现代设计方法课件-第2章-优化设计的数学基础.ppt
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- 现代 设计 方法 课件 优化 数学 基础
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1、第2章 优化设计的数学基础2.1 目标函数的泰勒表达式现代设计方法第2章 优化设计的数学基础2重庆大学机械工程学院 当目标函数为一元函数时当目标函数为一元函数时,由泰勒公式知:若函数 在含有 点的某个开区间 内具有直到 阶导数,则当 在 内时,可以表示为 的一个 次多项式与一个余项 的和:()f x0 x(,)a b)1(nx(,)a b()f x0()xxn()nRx 在实际计算中忽略二阶以上的高阶微量,只取前三项,则目标函数可近似表达为或 2000001()()()()()()2f xf xfxxxfxxx200000()00()()()()()()1!2!()()!nnnfxfxf xf
2、 xxxxxfxxxRn20001()()()()()()2f xf xf xfxxfxx 3重庆大学机械工程学院现代设计方法第2章 优化设计的数学基础 当目标函数为多元函数时当目标函数为多元函数时,在满足一定条件下,目标函数 在点 附近也可以展开成泰勒多项式,一般只取前三项,其形式与一元函数展开式的前三项相似,即 (2-1)此式称为函数 的泰勒二次近似式。其中,是由函数在点 的所有二阶偏导数组成的矩阵,称为函数 在点 的二阶偏导数矩阵或海赛(Hessian)矩阵,经常记作 。二阶偏导数矩阵的组成形式如下:(2-2)()f X)(kX()()()()2()()()()()1 ()2kkTkkT
3、kkf Xf Xf XXXXXf XXX()f X2()()kf X(0)X()f X()kX()()kH X2()2()2()211212()2()2()()2()221222()2()2()212()()()()()()()()()()()kkknkkkkknkkknnnf Xf Xf Xxx xx xf Xf Xf XH Xf Xx xxx xf Xf Xf Xx xx xx 4重庆大学机械工程学院现代设计方法第2章 优化设计的数学基础 例2-1 用泰勒表达式展开的方法将函数 在点 简化成二次函数。解:分别求函数在点 的函数值、梯度和海赛矩阵122213231933)(xxxxxXf(1
4、)1,1TX(1)X(1)2(1)112122112(1)12111(1)22()30369()336660120()066001111f Xxxf Xxxxf XxxxXXxx 5重庆大学机械工程学院现代设计方法第2章 优化设计的数学基础 求展开式的二次项 代入式(2-1)得简化的二次函数 将 代入简化所得的二次函数中,其函数值也等于-3,与原函数在点 的值相等。(1)2(1)(1)1212121 ()2112011 16(1)0012TXXf XXXxxxxx(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2212112()()()1 ()2 366(1)6123TTf Xf Xf XXXXXf X
5、XXxxxxx(1)1,1TX(1)X6重庆大学机械工程学院现代设计方法第2章 优化设计的数学基础 2.2 函数的方向导数和梯度 我们需要研究寻找极值点的途径,即研究在设计空间中沿什么方向才能迅速地越过不同的等值线达到等值线族的中点极值点。显然,函数值下降最大的方向才是向极值点逼近最快的方向。为此,首先应研究函数的变化率。2.2.1方向导数方向导数 由多元函数的微分学知,对于一个连续可微多元函数 ,在某一点 的一阶偏导数为 (2-4)简记为 (2-5)()f X()kX()()()12()()(),kkknf Xf Xf Xxxx()(),1,2,kif Xinx7重庆大学机械工程学院现代设计
6、方法第2章 优化设计的数学基础 它即是该函数 在 点沿各坐标轴 这些特定方向的变化率。现在以二元函数 为例,求其沿任一方向 S 的函数变化率,设 S 与两坐标轴之间的夹角分别为 ,如图2-1所示。该二元函数 在点 沿任意方向S的变化率可用函数在该点的方向导数表示,记作 2-1 函数的变化率ox1x2x1x212SX(k+1)X(k)()f X()kX(1,2,)ix in12(,)f x x12,a a12(,)f x x()kX12()()()0()()()()1122120()()()()11221221010()()()lim(,)(,)lim(,)(,)lim kkkSkkkkSkkk
7、kxxf Xf XSf XSSf xx xxf xxSf xx xxf xxxxxS ()()()()1221222()()1212(,)(,)()()coscoskkkkkkf xxxf xxxxSf Xf Xxx(2-6)8重庆大学机械工程学院现代设计方法第2章 优化设计的数学基础 同理,可以推导出多元函数 在 点沿方向 S 的方向导数为 式中 为函数 对坐标轴 的偏导数;为 S 方向的方向余弦。式(2-7)表明,在同一点,函数沿不同的方向的方向导数值是不等的,亦即函数沿不同的方向上有不同的变化率。我们把函数在某点沿某给定方向的变化率称为函数在该点沿此方向的方向导数,其值为正,表明函数在该
8、点沿此方向增加;为负,则减小。()f X()kX()()()()1212()1()()()()coscoscos()coskkkknnkniiif Xf Xf Xf XSxxxf Xx(2-7))()/kif Xx()f Xixcos/iixS 9重庆大学机械工程学院现代设计方法第2章 优化设计的数学基础2.2.2 梯度梯度将代数式(2-6)写成矩阵形式,则有令 (2-8)则方向导数 可用矢量的内积形式表示如下:(2-9)由(2-9)知:方向导数等于梯度在该方向的投影 ()()()1212()()1212()()()coscoscos()()coskkkkkf Xf Xf XSxxf Xf X
9、xx()11()()22()cos(),cos()kkkf Xxf XSf Xx)()kf XScos)()()()()()(SXfSXfSXfKTKK1S 10重庆大学机械工程学院现代设计方法第2章 优化设计的数学基础 梯度的概念可以推广到多元函数中去,对于 n 元函数 ,梯度可记为 它是一个向量,沿此方向函数的变化率最大,亦即梯度 的方向是函数 的最速上升方向,负梯度 则为函数 的最速下降方向。分析式(2-9)中的取值对方向导数 影响,可知,在设计空间中,凡是与梯度方向成锐角的方向函数值都增加;凡是与梯度方向成钝角的方向函数值都减小;梯度 的方向为函数 f(X)过 X(k)点的等值线(或等
10、值面)的外法线方向。()f X12()()()(),Tnf Xf Xf Xf Xxxx(2-12)()f X()f X()f X()f X)()/kf XS()f X图2-2 梯度方向与等值线的关系 图2-3 方向导数与等值面的关系ox1x2变化率为零的方向下降方向上升方向最速上升方向X(k)f(x(k)f(x(k)-最速下降方向f(k)f(X)=011重庆大学机械工程学院现代设计方法第2章 优化设计的数学基础 例2-2 求函数 在点 处函数变化率最大的方向和数值。解:由于函数变化率最大的方向是梯度方向,这里用单位向量 表示,函数变化率最大的数值是梯度的模 。则由梯度的定义式可求得2212()
11、(2)(1)f Xxx(1)0 0TXp(1)()f X242242)()()()1()1(2121)1(XXxxxXfxXfXf(1)()f X22(1)2212()()()422 5f Xf Xf Xxx(1)(1)42()1121()2 55f Xpf Xp的模为该梯度的单位向量 为重庆大学机械工程学院12现代设计方法第2章 优化设计的数学基础 2.3 无约束优化问题的极值条件 无约束优化问题求解的实质是求解目标函数 在 维空间 中的极值点和极值。对于任何一个单值、连续并可微的一元函数 ,在点 取得极值的必要条件是函数在该点的一阶导数为零,充分条件是对应的二阶导数不为零,即 当 时,则函
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