山东省2020年高三3月全省第3次联合考试 数学试题（附答案+全解全析）.docx

1、数学 第 1 页（共 12 页） 山东省 2020 年高三 3 月全省第 3 次联合考试 数 学 （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1已知集合 |20Axx ， |ln(1)BxyxZ ，则AB A 1,2 B( 1,2 C0,1,2 D 1,0,1,2 2设复数z满足|i| |i|zz ，i为虚数单位，且z在复平面内对应的点为( , )Z x y，则下列结论一定正确 的是 A1x B1y C0x D0y 3从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数

2、据，整理得到如下频率分布直方图： 根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A171.25cm B172.75cm C173.75cm D175cm 4已知向量 ( 1, ),(2, )ty ab ，其中 2 2 1 2 1 yt t ，则当y最小时，cos,a b A 2 5 5 B 2 5 5 C 5 5 D 5 5 5函数 52sin ( )(,0)(0, ) 33 xx xx f xx 的大致图象为 6已知 x表示不超过 x 的最大整数，数列 n a满足 1 2 2 ( 1) n n an ，则数列 n a的前 60 项的和为 A1830 B1830 C3660 D3

3、660 7长方体ABCDABCD中， ,ABa ADb，AAab，则三个角,AABBADDAA的和为 数学 第 2 页（共 12 页） A30 B45 C60 D90 8已知过点(4,0)M的直线与抛物线 C： 2 4yx交于点, A B，设O为坐标原点，则 | | OAOB AB 的最大值 为 A1 B2 C2 D 2 2 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9已知 a，b，c 是实数，则下列结论正确的是 A“ 22 ab”是“ab”的充分条件 B“ 22

4、 ab”是“ab”的必要条件 C“ 22 acbc”是“ab”的充分条件 D“| | |ab”是“ab”的既不充分也不必要条件 10若函数 2 1 ( )ln| +1 f xx x ，则下列说法正确的是 A函数 ( )f x是偶函数 B函数( )f x在定义域上是单调增函数 C函数 ( )f x在(0,)上单调递减 D不等式(1)(2 )f xfx 的解集为 1 ( 1,0)(0, ) 3 11将函数 2 2 ( )6sin cos2cos 2 f xxxx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 ，纵坐标不变，得 到函数 ( )g x的图象则下列说法正确的是 A函数 ( )g x的图象关于

5、点 (,0) 3 成中心对称 B函数 ( )g x在( ,) 上有 8 个极值点 C函数 ( )g x在区间 , 24 上的最大值为 2，最小值为 2 2 D函数 ( )g x在区间 (0,) 12 上单调递增 12在如图所示的平面多边形中，四边形ABCD是边长为2的正方形，外侧 4 个三角形均为正三角形若 沿正方形的 4 条边将三角形折起，使顶点 1234 ,S S S S重合为S点，得到四棱锥SABCD ，则 数学 第 3 页（共 12 页） A此四棱锥的外接球的直径为3 B此四棱锥的外接球的表面积为3 C此四棱锥的外接球的体积为 4 3 D此四棱锥的高为 1 三、填空题：本题共 4 小题

6、，每小题 5 分，共 20 分. 13 35 (2 ) ()xyxy的展开式中 35 x y的系数为_. 14已知双曲线E： 2 2 2 1(0) x ya a 的左、右焦点分别为 12 ,F F，M在E的右支上，若 12 , 4 3 FMF， 则 12 MF MF的最大值为_. 15若存在直线 l 与函数 1 ( )(0)f xx x 及 2 ( )g xxa的图象都相切，则实数a的最小值为_ 16某中学某天有 6 节课，其中上午 4 节，下午 2 节，若要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理 这 6 节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同的排法种数是_，数学排 第一节

7、课的概率是_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本小题满分 10 分） 已知数列 n a 满足 11 2(2) nn nn aa n aa ，且 12 aa ， 3 1 5 a ， 125 ,a a a成等比数列 （1）求数列 n a 的通项公式； （2）记数列 1 n a 的前 n 项和为 n S， +1nnnn ba aS ，求数列 n b 的前 n 项和 n T 18（本小题满分 12 分） 已知四边形 ABCD 中，ABAD， 6 BDC，2AD ，4DC . （1）若 5 cos 3 ABD，求 BD，BC； （2）若CADC

8、 ，求sinCBD. 19（本小题满分 12 分） 如图所示，正方形 ABCD 所在平面与梯形 ABMN 所在平面垂直，MBAN，2NAAB，4BM ， 2 3CN . 数学 第 4 页（共 12 页） （1）证明：平面DMN平面BCN； （2）求二面角CMND的余弦值. 20（本小题满分 12 分） 为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士” 活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取 100 名学生，统计了他们的竞赛成 绩，已知这 100 名学生的竞赛成绩均在50,100内，并得到频数分布表（如下）. 分数段 50，60

9、) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 人数 10 30 30 24 6 （1）将竞赛成绩在70,100内定义为“合格”，竞赛成绩在50,70)内定义为“不合格”请将下面的 22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一 新生”有关？ 合格 不合格 合计 高一新生 24 非高一新生 12 合计 （2）根据（1）的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取 3 人，记被抽取 的 3 人中“不合格”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望 ()E X. 附参考公式及临界值表： 2 2 () ,

10、()()()() n adbc K ab cd ac bd 其中nabcd. 2 0 ()P Kk 0.100 0.050 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 21（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，过椭圆 C 的左、右焦点 12 ,F F分别作倾斜角为 3 的 直线 12 ,l l， 12 ,l l之间的距离为3. 数学 第 5 页（共 12 页） （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，求点 12 ,F F到直线 l 的距离之积. 22（本

11、小题满分 12 分） 已知函数( )cos(1)(1ln )f xxxx. （1）设( )( )g xfx，求证： 1 ( )g x x ； （2）讨论( )f x的单调性. 数学 第 6 页（共 12 页） 答案与全解全析答案与全解全析 （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D C B A D D C CD AD BCD CD 1 C 【解析】 因为 |20 |2Axxx x ， |ln(1)|1Bxyxxx ZZ ， 所以 0,1,2AB . 故选 C 2D 【解析】因为满足| i| |i|zz 的点Z为复平面内到点(0,1

12、)和(0, 1) 的距离相等的点的集合，所以 ( , )Z x y的轨迹为x轴，其方程为0y .故选 D 3C 【解析】由题可得0.005 2 0.020 20.040(1) 10a ，解得0.010a ， 则(0.005 0.0100.020) 100.35 ，0.350.040 100.750.5， 所以这部分男生的身高的中位数的估计值为 0.50.35 17010173.75(cm) 100.040 ，故选 C 4 B 【解析】 222 222 111 2(1)32 (1)31 111 yttt ttt ， 当且仅当 2 2 1 1 1 t t ， 即0t 时取等号，y取得最小值为1.此

13、时， ( 1,0),(2, 1) ab ， 则 22 5 cos, | |515 a b a b ab .故选 B 5A 【解析】因为 5()2sin()52sin ()( ) 3333 xxxx xxxx fxf x ，所以函数 ( )f x是偶函数，排除 B、D， 又 5 ( )0 33 f ，排除 C，故选 A 6D 【解析】当43nk或42nk时， 1 2 ( 1)1 n ；当41nk或4nk时， 1 2 ( 1)1 n ，所以 4342kk aa 2222 414 (43)(42)(41)(4 )3212 kk aakkkkk ，所以数列 n a的前 60 项和 60 S 32123

14、2 1512 153660 2 .故选 D 7 D 【解析】 如图， 连接BD， 因为,ABa ADb，AAab， 所以 222 ()ABaab， 222 ()ADbab， 222 BDab，结合余弦定理得 222222222 2222 ()()() cos 2 2()() ABADBDaabbabab BAD AB AD aabbab 22 11 1()1() ba abab coscosBAADAA又因为tantan1 ab BAADAA abab sinsin coscos BAADAA BAADAA ，所以sin()coscoscosBAADAABAADAABAD ，所以BAD 90D

15、AABAA，故选 D 数学 第 7 页（共 12 页） 8C 【解析】设 1122 (,),(,)A x yB xy，直线 AB 的方程为4xmy，与 2 4yx联立得 2 4160ymy，则 12 4yym， 12 16y y ，所以 2 12121212 (4)(4)(1)4 ()1616(1OA OBmymyy ymy ym yy 22 ) 16160mm，所以OAOB，则 222 |OAOBAB,所以 22 |2(| )OAOBOAOB 2 |AB（当且仅当| |OAOB时等号成立） ，所以 | | OAOB AB 的最大值为2.故选 C 9CD 【解析】A，举反例，取4,1ab可知

16、A 错误；B，举反例，取1,2ab可知 B 错误；而 C， D 显然正确故选 CD 10 AD 【解析】 首先， 函数 ( )f x的定义域为 |0x x ， 关于原点对称， 因为 2 1 ()ln|( ) ()1 fxxf x x ， 所以函数 ( )f x为偶函数，故 A 正确；当0x 时， 2 1 ( )ln +1 f xx x ，由复合函数的单调性可知，函数 ( )f x单调递增，由偶函数的图象关于y轴对称，可知当0x 时，函数 ( )f x单调递减，故 B 错误，C 错误；由函数 ( )f x是偶函数及其单调性，得(1)(2 )f xfx 等价于| 1| |2 |xx ，即 22 (

17、1)(2 )xx，结 合定义域解得 1 10,0 3 xx 或，故 D 正确故选 AD 11BCD 【解析】 2 261cos22 ( )6sin cos2cossin222sin(2) 22226 x f xxxxxx ，将 函数 ( )f x图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 ， 纵坐标不变， 得函数 ( )2sin(4) 6 g xx的图象 对 于选项 A， 4 ( )2sin()2 336 g ，故函数( )g x的图象不关于点 (,0) 3 成中心对称，A 错误；对 于选项B， 由 ( ,)x 得 23 25 4(,) 666 x ， 结合函数图象可得函数( )g x在( ,)

18、上有8个极值点， B 正确；对于选项 C，由 24 x ，得 115 4 666 x ，则 2 ( )2 2 g x，所以函数 ( )g x的 最大值为 2，最小值为 2 2 ，C 正确；对于选项 D，由 242 262 kxkk Z，解得 , 62122 kk xk Z，取0k ，得 612 x ，故函数( )g x在 (0,) 12 上单调递增，D 正确故 选 BCD 12 CD 【解析】 如图所示， 连接,AC BD， 设ACBDH， 连接SH， 根据题意可得SH 平面ABCD 设 O为四棱锥SABCD的外接球的球心，则O在SH上连接OC，设此四棱锥的外接球的半径为R， 数学 第 8 页

19、（共 12 页） 则OSOCR因为正方形ABCD的边长为 2，所以 1CH ， 2SC ，1SH ，所以,H O重合， 即四棱锥的高1SH ，四棱锥的外接球的半径1R ，直径为 2，所以四棱锥的外接球的表面积 2 44SR，体积 3 44 33 VR故选 CD 1311 【解析】 35 (2 ) ()xyxy的展开式中含 35 x y的项为 30323222323 3535 C(2 ) C()C(2 ) C()xyxyxyxy 124403050535 3535 C(2 )C()C(2 ) C()11xyxyxyxyx y， 所以 35 (2 ) ()xyxy的展开式中 35 x y的系数为1

20、1 142 22 【解析】设1 2 |,|MFm MFn， 12 FMF ，则 222 42coscmnmn.又 2mna，即 222 24mnmna，解得 2 1cos mn ，所以 1212 2cos | | coscos 1cos MF MFMFMFmn 2 1 1 cos ， 因为 , 4 3 ， 所以 12 cos 22 ， 1 22 cos ， 1 2111 cos ， 则 2 2 1 1 c o s 2 2 22 21 ，所以 12 MF MF的最大值为2 22 15 3 3 2 2 【解析】设直线 l 与函数 ( )f x及( )g x的图象分别相切于 1 ( ,)(0)A m

21、m m ， 2 ( ,)B n na， 因为 2 1 ( )fx x ， 所以函数 ( )f x的图象在点A处的切线方程为 2 11 ()yxm mm ， 即 2 12 yx mm ， 因为 ( )2g xx ， 所以函数 ( )g x的图象在点B处的切线方程为 2 2 ()ynan xn， 即 2 2yn x na， 因为存在直线 l 与函数 ( )f x及( )g x的图象都相切，所以 2 2 1 2 2 n m na m ，所以 4 12 4 a mm ， 令 1 (0)tt m ，设 4 1 ( )2 (0) 4 h ttt t ，则 3 ( )2h tt， 当 3 2t 时， ( )

22、0h t ，函数 ( )h t单调递减；当 3 20t 时， ( )0h t ，函数 ( )h t单调递增， 所以 3 3 min 3 2 ( )(2) 2 h th ，所以实数a的最小值为 3 3 2 2 16408， 5 17 【解析】如果上午第一节课排数学，则语文、英语、信息技术、体育、地理可任意排在其余 5 节课，故有 5 5 A种排法；如果上午第一节课不排数学，则可排语文、英语、信息技术、地理中的任何 数学 第 9 页（共 12 页） 一门，有 1 4 C种排法，数学应该排在上午第二节、第三节或第四节，有 1 3 C种排法，余下的四门课程可任 意排列， 有 4 4 A种排法， 故上午

23、第一节课不排数学共有 114 434 CCA种排法， 综上， 有 5114 5434 A4CCA08 种不同的排法数学排第一节课的概率 5 5 A5 40817 P 故答案为 408， 5 17 17 （本小题满分 10 分） 【解析】 （1）因为 11 2(2) nn nn aa n aa ，所以 0 n a ，所以 11 112 nnn aaa ， 所以数列 1 n a 是等差数列，设数列 1 n a 的公差为d，由 12 aa 可得0d ， （2 分） 因为 125 ,a a a成等比数列，所以 2 1 52 aaa，所以 2 152 111 aaa ，所以 2 333 111 (2 )

24、(2 )()ddd aaa ， 因为 3 1 5 a ，所以 2 (52 )(52 )(5)ddd， （4 分） 解得0d （舍去）或2d ，所以 3 11 (3)21 n ndn aa ，所以 1 21 n a n （5 分） （2）由（1）知 1 21 n a n ， 2 (121) 2 n nn Sn ， 所以 2 +1 111111 () (21)(21)44(21)(21)48 2121 nnnn n ba aS nnnnnn ， 所以 2 1111111111 (1)(1) 483352121482142 n nn Tnn nnnn （10 分） 18（本小题满分 12 分） 【解

25、析】 （1）在RtABD中，由 5 cos 3 ABD，得 2 2 sin1cos 3 ABDABD， 所以3 sin AD BD ABD .（3 分） 在BCD中， 由余弦定理得 22222 3 2cos342 3 425 12 3 2 BCBDCDBD CDBDC ， 所以2512 3BC .（6 分） （2）设CBDx，由CADC ， 6 BDC可得 5 6 Cx， 6 ABDx， 在RtABD中，因为2AD ，所以 2 sin sin() 6 AD BD ABD x ， （8 分） 在BCD中，由正弦定理得 sinsin BDCD CCBD ，即 4 5 sin sin() 6 BD

26、x x ， 所以 24 5 sin sin()sin() 66 x xx ，整理得 2 4sin2sin10xx .（10 分） 由sin0x 得 15 sin 4 x ，所以 15 sin 4 CBD .（12 分） 数学 第 10 页（共 12 页） 19（本小题满分 12 分） 【解析】（1） 因为正方形ABCD 所在平面与梯形 ABMN所在平面垂直，BCAB， 所以BC 平面 ABMN， 因为MN 平面 ABMN，BN 平面 ABMN，所以BCMN，BCBN， 由2,2 3BCCN，得 22 2 2BNCNBC，由2NAAB，可得ABAN， （3 分） 在直角梯形 ABMN 中, 可得

27、2 2MN ， 由4BM ，2 2BNMN，可得 222 BNMNBM，所以BNMN， 因为BCBNB，所以MN 平面BCN， 因为MN 平面 DMN，所以平面DMN平面BCN.（6 分） （2）如图，以 B 为坐标原点，,BA BM BC所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 B-xyz， 则(0,0,0), (0,0,2),(2,0,2)BCD,(0,4,0),(2,2,0)MN,(2, 2,0)MN ,(2,2, 2)CN ,(0,2, 2)DN , 设 111 (,)x y zn是平面 CMN 的法向量，则 0 0 MN CN n n ，即 11 111 220 2220 x

28、y xyz ， 取 1 1x ，得(1,1,2)n.（8 分） 设 222 (,)xyzm是平面 DMN 的法向量，则 0 0 MN DN m m ，即 22 22 220 220 xy yz ， 取 2 1z ，得(1,1,1)m， （10 分） 设二面角CMND的平面角为，则 222222 1 1 1 12 12 2 cos |3 112111 n m n m ， 由图可知二面角CMND的余弦值为 2 2 3 .（12 分） 20（本小题满分 12 分） 【解析】 （1）补充完整的22列联表如下： 数学 第 11 页（共 12 页） 合格 不合格 合计 高一新生 24 28 52 非高一新

29、生 36 12 48 合计 60 40 100 （3 分） 则 2 K的观测值 22 ()100(24 122836) 8.6546.635 ()()()()604048 52 n adbc k ab cdac bd 因此有99%的把握认为“法律知识的竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关（6 分） （2）根据（1）的数据分析，可得随机抽取一人成绩“不合格”的概率为 402 1005 .（7 分） 根据题意得 2 (3, ) 5 X B，X的所有可能取值为 0，1，2，3， 003 3 2327 (0)C( )( ) 55125 P X ， 112 3 2354 (1)C( )( ) 55

30、125 P X ， 221 3 2336 (2)C( )( ) 55125 P X ， 330 3 238 (3)C( )( ) 55125 P X .（10 分） 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 （11 分） 所以X的数学期望 2 ()31.2 5 E X .（12 分） 21（本小题满分 12 分） 【解析】 （1）设 22 cab，由 12 ,l l之间的距离为3，得 2 sin3 3 c，所以1c， （2 分） 由椭圆 C 的离心率为 1 2 ，得 1 2 c a ，所以2a ， 22 3bac， 所以椭圆 C 的标准方程

31、为 22 1 43 xy .（5 分） （2）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为2x ，点 12 ,F F到直线 l 的距离之积为 3； （6 分） 当直线 l 的斜率存在时，设其方程为ykxm， 联立ykxm及 22 1 43 xy ，消去y得 222 (34)84120kxkmxm， （8 分） 因为直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，所以 22222 (8)4(34)(412)48(43)0kmkmmk， 所以 22 43mk. 点 1( 1,0) F 到直线 l：ykxm的距离 1 2 | 1 km d k ， 数学 第 12 页（共 12 页） 点 2(1,0) F到直

32、线 l：ykxm的距离 2 2 | 1 km d k ， 所以 2222 12 22 |43| 3 11 mkkk d d kk ， （11 分） 综上可得，若直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，则点 12 ,F F到直线 l 的距离之积为 3.（12 分） 22（本小题满分 12 分） 【解析】 （1）因为( )cos(1)(1ln )f xxxx，所以( )( )sin(1)ln (0)g xfxxx x ， （1 分） 设 1 ( )ln(0)h xxx x ，则 22 111 ( ) x h x xxx ， 当(0,1)x时，( )0h x，( )h x是增函数；当(1,)x时，(

33、)0h x，( )h x是减函数, 所以( )(1)1h xh ，即 1 ln1x x ，所以 1 ln1x x ，当1x 时取等号.（4 分） 因为sin(1)1x，所以 1 ( )sin(1)ln1lng xxxx x ，等号不同时成立， 所以 1 ( )g x x .（6 分） （2）因为( )sin(1)lng xxx ，所以 1 ( )cos(1)g xx x ， 当(0,1x时， 1 cos(1)0,0x x ，( )0g x， 所以( )g x在(0,1上是减函数，当(0,1x时( )(1)0g xg， 即(0,1x时( )0fx，所以( )f x在(0,1上是增函数； （8 分） (1,1)x时，1(0,)x ，所以sin(1)0, ln0xx，所以( )0g x ， 当1,)x时,sin(1)1, ln1xx ，所以( )0g x ， 所以当(1,)x时( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x在(1,)上是减函数， 综上，可得( )f x在(0,1上是增函数，在(1,)上是减函数.（12 分）