 sin2 2cos ，直线

25、直线 l 和曲线和曲线 C 的交点为的交点为 A，B. (1)求直线求直线 l 的参数方程；的参数方程； (2)求求|PA| |PB|. 解：解：(1)由条件知由条件知，直线直线 l 的的倾斜角倾斜角 45 ，cos sin 2 2 . 设点设点 M(x，y)是直线是直线 l 上的任意一点上的任意一点， 点点 P 到点到点 M 的的 有向距离为有向距离为 t， x 1 2 2 t， y2 2 2 t. (2)曲线曲线 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 y22x， 由此得由此得 2 2 2 t 2 2 1 2 2 t ， 即即 t26 2t40. 设设 t1，t2为此方程的两个根为此方程的两

26、个根，因为因为 l 和和 C 的交点为的交点为 A，B， 所以所以 t1，t2分别是点分别是点 A，B 所对应的参数所对应的参数， 由韦达定理得由韦达定理得|PA| |PB|t1t2|4. 1直直线的参数方程的形式有多种线的参数方程的形式有多种，其中参数其中参数 t 不都不都 具有明确的几何意具有明确的几何意义义 2经经过点过点 M0(x0，y0)，倾斜角为倾斜角为 的直线的参数方的直线的参数方 程一般写为程一般写为 x x0tcos ， yy0tsin (t 是参数是参数) 其中参数其中参数 t 具有明确的意义具有明确的意义，在解题中注意应在解题中注意应用用 3直直线参数方程的应线参数方程的

27、应用用 直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与 圆锥曲线相交时的弦长或距圆锥曲线相交时的弦长或距离它离它可以避免求交点时解可以避免求交点时解 方程组的烦琐运算方程组的烦琐运算，但应用直线的参数方程时但应用直线的参数方程时，需先判需先判 别是否是标准形式再考虑别是否是标准形式再考虑 t 的几何意的几何意义义 4一一般涉及弦长问题般涉及弦长问题，均可把直线设为参数方程的均可把直线设为参数方程的 标准形式标准形式，即即 x x0tcos ， yy0tsin (t 为参数为参数)，一般形式一般形式 x x0at， yy0bt (t 为参数为参数)只要满足只要满足 a2b21，也是标准形也是标准形 式式.