全国初中数学优秀课一等奖锐角三角函数-教学设计（朱光赟）.docx

1、锐角三角函数（锐角三角函数（1 1） 成都八中成都八中 朱光赟朱光赟 一、教材一、教材分析分析 1.1.教材内容教材内容 本节课是义务教育课程标准北师大版实验教科书九年级 (下) 第一章 直 角三角形的边角关系的第一节.本课为第一课时，主要内容是：理解正切的概 念，会进行简单的计算，了解坡度. 2.2.地位及作用地位及作用 正切在生活中的运用非常广泛，如物体的倾斜程度、山的坡度等都往往用正 切来刻画.同时正切也是学生接触的第一个三角函数.学好正切， 既为正弦余弦的 学习打下基础，又为高中系统学习三角函数做好铺垫.因此本节内容极其重要. 二、学情分析二、学情分析 1.1.知识基础知识基础 九年级

2、学生已经学习了直角三角形，函数和相似三角形的相关知识，具备了 学习锐角三角函数的知识基础.但是，锐角三角函数和学生以前学习过的一次函 数、反比例函数有所不同，它揭示的是角度与线段比值之间的对应关系.学生是 第一次接触用符号表示的函数， 因此学生对锐角三角函数的理解仍然比较抽象和 困难. 2.2.能力基础能力基础 学生已经经历了多次小组合作，探索新知的过程，对探究性学习掌握了一定 的方法，具有一定的活动学习的经验，这为本节课采用小组活动来感知概念打下 了基础. 3.3.任教学生特点任教学生特点 我班学生数学基础较扎实，求知欲强，想象力丰富.能较好地运用所学的知 识解决问题. 三、目标分析三、目标

3、分析 1.1.教学目标：教学目标： （1）经历探索直角三角形边角关系的过程，理解正切的概念并能进行简单的 计算. （2）经历数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理的、清晰的阐述自己 的观点. 2.2.教学重点教学重点 理解正切概念. 3.3.教学难点教学难点 正切概念的形成过程. 4.4.突出重点、突破难点的策略突出重点、突破难点的策略 抓住学生的认知盲点，教师加以启发诱导，抽象出本节课重要的数学模型 直角三角形，配合实验直观展示，帮助学生理解一个锐角和它的对边与邻边的 比值之间的对应关系，确定这是一种函数关系，给出正切概念，突破本节课的难 点.理解概念后，通过小组合作辨析、应用概念，突出本

4、节课重点. 四、教法、学法四、教法、学法 教法：教法：启发式与自主探究结合的教法. 学法：学法：自主探究、合作交流的学法. 五、过程设计五、过程设计 结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节如下： 教学教学 环节环节 教师活动教师活动 学生活动学生活动 设计意图设计意图 感感 悟悟 概概 念念 情情 境境 引引 入入 以诗句引导学生欣赏剑门关、 乐山大佛、窦团山登山阶梯图 片，再由“激流勇进”让学生 感受斜坡的陡峭，提出问题： 我们用数学知识怎样来比较 阶梯的倾斜程度呢？ 现实模型现实模型 学生欣赏图片， 思考问 题 用实际问题引 出本课的探索 问题，让学生 感悟数学来源 生活. 合合 作作

5、 探探 究究 1请学生观察 4 幅图片.教师 提出问题并巡视各个小组交 流情况.并请小组代表汇报观 察得出的结论. 小组活动小组活动 1 学生观察 4 幅图片， 展 开讨论.学生代表发 言， 展示探究四幅图片 的成果. 判断梯子的倾 斜程度可以通 过研究倾斜角 的度数. 感悟概念感悟概念 理解概念理解概念 应用概念应用概念 归纳小结归纳小结 教学教学 环节环节 教师活动教师活动 学生活动学生活动 设计意图设计意图 感感 悟悟 概概 念念 合合 作作 探探 究究 问题 1：如图，梯子 AB 和 DE 哪个更陡？你是怎么判断 的？ （图（图 1） （图（图 2） 问题 2：如图，梯子 AB 和 D

6、E 哪个更陡？你是怎么判断 的？ （图（图 3） 问题 3：如图，梯子 AB 和 DE 哪个更陡？你是怎么判断 的？ （图（图 4） 图 1 中的梯子等高， 底 小的更陡。 图 2 中的梯子等底， 较 高的更陡。 图 3 两个三角形相似， 梯子的倾斜角相等， 所 以一样陡。 图 4 中的梯子底和高 长度均不等， 直观无法 判断. 效果： 学生可以解决问 题 1 和 2，但现有知识 可能无法解决问题 3. 但通过小组活动， 能力 较强的同学若有方案， 将成为本节课的一大 亮点.做好学生上台分 享解决方案的准备. 图 3 是相似三 角形，可以转 化为倾斜角相 等，梯子的倾 斜程度相同.图 4 学生

7、无法类 比图 1.2.3 的方 法得出结论， 出现认知盲 点，这恰好是 本节课的难点. 师师 生生 共共 探探 教师引导学生：当利用角度无 法判断时，不妨试试对三角形 的边长入手加以分析.抛出问 题串. 学生思考问题. 教师适当启发 诱导，设计由 浅入深的问题 串，对学生进 （接下页） 教学教学 环节环节 教师活动教师活动 学生活动学生活动 设计意图设计意图 感感 悟悟 概概 念念 师师 生生 共共 探探 师：比较图形的某一边长，能 否判断哪个梯子更陡？ 引导学生考虑图形中两边的 比值.今天我们先探讨铅直高 度与水平宽度的比. （将直角边 与斜边的比留作下一节课探 讨） 请学生动手做实验，书看

8、作 墙，尺子看作梯子，观察梯子 滑动的过程.： 师：梯子在上升变陡的过程 中，哪些量发生了变化？倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？ 师:能不能解决前面的问题 3？ 建立数学模型直角三角 形，引导学生继续探索一个锐 角的大小与其对边与邻边的 比值之间的对应关系. 展示动画，观察点 B1 在斜 边上的滑动. 师：A 的大小不变时，A 的对边与邻边的比值改变 吗？ 师：如果A 的大小改变， A 的对边与邻边的比值会改 变吗？ 学生思考问题. 学生动手做实验， 思考 并回答： （1） 、 倾斜角越大 梯子越陡. （2） 、 铅直高度与水平 宽度的比值越大 梯子越陡 . 学生利用刚才的结

9、论 解决问题 3. 梯子梯子 DE 更陡更陡. 学生观察动画，并思 考。 效果：由三角形相似， 学生很快得出结论： A 的大小不变时， A 的对边与邻边的 比值不变。 当A 改变，A 的对 边与邻边的比值也随 之改变.即A 的对边 与邻边的比和A 两 个变量之间是一一对 应关系. （接上页） 行启发.同时通 过学生自己动 手做实验，让 学生亲身感悟 事物的发展变 化过程，从变 化的角度实施 动态化、形象 化、直观化教 学， 揭示了A 的大小和A 的对边与邻边 的比值是函数 关系，顺利引 出正切函数概 念. 教学教学 环节环节 教师活动教师活动 学生活动学生活动 设计意图设计意图 理理 解解 概

10、概 念念 生生 成成 概概 念念 教师给出正切的定义，并板书. 定义：在 RtABC 中，如果锐 角 A 确定，那么A 的对边与 邻边的比值也随之确定，这个 比叫做A 的正切.记作 tanA. tanA= 的对边的对边 的邻边的邻边 教师板书： 在 RtABC 中，tanA= 的对边的对边 的邻边的邻边= 师： tanB 如何表示？观察 tanA 与与 tanB 有什么关系？ 学生学习正切的定义， 并在教科书上勾出概 念，掌握表示方法. 学生发现 tanA 与 tanB 的值互为倒数， 由此得 到结论： 当A+ B=90时， tanA tanB=1 . 通过学生感悟 概念的背景， 再由教师来生

11、 成概念，准确 定义正切并板 书. 学生在学习的 过程中恰好解 决教材 P5 4 题 联系拓广 在 RtABC 中， C=90， tanA 与tanB 有 什么关系？ 解解 读读 概概 念念 对 tanA 的几点说明： （1） 初中阶段， 正切是在直角 三角形中定义的， A 是一个 锐角 . （2） 记号里习惯省去角的符号 “” ， 若用三个字母表示角或 者用阿拉伯数字表示角则 “” 不能省略，如ABC 的正切表 示为 tanABC 1 的正切表示为：tan1 的正切表示为：tan 学生掌握教师强调的 三点说明. 数学概念是用 精练的数学语 言 表 达 出 来 的，在教学中， 抽象概括出概 念

12、后，还要注 意深入剖析概 (接下页) c b a 教学教学 环节环节 教师活动教师活动 学生活动学生活动 设计意图设计意图 理理 解解 概概 念念 解解 读读 概概 念念 （3）tanA 是一个完整的符号， 不表示“tan”乘以“A”. 学生掌握教师强调的 三点说明. （接上页） 念，帮助学生 进一步理解概 念，让学生在 第一次接触正 切函数时，能 准确理解正切 及其表示方法. 辨辨 析析 概概 念念 教师布置小组活动 2， 提出活动要求： （1） 、独立完成题目； （2） 、组内同学相互订正，分 析错误原因，交流疑问和困惑. 1、如图，填空: (1).tan = BC AC tan = BC

13、 (2).如图, ACB=90CDAB. tanACD= = = tanB= = = 2、在 RtABC 中，锐角 A 的对 边和邻边同时扩大为原来的 20 倍，tanA 的值（ ） A、扩大为原来的 20 倍 B、缩小为原来的 20 1 C、不变 D、不能确定 小组活动 2 1、学生独立完成. 2、 小组成员相互订正、 交流。 3、学生代表展示正确 答案. 4举手反馈。 效果：通过举手反馈， 正确率很高.教师在巡 视过程中发现仍有少 量错误较少， 错题集中 在 1 题(2)小题及 3 题. 集中点评效果较好. 为了使学生更 好地掌握数学 概念，此处设 计了三道练习 来帮助学生辨 析概念.采用

14、学 生独立完成， 小组成员相互 讲解，对概念 进行剖析，突 出本课重点. 教学教学 环节环节 教师活动教师活动 学生活动学生活动 设计意图设计意图 理理 解解 概概 念念 辨辨 析析 概概 念念 3、 判断对错， 错误请说明原因. （图 1）tanA= BC AC （ ） （图 2）tanA= AC BC （ ） tanA= BC AB （ ） tanB= 2cm （ ） tanA=0.5 （ ） 小组成员互批互订效 果较好， 激发了学生的 学习热情， 增强了团队 互助的精神. 1 题巩固正切 概念。 2 题强调 tanA 只与A 的大 小有关，而与 直角三角形大 小无关. 3题 强 调 ta

15、nA0 且无单 位，因为它表 示一个比值. 应应 用用 概概 念念 例例 题题 讲讲 解解 例题： （1）在 RtABC 中， C=90 .若 AC=4， BC=6， 求 tanA 和 tanB. 教师分析：根据正切概念求解. 并且规范板书，强调必须书写 直角三角形这一前提条件。 解：在 RtABC 中， tanA= = = tanB= = = (2)若 AC=9， AB=15，求 tanA 和 tanB. 学生应用正切概念， 学 习解题规范. 学生独立求解. 结 合 教 材 例 题，设计了本 例题，目的是 应用概念.在直 角三角形中， 已知任意两边 可求锐角的正 切值. 教学教学 环节环节

16、教师活动教师活动 学生活动学生活动 设计意图设计意图 应应 用用 概概 念念 例例 题题 讲讲 解解 (3)若 AB=25，tanB= 3 4 ，求 AC 和 BC 的长度. 教师归纳两种解题类型：已知 任意两边可求锐角的正切值. 反之已知一边及一锐角的正切 值，可求另两边， 完成 3 道小题后， 再次观察 （2） 小题，给它赋予一定的生活背 景. 某人从小山坡下的点B走了15 米后到达坡顶的点 A， 已知点 A 到坡脚的垂直距离为 9 米，求 坡的坡度？ 教师点评：见比设 K 后利用勾 股定理建立方程求解，体现方 程思想. 归纳：在直角三角形中，已知 任意两边的长度，可求两锐角 的正切值.已

17、知任一边长度和 一锐角的正切值，也可求另两 边的长度. 学生了解坡度。. 回答： 坡度=铅直高度 铅直高度 水平宽度水平宽度= = 对比梯子，得出结论： 1、坡角越大，坡越陡. 2、坡度越大，坡越陡. 学生独立求解， 回答解 题方法。 反之已知一边 及一锐角的正 切值，可求另 两边，渗透解 直角三角形. 教师赋予(2)小 题生活背景， 介绍坡度，体 现数学来源于 生活，又服务 于生活. 同时 印证了解决生 活中的数学问 题必须抽象出 与之对应的数 学模型. 巩巩 固固 练练 习习 如图，求 tanC=( ) (A) 1 (B) 5 6 (C) 4 3 (D) 5 3 学生独立解决， 添加辅 助

18、线解决了本题. 效果： 要在非直角三角 形中求角的正切值， 就 必须作辅助线构造直 角三角形， 体现数学的 “转化思想”. 作辅助线构造 直角三角形， 体 现 数 学 的 “转化思想”. 教学教学 环节环节 教师活动教师活动 学生活动学生活动 设计意图设计意图 应应 用用 概概 念念 延延 伸伸 提提 高高 小组活动 3 1探索 30，45，60 角的正 切值. 请一名学生回答方法. 2.探索非特殊角的正切值. 如图，ABC 是等腰直角三角 形，C=90.AD 是BAC 的 平分线， 求BAD 的正切值. 方法一： 小组活动 3 1、学生独立探索 30， 45，60 角的正切值. 效果： 大部

19、分学生都是 采用构造直角三角形 的方法， 根据正切的概 念求值.但也有小部分 学 生 ， 在 求 出 了 tan30后利用互余的 两锐角的正切值互为 倒数这一结论，求出 tan60的值.运用了前 面发现的结论.这是我 在课堂预设中没有想 到的. 2、学生先独立思考， 再小组交流. 探 索 30 ， 45，60 角 的正切值是对 正切概念的延 伸提高.需要学 生构造直角三 角形，再次强 调了直角三角 形是求正切值 的前提条件， 大部分学生能 完成. 探索非特殊角 的 正 切 值 较 难，采用小组 讨论解决.学 生中出现了两 种辅助线的添 法也是构造直 角三角形，体 现数学的一题 多解，思维的 发

20、散. （接下页）（接下页） 教学教学 环节环节 教师活动教师活动 学生活动学生活动 设计意图设计意图 应应 用用 概概 念念 延延 伸伸 提提 高高 方法方法二二： 3、引导学生发现： BAD=22.5 ， 我 们 已 知 tan45，可求得 tan22.5.那么 已知 30角的正切值，可不可 以求 15角的正切值呢？ 4.汇总数据 教师展示表格，请学生观察. 活动预设： 教师做好学 生无法解决求非特殊 值的正切值的思想准 备. 3.学生展示习题分析 过程. 效果：课堂上，部分小 组的学生添加了两种 辅助线 4、学生观察表格，发 现结论： A 与它的正 切值一一对应。tanA 随A 的增大而增

21、大. （接上页） 要求锐角的正 切值，需要将 此锐角构造到 一个直角三角 形中.所以添 加辅助线，将 非直角三角形 转化为直角三 角形，体现转 化 的 数 学 思 想，同时深化 了 正 切 的 概 念. 而 BAD=22.5 是一个非特殊 角，体现了特 殊到一般的数 学思想. 学 生 观 察 数 据，再次感受 角度与正切值 之间是一个函 数关系，体现 函数味. 教学教学 环节环节 教师活动教师活动 学生活动学生活动 设计意图设计意图 归归 纳纳 小小 结结 小小 结结 教师请学生畅谈本节课的收 获。 学生自由发言。 效果： 大部分学生总结 到了本课学习到的概 念， 方法， 发现的结论. 有同学

22、提到团队对她 的帮助. 本环节由学生 自主归纳，总 结本堂课的收 获和感悟. 采 用 开 放 式 总 结，让学生畅 所欲言. 作作 业业 布置作业 （1） 、教材 P4 习题 1.1 1、2 题； （2） 、 预习第二课时 正弦、 余 弦 选作题：教材 P4 习题 1.1 3 题.要求完成调查报告. 学生记录家庭作业. 考虑到学生层 次和个体的差 异，分层布置 作业.作业 1、2 是教材上的习 题，可以巩固 所学基础知 识；预习作业 为学习正弦余 弦做铺垫.选作 题要求学生， 解决生活中的 数学问题. 板书设计板书设计 注：由于多媒体辅助教学，部分内容由 PPT 展示. 七、教学反思七、教学反

23、思 根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课的教学有如下反思： （一）目标达成（一）目标达成 在新课程中课堂教学活动的基本理念： “教师应激发学生的学习积极性，向 学生提供充分从事数学活动的机会， 帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真 正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经 验” 基于这一理念，我选取了身边熟悉的激流勇进的实例来进行探究引入，通 过教师的引导，学生的小组活动探究，让学生亲历发现事物特征、本质的过程， 了解知识的来龙去脉， 更有利于帮助学生深刻理解正切的概念 实际教学过程中， 绝大多数学生能很好的掌握正切概念，并能应用概念解决相关问题，获得了较好

24、的数学学习经验，从而达成了本课第一个教学目标 在活动中，学生是否能积极地思考，是否能与他人很好的交流合作，是否 能够从活动里得出规律和结论等等，这也是新课程理念下对学生能力的一种评 价因此我采用小组合作感悟概念，小组互助理解概念、小组交流应用概念来达 成本课第二个教学目标 （二（二）设计亮点）设计亮点 1、教学过程渗透函数思想 新版教材从从梯子的倾斜程度谈起变为锐角三角函数 ，从学生的直 观感受上升到理性思维,更为严谨.本课的设计重在学生对正切概念的理解过程. 感悟概念环节先由学生探究,以实验从变化的角度实施动态化、形象化、直观化 教学， 揭示了的大小和的对边与邻边的比值是函数关系，顺利引出正

25、切 概念理解概念环节，给出定义后揭示：当锐角变化时，tan的值也随之变 化最后将产生的 30，45，60，22.5的正切值填入表格，学生观察， 再次感受角度与正切值之间是一个函数关系，体现这节课的函数味 2、整合教材，延伸提高 数学教学的最终目的在于实现学习主体的数学发展，具体表现为数学知识 的获取、数学能力的提高、数学思维的养成所以本课整合了教材，探究 30， 45， 60及 22.5角的正切值， 强调应用正切的前提条件在直角三角形中 所 以必然要添加辅助线，构造直角三角形，强调了构造法，体现了转化和从特殊到 锐角三角函数（1） 一正切的定义 在 RtABC 中，如果锐角 A 确定，那么A

26、的对边与邻边 的比值也随之确定， 这个比叫 做A 的正切.记作 tanA. tanA=tanA= 的对边的对边 的邻边的邻边 思考：已知的正切 值，求 2正切值的方法. 二结论 A+B=90时 tanAtanB=1 例题： 解：在 RtABC 中， tanA= = = tanB= = = 一般的数学思想 3、意外收获 特别可贵的是， 在理解概念环节的学习过程中， 学生理解了： 当A+B=90 时 tanAtanB=1 这一结论， 有些学生还能在练习中运用。 这是本节课的意外收获. 在解决非特殊角正切值的过程中，学生能运用多方法思考解决问题. （三）遗憾之处。（三）遗憾之处。 表格部分学有余力的学生还可以从表格的数据中感受到： 当A 越大， tanA 也越大，将本课推广到正切函数的增减性及极限思想，为高中学习奠定基础. 以上就是我对这节课的教学感悟， 不足之处， 恳请各位专家批评指正 谢谢！