人教版高中数学选修4-4课件：第二讲四渐开线与摆线.ppt

1、第二讲第二讲 参数方程参数方程 四、四、 渐开线与摆线渐开线与摆线 学习目标学习目标 1.了解圆的渐开线的产生过程及它的参了解圆的渐开线的产生过程及它的参 数方程数方程(重点重点) 2.了解摆线的产生过程及它的参数方程了解摆线的产生过程及它的参数方程 (重点重点) 3.体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和 步骤步骤(难点难点) 知识提炼知识提炼 梳理梳理 1.圆的渐开线的参数方程圆的渐开线的参数方程 以基圆圆心以基圆圆心 O 为原点为原点，直线直线 OA 为为 x 轴轴，建立如图所示的平面直角坐标系建立如图所示的平面直角坐标系 设基圆的半径为设基圆的半径

2、为 r，绳子外端绳子外端 M 的坐标为的坐标为(x，y)，则有则有 _ ( 是参数是参数)这就是圆的渐开线这就是圆的渐开线 的参数方程的参数方程 x r（cos sin ）， yr（sin cos ） 温馨提示温馨提示 (1)圆的渐开线的实质是直线在圆上滚动圆的渐开线的实质是直线在圆上滚动 时直线上定点的轨迹时直线上定点的轨迹(2)基圆大小不等的渐开线形状不基圆大小不等的渐开线形状不 同同，一般基圆越大一般基圆越大，它的渐开线愈趋平直它的渐开线愈趋平直(3)基圆以内基圆以内 无渐开线无渐开线(4)字母字母 r、 的意义：的意义：r 是基圆的半径是基圆的半径，参数参数 是绳子外端运动时绳子上的定

3、点是绳子外端运动时绳子上的定点 M 相对于圆心的张角相对于圆心的张角 其中的其中的AOB即是角即是角， 点点M由参数由参数 唯一确定唯一确定 (5) 圆的渐开线的参数方程不宜化为普通方程圆的渐开线的参数方程不宜化为普通方程， 普通方程既烦普通方程既烦 琐又没有实际意义琐又没有实际意义 2圆的摆线的参数方程圆的摆线的参数方程 半径为半径为 r 的圆所的圆所产生摆线的参数方程为：产生摆线的参数方程为： _ ( 为参数为参数) x r（sin ）， yr（1cos ） 温馨提示温馨提示 (1)摆线的每一拱的宽度等于圆的周长摆线的每一拱的宽度等于圆的周长， 拱高等于圆的直径拱高等于圆的直径(2)字母字

4、母 r， 的意义：的意义：r 指定圆的半指定圆的半 径径，参数参数 指圆指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角上定点相对于某一定点运动所张开的角 度大小度大小(3)与圆的渐开线参数方程一样与圆的渐开线参数方程一样，摆线的参数方摆线的参数方 程也不宜化为普通方程程也不宜化为普通方程 思考尝试思考尝试 夯基夯基 1思思考判断考判断(正确的打正确的打“”，错误的打错误的打“”“”) (1)圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方 程程( ) (2)圆的渐开线也可以转化为普通方程圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后但是转化后 的普通方程比较麻烦的普通方程比较麻烦，

5、且不容易看出坐标之间的关系且不容易看出坐标之间的关系， 所以常使用参数方程研究圆的渐开线问所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题题( ) (3)在求圆的摆线和渐开线方程时在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标如果建立的坐标 系不同系不同，可能会得到不同的参数方可能会得到不同的参数方程程( ) (4)圆的渐开线和圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯轴一定有交点而且是唯一的交一的交 点点( ) 解析：解析：对于一个对于一个圆圆，只要半径确定，渐开线和摆线的，只要半径确定，渐开线和摆线的 形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标 系中的

6、位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至 于渐开线于渐开线和坐标轴的交点要看坐标系的选取和坐标轴的交点要看坐标系的选取 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2当当 2 时时，圆的渐开线圆的渐开线 x 6（cos sin ）， y6（sin cos ） ( 为参数为参数)上的点是上的点是( ) A(6，0) B(6，6) C(6，12) D(，12) 解析：解析： 当当 2 时时， 代入圆的渐开线方程代入圆的渐开线方程， 得得 x6(cos 22 sin 2)6，y6(sin 22 cos 2)12. 答案：答案：C 3已已知摆线的参

7、数方程为知摆线的参数方程为 x 2（sin ）， y2（1cos ） ( 为为 参数参数)，该摆线一个拱的宽度与高度分别是该摆线一个拱的宽度与高度分别是( ) A2，2 B2，4 C4，2 D4，4 解析：解析：因为半径因为半径 r2，所以拱宽为所以拱宽为 2r4，拱高为拱高为 2r4. 答案：答案：D 4 写写出半径为出半径为 2 的圆的渐开线参数方程：的圆的渐开线参数方程： _ 解析：解析：半径为半径为 2 的圆的渐开线参数方程为的圆的渐开线参数方程为 x 2（cos sin ）， y2（sin cos ） ( 为参数为参数) 答案：答案： x 2（cos sin ）， y2（sin co

8、s ） ( 为参数为参数) 5摆线摆线 x 2（tsin t）， y2（1cos t） (0t2)与直线与直线 y2 的的 交点的直角坐标是交点的直角坐标是_ 解析：解析：当当 y2 时时，cos t0，所以所以 t 2或 或 t3 2 ， 所以所以x2 2 sin 2 2或或x2 3 2 sin3 2 32. 所以交点的直角坐标是所以交点的直角坐标是(2，2)或或(32，2) 答案：答案：(2，2)或或(32，2) 类型类型 1 渐开线的参数方程渐开线的参数方程(自主研析自主研析) 典例典例 1 求半径为求半径为 8 的圆的渐开线的参数方程的圆的渐开线的参数方程 解：解：以圆心为原点以圆心为

9、原点 O，绳端点的绳端点的 初始位置为初始位置为 M0，向量向量OM0 的方向为的方向为 x 轴正方向轴正方向，建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系， 设渐开线上的任意点设渐开线上的任意点 M(x，y)， 绳拉直时和圆的切点为绳拉直时和圆的切点为 A，故故 OAAM，按渐开线按渐开线 定义定义，弧弧AM0 的长和线段的长和线段 AM 的长相等的长相等，记记OA 和和 x 轴正轴正 向所夹的角为向所夹的角为 (以弧度为单位以弧度为单位)，则则|AM|AM0 8. 作作 AB 垂直于垂直于 x 轴轴， 过过 M 点作点作 AB 的垂线的垂线， 由三角函由三角函 数和向量知识数和向量知识，得得OA

10、(8cos ，8sin ) 由几何知识知由几何知识知MAB， AM (8sin ，8cos ) 得得OM OA AM (8cos 8sin ，8sin 8cos )(8(cos sin )，8(sin cos ) 又又OM (x，y)， 因此有因此有 x 8（cos sin ）， y8（sin cos ） ( 为参数为参数)， 即为所求圆的渐开线的参数方程即为所求圆的渐开线的参数方程 归纳升华归纳升华 1求圆的渐开求圆的渐开线的参数方程线的参数方程，关键是，关键是根据渐开线定根据渐开线定 义及形成过程获得动点轨迹的几何条件义及形成过程获得动点轨迹的几何条件|AM|AM0 r. 合理建立平面直角

11、坐标系后合理建立平面直角坐标系后，借助几何图形借助几何图形，运用三角函运用三角函 数和平面向量知识将几何条件代数化数和平面向量知识将几何条件代数化，得到参数方程得到参数方程 2圆的渐开线的参数方程可作为公式使用圆的渐开线的参数方程可作为公式使用，只要不只要不 要求用定义求解就可直接将半径要求用定义求解就可直接将半径 r 的值代入的值代入 变 式 训 练变 式 训 练 已 知 圆 的 渐 开 线 的 参 数 方 程已 知 圆 的 渐 开 线 的 参 数 方 程 x 3cos 3sin ， y3sin 3cos ( 为参数为参数)， 则此渐开线对则此渐开线对应基圆的半径是应基圆的半径是_ 解析：解

12、析：对照渐开线参数方程可知半径对照渐开线参数方程可知半径 r3. 答案：答案：3 类型类型 2 摆线的参数方程摆线的参数方程(互动探究互动探究) 典例典例 2 已知一个圆的摆线过一定点已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写请写 出该摆线的参数方出该摆线的参数方程程 解：解：由由 y0 知知，r(1cos )0， 因为因为 r0，所以所以 cos 1，所以所以 2k(kZ) 代入代入 xr(sin )1，得得 2kr1(kZ) 由于由于 r 表示圆的半径表示圆的半径，故故 r0，所以所以 r 1 2k(k N*)， 故所求摆线的参数方程为故所求摆线的参数方程为 x 1 2k（ （sin ），

13、y 1 2k（ （1cos ） ( 为参数为参数，其中其中 kN*) 迁移探究迁移探究 (变换条件变换条件)把典例把典例 2 中的条件中的条件“摆线过摆线过 一定点一定点(1，0)”改为改为“半径为半径为 2”，请写出该摆线的参数请写出该摆线的参数 方方程程 解：解： 由摆线的参数方程易知半径为由摆线的参数方程易知半径为 2 的圆的参数方程的圆的参数方程 为：为： x 2（sin ）， y2（1cos ） ( 为参数为参数) 归纳升华归纳升华 1圆的摆线的实质是一个圆沿着一条圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动定直线无滑动 地滚动时圆周上一个定点的轨迹地滚动时圆周上一个定点的轨迹 2根据

14、圆的摆线的定义和建立参数方程的过程根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可可 知其中的字母知其中的字母 r 是指定圆的半径是指定圆的半径， 参数参数 是指圆上定点相是指圆上定点相 对于某一定点运动所张开的角度大小对于某一定点运动所张开的角度大小 3根据圆的摆线的参数方程根据圆的摆线的参数方程 x r（sin ）， yr（1cos ） ( 为参数为参数)，可知只需求出其中的半径可知只需求出其中的半径 r，圆摆线的参数方程圆摆线的参数方程 即可写出 也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯即可写出 也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯 一确定的一确定的 类型类型 3 渐开线、摆线参数方程的应

15、用渐开线、摆线参数方程的应用(规范解答规范解答) 典例典例 3 (本小题满分本小题满分 10 分分)设设摆线摆线 x tsin t， y1cos t (t 为参数为参数，0t2)与直线与直线 y1 相交于相交于 A，B 两点两点，求求 A， B 两点间的距两点间的距离离 审题指导：审题指导：解决此类问题要先求出两交点解决此类问题要先求出两交点 A、B 的直的直 角坐标角坐标，然后代入相应公式计算然后代入相应公式计算 规范解答规范解答 由由 y1 及及 y1cos t 得得 cos t0， 又又 0t2， 失分警示：失分警示：若漏掉此范围若漏掉此范围，扣扣 1 分分 所以所以 t1 2， ，t2

16、3 2 .(2 分分) 当当 t1 2时 时， x 2 sin 2 2 1，y1cos 2 1. 所以所以 A 2 1，1 .(5 分分) 当当 t23 2 时时， x3 2 sin3 2 3 2 1， y1cos3 2 1， 所以所以 B 3 2 1，1 .(8 分分) 故故 A，B 两点间的距离为两点间的距离为 |AB| 3 2 1 2 1 2 （11）2 （2）22.(10 分分) 归纳升华归纳升华 因为摆线的参数方程不宜化为普通方程因为摆线的参数方程不宜化为普通方程， 所以求交点所以求交点 坐标问题一般先求出参数坐标问题一般先求出参数 t， 然然后代入参数方程求出后代入参数方程求出 x

17、， y， 注意参数注意参数 t 的取值范围的取值范围 变 式 训 练变 式 训 练 已 知 渐 开 线 的 参 数 方 程 是已 知 渐 开 线 的 参 数 方 程 是 x 2（cos sin ）， y2（sin cos ） ( 为参数为参数)，求当参数求当参数 值为值为 2和 和 时对应的渐开线时对应的渐开线 上的两点上的两点 A、B 之间的距之间的距离离 解：解：当当 2时 时， x ， y2， 当当 时时， x 2， y2， 所以所以 A(，2)，B(2，2)， 所以所以|AB|（2）2（22）2 5248. 1渐渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的开线的实质是直线在圆上滚动时直线

18、上定点的 轨轨迹圆迹圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动 地滚动时圆周上一个定点的轨地滚动时圆周上一个定点的轨迹迹 2渐渐开线上任一点开线上任一点 M 的坐标由圆心角的坐标由圆心角 (以弧度为以弧度为 单位单位)唯一确定唯一确定，而在圆的摆线中而在圆的摆线中，圆周上定点圆周上定点 M 的位置的位置 也可以由圆心角也可以由圆心角 唯一确定唯一确定的的 3圆圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方 程程，既既烦琐又没有实际意烦琐又没有实际意义义 4有有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程 等问题等问题，可按如下思路解题：将定点坐标代入摆线的参可按如下思路解题：将定点坐标代入摆线的参 数方程数方程 x r（sin ）， yr（1cos ） ( 为参数为参数)，可求出可求出 ，进一进一 步求出步求出 r，这样就可以写出该圆的摆线和渐开线的参数方这样就可以写出该圆的摆线和渐开线的参数方 程程.