人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.3 .ppt

1、3.三个正数的算术-几何平均不等式 【自主预习自主预习】 1.1.三个正数的算术三个正数的算术- -几何平均不等式几何平均不等式( (定理定理3)3) 如果如果a,b,cRa,b,cR+ +, ,那么那么 _,_,当且仅当当且仅当 _时时, ,等号成立等号成立. . 3 abc ab c 3 a=b=ca=b=c 2.2.基本不等式的推广基本不等式的推广 对于对于n n个正数个正数a a1 1,a,a2 2, ,a,an n, ,它们的算术平均不小于它们它们的算术平均不小于它们 的几何平均的几何平均, ,即即 _ ,_ ,当且当且 仅当仅当_时时, ,等号成立等号成立. . 12n aaa n

2、 n 1 2n a aa a a1 1=a=a2 2= =a=an n 【即时小测即时小测】 1.1.函数函数y=2xy=2x2 2+ (xR+ (xR+ +) )的最小值为的最小值为 ( ( ) ) A.6A.6 B.7B.7 C.8C.8 D.9D.9 【解析解析】选选A.A.因为因为xRxR+ +, ,所以所以 当且仅当当且仅当x=1x=1时等号成立时等号成立. . 4 x 222 3 4222 2 y2x2x32x6. xxxx x 2.2.若若n0,n0,则则 的最小值为的最小值为 ( ( ) ) A.2A.2 B.4B.4 C.6C.6 D.8D.8 【解析解析】选选C.C.因为因

3、为 所以所以 当且仅当当且仅当n=4n=4时等号成立时等号成立. . 2 32 n n 22 32nn32 n, n22n 3 222 32nn32nn32 n36. n22n22n 3.3.若若ab0,ab0,则则a+ a+ 的最小值为的最小值为_._. 【解析解析】因为因为ab0,ab0,所以所以a a- -b0,b0, 所以所以 当且仅当当且仅当(a(a- -b)=b= b)=b= 时等号成立时等号成立. . 答案答案: :3 3 1 b ab 11 aabb3 b abb ab ， 1 b ab 【知识探究知识探究】 探究点探究点 三个正数的算术三个正数的算术- -几何平均不等式几何平

4、均不等式 1.1.不等式不等式 成立时成立时,a,b,c,a,b,c的范围是什么的范围是什么? ? 提示提示: :a0,b0,c0.a0,b0,c0. 3 ab c abc 3 2.2.应用三个正数的算术应用三个正数的算术- -几何平均不等式几何平均不等式, ,求最值应注求最值应注 意什么意什么? ? 提示提示: :三个正数的和为定值三个正数的和为定值, ,积有最大值积有最大值; ;积为定值积为定值, ,和和 有最小值有最小值. .求最值时应注意三个条件求最值时应注意三个条件“一正、二定、三一正、二定、三 相等相等”同时具备同时具备. . 【归纳总结归纳总结】 1.1.定理定理3 3的变形及结

5、论的变形及结论 (1)abc .(1)abc . (2)a(2)a3 3+b+b3 3+c+c3 33abc.3abc. (3) (3) 上式中上式中a,b,ca,b,c均为正数均为正数, ,等号成立的条件均为等号成立的条件均为a=b=c.a=b=c. 3 ab c () 3 222 3 3abcabc abc. 111 33 abc 2.2.利用定理利用定理3 3可确定代数式或函数的最值可确定代数式或函数的最值 (1)(1)若若a,b,cRa,b,cR+ +, ,且积且积abcabc为定值为定值s s时时, ,由由a+b+ca+b+c ( (定值定值),),当且仅当当且仅当a=b=ca=b=

6、c时时, ,和和a+b+ca+b+c有最小值有最小值3 .3 . (2)(2)若若a,b,cRa,b,cR+ +, ,且和且和a+b+ca+b+c为定值为定值p p时时, ,由由abcabc ( (定值定值),),当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时时, ,积积abcabc有最大值有最大值 p p3 3. . 3 3 abc 3 s 3 ab c () 3 1 27 类型一类型一 利用三个正数的算术利用三个正数的算术- -几何平均不等式求最值几何平均不等式求最值 【典例典例】1.1.求函数求函数y=(1y=(1- -3x)3x)2 2x x 的最大值的最大值. . 2.2.求函数求函数y=x

7、+ (x1)y=x+ (x1)的最小值的最小值. . 1 (0x) 3 2 4 x 1 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中如何构造式子中如何构造式子, ,使其和为定值使其和为定值? ? 提示提示: :可将式子可将式子(1(1- -3x)3x)2 2xx化为化为 (1(1- -3x)(13x)(1- -3x)6x3x)6x 的形式的形式. . 2.2.典例典例2 2中如何构造式子中如何构造式子, ,使其积为定值使其积为定值? ? 提示提示: :可将式子可将式子x+ x+ 化为化为 则其积则其积 为常数为常数. . 1 6 2 4 x 1 2 x 1x 14 1 22 x 1 ， 2 x

8、 1x 14 1 22 x 1 【解析解析】1.1.因为因为00, 所以所以y=(1y=(1- -3x)3x)2 2x= (1x= (1- -3x)3x)(1(1- -3x)3x)6x6x 当且仅当当且仅当1 1- -3x=13x=1- -3x=6x,3x=6x, 即即x= x= 时等号成立时等号成立, ,此时此时y ymax max= . = . 1 3 1 6 3 1 1 3x 1 3x6x4 (), 6381 1 9 4 81 2.2.因为因为x1,x1,所以所以x x- -10,10, 当且仅当当且仅当 即即x=3x=3时等号成立时等号成立, ,即即y ymin min=4. =4.

9、22 4114 yxx 1x 11 22 x 1x 1 2 114 x 1x 1 22 x 1 ， 3 2 114 3x 1x 114 22 x 1 ， 【延伸探究延伸探究】1.1.若将典例若将典例1 1中的条件变为“中的条件变为“y=x(1y=x(1- -x x2 2) ) (00),则则B(1,B(1,- -1),1),代入抛物线方程可得代入抛物线方程可得2p=1,2p=1, 所以抛物线方程为所以抛物线方程为x x2 2= =- -y,y,因为因为CD=2x,CD=2x,所以所以D(x,D(x,- -x x2 2),), 所以梯形的高为所以梯形的高为1 1- -x x2 2, ,梯形的面积

10、为梯形的面积为S=(x+1)(1S=(x+1)(1- -x x2 2),), x(0,1),x(0,1), S=(x+1)(1S=(x+1)(1- -x x2 2)= (x+1)= (x+1)2 2(2(2- -2x)2x) 当且仅当当且仅当x+1=2x+1=2- -2x,2x,即即x= x= 时时,S,S的最大值是的最大值是 . . 答案答案: : 1 2 3 1x 1 x 1 22x32 (), 2327 1 3 32 27 32 27 2.2.已知已知x0,x0,求求y= +3xy= +3x的最小值的最小值. . 【解析解析】因为因为x0,x0,所以所以y= y= 当且仅当当且仅当 即即

11、x=2x=2时等号成立时等号成立. .故故y= +3xy= +3x 的最小值为的最小值为9.9. 2 12 x 22 12123x3x 3x xx22 3 2 12 3x 3x 39 x22 ， 2 123x x2 ， 2 12 x 类型二类型二 利用三个正数的算术利用三个正数的算术- -几何平均不等式证明几何平均不等式证明 不等式不等式 【典例典例】设设a,b,ca,b,c为正实数为正实数, ,求证求证:a:a3 3+b+b3 3+c+c3 3+ + 【解题探究解题探究】典例可分几次使用不等式典例可分几次使用不等式? ? 提示提示: :分两次使用不等式分两次使用不等式. . 1 2 3. a

12、bc 【证明证明】因为因为a,b,ca,b,c为正实数为正实数, ,所以所以a a3 3+b+b3 3+c+c3 3 =3abc0,=3abc0,当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时时, ,等号成立等号成立. .又又3abc+3abc+ 当且仅当当且仅当3abc= 3abc= 时时, ,等号成立等号成立. .所以所以a a3 3+b+b3 3+c+c3 3+ + 333 3 3 a b c 1 2 3 abc ， 1 abc 1 2 3 abc . 【方法技巧方法技巧】证明不等式的方法证明不等式的方法 (1)(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件首先观察所要证的式子结构特点及题目所

13、给条件, , 看是否满足“一正、二定、三相等”的条件看是否满足“一正、二定、三相等”的条件. .若满足即若满足即 可利用平均不等式证明可利用平均不等式证明. . (2)(2)若题目不满足该条件若题目不满足该条件, ,则可灵活利用已知条件构造则可灵活利用已知条件构造 出能利用三个正数的基本不等式的式子出能利用三个正数的基本不等式的式子. . 【变式训练变式训练】1.1.已知已知x,yx,y均为正数均为正数, ,且且xy,xy,求证求证: : 2x+ 2y+3.2x+ 2y+3. 22 1 x2xyy 【证明证明】因为因为x0,y0,xx0,y0,x- -y0,y0, 所以所以2x+2x+ - -

14、2y=2(x2y=2(x- -y)+y)+ =(x=(x- -y)+(xy)+(x- -y)+y)+ 等号成立的条件是等号成立的条件是 =x=x- -y,y,即即x x- -y=1.y=1. 所以所以2x+ 2y+3.2x+ 2y+3. 22 1 x2xyy 2 1 xy 2 3 22 11 3xy3 xyxy ， 2 1 xy 22 1 x2xyy 2.(20162.(2016哈尔滨高二检测哈尔滨高二检测) )已知实数已知实数a,b,c,da,b,c,d满足满足 abcd,abcd,求证求证: : 1119 . abbcc dad 【证明证明】因为因为abcd,abcd,所以所以a a- -

15、b0,bb0,b- -c0,c0, c c- -d0,ad0,a- -d0,d0,所以所以 = (a= (a- -b)+(bb)+(b- -c)+(cc)+(c- -d)d) 当且仅当当且仅当a a- -b=bb=b- -c=cc=c- -d d时取等号时取等号, ,即即 111 () ad abb ccd 3 3ab b c cd9, 1119 . abb ccdad 3 111 3 ab b c cd 111 () abb ccd 【补偿训练补偿训练】设设a,b,cRa,b,cR+ +, ,求证求证: : 【证明证明】因为因为 当且仅当当且仅当c= c= 时取等号时取等号, ,所以原不等式

16、成立所以原不等式成立. . 3 abc 3 abcab2 ab. 3 abc 3 abcab2 ab 33 3333 c2 ab3 abccabab3 abc 3 cabab3 abc3 abc3 abc0 ， ab 拓展类型拓展类型 平均不等式在解应用题中的应用平均不等式在解应用题中的应用 【典例典例】如图所示如图所示, ,在一张半径是在一张半径是2 2米的米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯圆桌的正中央上空挂一盏电灯. .大家知道大家知道, , 灯挂得太高了灯挂得太高了, ,桌子边缘处的亮度就小桌子边缘处的亮度就小; ; 挂得太低挂得太低, ,桌子的边缘处仍然是不亮的桌子的边缘处仍然是不亮的.

17、 . 由物理学知道由物理学知道, ,桌子边缘一点处的照亮度桌子边缘一点处的照亮度E E和电灯射到和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角桌子边缘的光线与桌子的夹角 的正弦成正比的正弦成正比, ,而和这而和这 一点到光源的距离一点到光源的距离r r的平方成反比的平方成反比. .即即E=k .E=k . 这里这里k k是一个和灯光强度有关的常数是一个和灯光强度有关的常数. .那么究竟应该怎那么究竟应该怎 样选择灯的高度样选择灯的高度h,h,才能使桌子边缘处最亮才能使桌子边缘处最亮? ? 2 sin r 【解析解析】因为因为r= ,r= ,所以所以E= E= 所以所以E E2 2= = sinsin2

18、 2coscos4 4= (2sin(2sin2 2)coscos2 2coscos2 2 2 cos 2 sin cos (0), 42 2 k 16 2 k 32 22222 3 k2sincoscosk (), 323108 当且仅当当且仅当2sin2sin2 2=cos=cos2 2时取等号时取等号, ,即即 tantan2 2= ,tan= ,= ,tan= , 所以所以h=2tan= ,h=2tan= ,即即h= h= 米时米时,E,E最大最大, ,此时桌子边缘此时桌子边缘 处最亮处最亮. .故当灯的高度为故当灯的高度为 米时米时, ,才能使桌子边缘处最才能使桌子边缘处最 亮亮.

19、. 1 2 2 2 2 2 2 【方法技巧方法技巧】用不等式解决应用问题的方法用不等式解决应用问题的方法 解应用问题的关键是读懂题意解应用问题的关键是读懂题意, ,建立适当的函数关系式建立适当的函数关系式, , 把所求问题转化为求函数的最值问题把所求问题转化为求函数的最值问题, ,并将函数式配凑并将函数式配凑 成可以利用平均不等式的形式成可以利用平均不等式的形式. . 【变式训练变式训练】1.1.设三角形三边长为设三角形三边长为3,4,5,P3,4,5,P是三角形内是三角形内 的一点的一点, ,则则P P到这个三角形三边距离乘积的最大值是到这个三角形三边距离乘积的最大值是 _._. 【解析解析

20、】设设P P到长度为到长度为3,4,53,4,5的三角形三边的距离分别的三角形三边的距离分别 是是x,y,z,x,y,z,三角形的面积为三角形的面积为S.S.则则S= (3x+4y+5z),S= (3x+4y+5z),又因为又因为 3 32 2+4+42 2=5=52 2, ,所以这个三角形为直角三角形所以这个三角形为直角三角形, ,其面积其面积S=S= 3 34=6,4=6, 所以所以3x+4y+5z=23x+4y+5z=26=12,6=12, 1 2 1 2 所以所以 3x+4y+5z=12,3x+4y+5z=12,所以所以(xyz)(xyz)max max= . = . 当且仅当当且仅当

21、3x=4y=5z,3x=4y=5z,即即x= ,y=1,z= x= ,y=1,z= 时等号成立时等号成立. . 答案答案: : 3 3 3x 4y 5z 16 15 4 3 4 5 16 15 2.2.某商场销售某种商品的经验表明某商场销售某种商品的经验表明, ,该商品每日的销售该商品每日的销售 量量y(y(单位单位: :千克千克) )与销售价格与销售价格x(x(单位单位: :元元/ /千克千克) )满足关系满足关系 式式y= +10(xy= +10(x- -6)6)2 2, ,其中其中3x6,a3x6,a为常数为常数, ,已知销售价已知销售价 格为格为5 5元元/ /千克时千克时, ,每日可

22、售出该商品每日可售出该商品1111千克千克. . a x3 (1)(1)求求a a的值的值. . (2)(2)若该商品的成本为若该商品的成本为3 3元元/ /千克千克, ,试确定销售价格试确定销售价格x x的值的值, , 使商场每日销售该商品所获得的利润最大使商场每日销售该商品所获得的利润最大. . 【解析解析】(1)(1)因为因为x=5x=5时时,y=11,y=11, 所以所以 +10=11,+10=11,所以所以a=2.a=2. (2)(2)由由(1)(1)可知可知, ,该商品每日的销售量该商品每日的销售量y= +10(xy= +10(x- -6)6)2 2, , 所以商场每日销售该商品所

23、获得的利润所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(xf(x)=(x- -3) =2+10(x3) =2+10(x- -3)(x3)(x- -6)6)2 2, , 3x6,f(x)=2+5(2x3x6,f(x)=2+5(2x- -6)(x6)(x- -6)6)2 2 2+5 =42. 2+5 =42. a 2 2 x3 22 10 x6 x3 3 2x66x6x () 3 当且仅当当且仅当2x2x- -6=66=6- -x,x,即即x=4x=4时等号成立时等号成立. . 当当x=4x=4时时,f(x),f(x)取最大值取最大值, ,且最大值等于且最大值等于42.42. 答答: :当销售价

24、格为当销售价格为4 4元元/ /千克时千克时, ,商场每日销售该商品所商场每日销售该商品所 获得的利润最大获得的利润最大. . 自我纠错自我纠错 三个正数的算术三个正数的算术- -几何平均不等式在求最值几何平均不等式在求最值 中的应用中的应用 【典例典例】已知已知0x1,0x1,求求y=xy=x4 4(1(1- -x x2 2) )的最大值的最大值. . 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :错误的根本原因是错误理解了应用三个正数的算错误的根本原因是错误理解了应用三个正数的算 术术- -几何平均不等式求最值的条件和原则几何平均不等式求最值的条件和原则, ,忽视了等号忽视了等号 成立的条件成立的条件. .正确解答过程如下正确解答过程如下: : 【解析解析】y=xy=x4 4(1(1- -x x2 2)= x)= x2 2x x2 2(2(2- -2x2x2 2) ) 当且仅当当且仅当x x2 2=2=2- -2x2x2 2, ,即即x= x= 时时,y=x,y=x4 4(1(1- -x x2 2) )取得最取得最 大值大值 1 2 222 33 xx2 2x 1124 ()( ). 232327 6 3 4 . 27