现代设计方法课件-第13章-杆系结构有限元法.ppt

1、第13章 杆系结构框架结构桁架结构杆系结构重庆朝天门大桥朝天门大桥 现代设计方法第13章 杆系结构2重庆大学机械工程学院13.1 一维杆单元13.1.1 一维杆单元及其位移模式一维杆单元及其位移模式 一维杆单元如图13.1所示，单元长度为L，横截面积为A，材料弹性模量为E。单元的两个结点记为i、j，单元只承受轴向力。取一维坐标O x为由i 指向 j，结点位移向量记为 结点力向量记为 线性位移模式为 图13.1 一维杆单元 Tjieuu,TjieFFF,21)(xxu现代设计方法第13章 杆系结构3重庆大学机械工程学院（13-3）uiujFiFjijAOLEx13.1.2 一维杆单元的形函数一维

2、杆单元的形函数 利用单元两结点处的位移条件：解出 并回代入（13-3），按结点位移 整理 （13-4）形函数 （13-5）jjjiiiuxxuuxxu2121)()(eejijiijiijjjijiiijjxNxNxNuuxxxxxxxxuxxxxuxxxxxu)()()()(21,jiuu,)()()(LxxLxxxNxNxNijji现代设计方法第13章 杆系结构4重庆大学机械工程学院14.1.3 一维杆单元的应变矩阵、应力矩阵和单元刚度矩阵一维杆单元的应变矩阵、应力矩阵和单元刚度矩阵 从材料力学可知将式(13-3)代入上式可得：（13-6）式中 （13-7）由胡克定理：（13-8）应力矩阵

3、 （13-9）单元刚度矩阵为dxdueeBLL11 111LBEeeSBE 1 1ESE BLdxBEBAdvBDBkTT现代设计方法第13章 杆系结构5重庆大学机械工程学院将（13-7）代入得 （13-11）单元的结点平衡方程为 （13-12）1111LEAkeekF现代设计方法第13章 杆系结构6重庆大学机械工程学院现代设计方法第13章 杆系结构重庆大学机械工程学院7,m101,m10224)2(24)1(AAm,1.0)2()1(LLaEEMP1025)2()1(N1003F例例13-1 用有限元法求图13-2（a）所示受拉阶梯杆的位移和应力。已知杆截面面积 材料弹性模量各段杆长作用于杆

4、端的拉力L(1)L(2)A(1),E(1)A(2),E(2)OF3x(a)12321Fi(e)Fj(e)ui(e)uj(e)LAEij(b)(c)解：解：(1)单元划分 如图（b），为2单元3结点结构。(2)单元刚度矩阵 由（13-12）得：11111111LAEk11112222LAEk单元：单元：现代设计方法第13章 杆系结构重庆大学机械工程学院8单元编号 结点i结点j 1 2 2 3(3)整体方程 列出单元及其整体结点编号表格 将各段的长度，截面积，材料模量和杆端拉力F3的值代入（c）式，可得32132122222222222211111111111100FFFuuuLEALEALEAL

5、EALEALEALEALEA（c）102202640441013216Fuuu现代设计方法第13章 杆系结构重庆大学机械工程学院9(4)计入边界条件，解方程组 代入位移边界条件为u1=0，得10222610326uu解得 m1075.0,m1025.06362uu。这与材料力学求得的结果相同。(5)计算单元应力 由式（13-8）和式（13-9）LuuEuBExExjieeeee)()()(TTuuu1025.0,0,6211)MP(5.01.0)1025.00(102)(6512111aLuuE对于单元，TTuuu1075.0,1025.0,66322)MP(11.010)75.025.0(1

6、02)(6523222aLuuE对于单元，14.2 平面杆单元13.2.1 平面杆单元平面杆单元 平面杆单元如图13.2所示。单元的截面积为A，材料弹性模量为E，长度为l。整体坐标下的结点位移分量为 结点力向量为 TjyjxiyixeFFFFF,Tjjiievuvu),(图13.2 二维杆单元现代设计方法第13章 杆系结构10重庆大学机械工程学院yOxuivixujvjOji13.2.2 坐标变换坐标变换由图可知 （13-15）结点位移向量的转换 （13-16）即 （13-17）式中cossinsincosvuvvuu jjiijjiievuvuconvuvucossin00sincos000

7、0sin00sincos eeTttT00cossinsincost图13.3 坐标系的旋转变换现代设计方法第13章 杆系结构11重庆大学机械工程学院yOxuuyxPvv而方向余弦可由结点坐标计算:T 是正交矩阵,即：lxxijcoslyyijsin22)()(ijijyyxxl TTT1单元结点力向量的转换 jyjxiyixjyjxiyixeFFFFconFFFFFcossin00sincos0000sin00sincos（13-19）eeFTF即：（13-20）现代设计方法第13章 杆系结构12重庆大学机械工程学院(c)eekTTk eekTF kTTk两端右乘 1T TTkTTkTk 1

8、（13-21）由上(c)(d)两式可得 eeTkF由 的任意性可得 e现代设计方法第13章 杆系结构13重庆大学机械工程学院 eekF单元刚度矩阵的转换：eekF eeFTF eeT(d)式（13-17）代入（13-13）式（13-14）代入（13-20）22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscoslEATkTkT（13-23）式（13-23）即为二维杆单元的单元刚度矩阵。0000010100000101lEAk引入一维杆单元的单元刚度矩阵（13-11）并扩展为（13-22）可得

9、现代设计方法第13章 杆系结构14重庆大学机械工程学院13.2.3 应力的计算应力的计算应变可以由下式计算：luuij 单元应力可由胡克定理 给出E jiijuulEuulE11)(由式（13-17）可得 eTeT注意到 ，可得：0jivvjjiijivuvuuusincos0000sincos现代设计方法第13章 杆系结构15重庆大学机械工程学院杆件应力为 ejjiilEvuvulEsincossincossincos0000sincos11（13-24）现代设计方法第13章 杆系结构16重庆大学机械工程学院例例2 平面桁架，尺寸如图13-5所示，各杆截面积，材料弹性模量，试确定各杆应力和各

10、结点位移。解：1）结点编号，结点坐标，各单元方向余弦 单元结点 i131j223 结点坐标 123 x(m)050 y(m)005 单元方向余弦 l(m)57.075cos10.7070sin0-0.7071现代设计方法第13章 杆系结构17重庆大学机械工程学院图13-5 例题13-22)计算单元刚度矩阵 22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscoslEAk得 00000101000001011010000000101000001015102102561141k现代设计方法第13

11、章 杆系结构18重庆大学机械工程学院由式（13-23）1111111111111111104.35111111111111111107.77071.01021025621142k411360000010125 102 1000005010100000101100 1000000101k 3）组集整体刚度矩阵得整体平衡方程式001000000004.1354.354.354.3510004.354.354.354.35004.354.354.354.35004.354.354.354.135010010000010000001000100103322113322116yxyxyxRRRRRRvu

12、vuvu现代设计方法第13章 杆系结构19重庆大学机械工程学院4）因0331vuu消除整体刚度矩阵中对应的行和列以及载荷向量中对应元素100000004.354.3504.354.135000100102216vuv解得mmvuv442211024.38100.100于是位移向量TTvuvuvu001024.38100.100044332211现代设计方法第13章 杆系结构20重庆大学机械工程学院5）计算各杆应力，由式（13-24）jjiivuvulEsincossincos1114462002 10101010 10538.24 1040 10/40NmMPa MPamN48.56/1048

13、.561024.38101000707.0707.0707.0707.007.710226441120000010105102113现代设计方法第13章 杆系结构21重庆大学机械工程学院13.3 平面梁单元 TjjjiiiTjievuvu结点位移向量 结点力向量 TjjjiiiTjieMQNMQNFFF现代设计方法第13章 杆系结构22重庆大学机械工程学院图13-6 平面梁单元13.3.1 单元的位移模式单元的位移模式轴向位移取为坐标的一次式，挠度取为坐标的三次多项式：33221010 xbxbxbbvxaau（13-25）bxHvaxhu)()(TTbbbbbaaaxxxxHxxh32101

14、0321)(1)(写为矩阵形式：式中：（a）ba,为待定常数。现代设计方法第13章 杆系结构23重庆大学机械工程学院将对应于梁单元的结点轴向位移记为：Tjiuuu 对应于梁单元的结点挠度和转角记为：Tjjiivvv将梁单元的结点坐标代入式（13-25）并注意到：dxdv可得：bAvaAu21（b）lA101123223210100100001lllllA(c)由式（b）可获得待定常数 1211vAbuAa（d）jjiivv2 32132xbxbbdxdv3210bbbb现代设计方法第13章 杆系结构24重庆大学机械工程学院01aaijuullA/1/10111（e）将（d）代入（a），可得用结

15、点位移表示的位移模式 )()(1211vNvAxHvuNuAxhuvu（f）式中 11)(AxhNu 12)(AxHNv可改写式（f）为 eevuNAxHxHvu)()(（13-26）23232212/1/2/1/2/1/3/2/300100001llllllllA bxHvaxhu)()(a)现代设计方法第13章 杆系结构25重庆大学机械工程学院式中：232322/1/20/1/20/1/30/2/3000/100/1000100000010000001llllllllllA形函数表示为 23232232/1/20/1/20/1/30/2/3000/100/10001000000100000

16、0101000001llllllllllxxxxN 00001)(xxHu32010)(xxxxHv1A2A位于第1，4行、列位于2，3，5，6行、列现代设计方法第13章 杆系结构26重庆大学机械工程学院232332223233222302231000001lxlxlxlxlxlxxlxlxlxlx（13-27）13.2.2 单元的应变和应力单元的应变和应力0b 梁单元的应变可以分为拉压应变 和弯曲应变 。如不考虑剪切应变对于梁挠度的影响，则 eeubBAxvyHxHdxvdydxdu)()(220 AxHxHBvu)()(（13-28）（13-29）620000)(001000)(xxHxH

17、vu现代设计方法第13章 杆系结构27重庆大学机械工程学院单元的应力为：ebBEE0（13-30）13.2.3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元内的虚应变为 eB单元内应力在虚应变上作的虚功为 eTTeTdVBBEdV)(（g）单元外力作的虚功有两部分：梁上分布载荷 在虚位移上作的虚功和单元结点力 在结点虚位移上作的虚功，即 eF q(h)()()(eTTeeTeTFdxqNFdxq现代设计方法第13章 杆系结构28重庆大学机械工程学院由（g）（h）两式得出 eTTeeTTedVBBEFdxqN)()()(eTeTdVBBEFdxqN即（i）eeeTeFQFdxqNR令（i）式改写为 eekR（1

18、3-31）式中：TjjjiiiTjievuvu（j）TjjyjxiiyixTjieMRRMRRRRR现代设计方法第13章 杆系结构29重庆大学机械工程学院单元刚度矩阵为 dVBBEkT将（13-29）代入上式，积分得 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk460260612061200000260460612061200000222323222323 （13-33）式中dAyI2是梁截面对主轴的惯性矩，A是梁的截面积 现代设计方法第13章 杆系结构30重庆大学机械工程学院13.3.4 等效结点力的计算等效结点力

19、的计算 由式（j）知，按静力等效原理将分布载荷移置到单元结点上的等效结点力为 dxqNQTe（13-34）对于分布轴向力、分布横向力、分布弯矩等的等效结点力可以分别计算。这里给出几种分布载荷的计算结果，其它载荷情况可以自行推导。也可以由材料力学手册查得相应的梁端反力的计算式并反号作为等效结点载荷。现代设计方法第13章 杆系结构31重庆大学机械工程学院载荷iQiMjQjMql21ql21221ql221ql2301qlql2032201qlql20732)3(lcFcdQ32)3(ldFcdQ22ldcFQ22lcdFQ36lMcd36lMcd2)2(lMccd 2)2(lMddc现代设计方法第

20、13章 杆系结构32重庆大学机械工程学院13.3.5 整体坐标下的单元刚度矩阵整体坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的梁单元载荷向量为 单元刚度矩阵为 梁单元的位移和载荷向量的坐标变换公式与杆单元的坐标变换公式（13-17）和（13-20）类似。为 eeT（13-36）eeRTR（13-37）TjjjiiiTjievuvu eekR（13-35）结点位移向量为 TjjyjxiiyixTjieMRRMRRRRR现代设计方法第13章 杆系结构33重庆大学机械工程学院其中 TjjjiiiTjievuvu变换矩阵为 ttT001000000cossin0000sincos0000001000000cos

21、sin0000sincos（13-38）单元刚度矩阵的变换式为 TTkTk （13-39）TjjyjxiiyixjieMRRMRRRRR现代设计方法第13章 杆系结构34重庆大学机械工程学院13.3.6 梁单元的梁端内力梁单元的梁端内力 求解整体平衡方程：获得整体坐标下的结点位移和约束反力，据此可计算梁单元的内力。梁单元的杆端内力在局部坐标下计算。由（13-36）得 KR（13-40）eTeeTT1 上式代入(13-31)，计算获得结点力 ，为梁端载荷和梁分布载荷的等效结点力之和 eR eR eeFQR于是可得梁单元的梁端内力为 QkQRFeee（13-41）现代设计方法第13章 杆系结构35

22、重庆大学机械工程学院cmD5cmd427/102cmNE。例例13-3 试求解图示框架各结点位移。杆件截面为圆管，外径 ，内径 ，材料弹性模量为 。解解:1）求解杆件截面常数22207.7)(4cmdDA4441.18)(64cmdDI 截面积 惯性矩 2）求出局部坐标下的单元刚度矩阵 框架离散为两个梁单元，单元结点编号如下表 单元结点i13j21现代设计方法第13章 杆系结构36重庆大学机械工程学院yx200cm100cm100cm8103N6N/cm21123i(2)j(2)i(1)j(1)图13-7 两杆框架cmNlEIcmNlEA651024.74/1007.722342/1043.5

23、121043.56cmNlEINlEI两单元的尺寸、材料和结点编号相同，故其单元刚度矩阵相同。由（13-33）lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkk460260612061200000260460612061200000222323222323)2()1(现代设计方法第13章 杆系结构37重庆大学机械工程学院646442425564644242551024.71043.501062.31043.501043.51043.501043.51043.50001007.7001007.71062.31043.501

24、024.71043.501043.51043.501043.51043.50001007.7001007.73）整体刚度矩阵单元的局部坐标系与整体坐标系重合，不必进行转换。)1()1(22)1(21)1(12)1(11)1(kkkkkK0cos1sin单元与整体坐标系的夹角为90，,，现代设计方法第13章 杆系结构38重庆大学机械工程学院 100000001000010000000100000001000010T由（13-38）得变换矩阵 TTkTK)2()2(646455424264645542421024.701043.51062.301043.501007.7001007.701043.

25、501043.51043.501043.51062.301043.51024.701043.501007.7001007.701043.501043.51043.501043.5)2(11)2(13)2(31)2(33kkkk现代设计方法第13章 杆系结构39重庆大学机械工程学院yx200cm100cm100cm8103N6N/cm21123i(2)j(2)i(1)j(1)由此可由直接刚度法组集整体刚度矩阵 4.72543.0543.00002.360543.0007.70000007.70543.0000543.0000543.0000543.00004.72543.002.36543.00

26、000543.000543.00543.000543.000000007.70007.762.30543.062.3543.008.144543.0543.0007.70543.0543.00543.007543.70543.00543.00007.7543.0007543.710005)2(33)2(31)1(22)1(21)2(13)1(12)2(11)1(11kkkkkkkkK现代设计方法第13章 杆系结构40重庆大学机械工程学院yx200cm100cm100cm8103N6N/cm21123i(2)j(2)i(1)j(1)4）等效结点载荷计算单元局部坐标与整体坐标方向相同，单元受均布载

27、荷，由表13-1直接得整体坐标下的结点载荷向量NqlQQ600220062)1(2)1(1cmNqlM422)1(110212200612cmNMM4)1(1)1(2102因无轴向载荷，故 0)1(2)1(1 NN单元受集中载荷，由表13-1得NFQQQ4000210823)2(1)2(3cmNlllldcFMQ522322)2(3102)2/)(2/(108cmNMM5)2(3)2(11020)2(2)2(1 NN同理 现代设计方法第13章 杆系结构41重庆大学机械工程学院yx200cm100cm100cm8103N6N/cm21123i(2)j(2)i(1)j(1)利用（13-37），将单

28、元的等效结点载荷转换到整体坐标下 200000040002000004000200000400002000040000100000001000010000000100000001000010)2()2(RTR由此可得结点1上的载荷向量为 180000600400020000004000200006000)2(1)1(11RRR 现代设计方法第13章 杆系结构42重庆大学机械工程学院yx200cm100cm100cm8103N6N/cm21123i(2)j(2)i(1)j(1)51115108.160040008.1443.543.543.5407543.703.54007543.710vu解方程得2331111024.1108.1107.4cmcmvu现代设计方法第13章 杆系结构43重庆大学机械工程学院在整体刚度矩阵中划去对应的第4、5、6、7、8、9行和列，得整体平衡方程式为5）引入约束条件，求解方程约束条件为0333222vuvu