第6章数理统计学中的基本概念学习培训模板课件.ppt
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1、数理统计学中的基本概念数理统计学中的基本概念 衡量点估计好坏的标准衡量点估计好坏的标准 数理统计学中的常用数理统计学中的常用 点估计法点估计法 数据分布特征数据分布特征品质数据的分类整理:数量数据分组:组距分组:单变量分组:条形图、饼图直方图、折线图I.组数:II.组距:2lgn lg1 K组数minmax排序计数6.0 频率与直方图分组的原则:穷尽原则,互斥原则例:某商店连续40天的商品销售额(单位:万元)如下:根据上面的数据进行适当分组,编制频数分布表,并画出直方图。41 25 29 47 38 34 30 38 43 40 46 36 45 37 37 36 45 43 33 44 42
2、 28 46 34 30 37 44 26 38 44 42 36 37 37 49 39 42 32 36 35按销售额分组(万元)按销售额分组(万元)频数频数频率频率%25-3025-3030-3530-3535-4035-4040-4540-4545-5045-504 46 615159 96 610.010.015.015.037.537.522.522.515.015.0合计合计4040100.0100.0数据分布特征的测度1、分布的集中趋势:1)众数:出现频率最高的值,用记之。算法(1)例 1,2,4,4,5,6则1,2,3,3,4,5,6,6,7 则0M40M6300MorM算法
3、(2)dffffffLM)()(1110其中 L为众数组的下限值,d为众数组的组距,f为众数组的频数,分别为众数前,后一组的频数11,ff2)中位数:中间位置的数,用记之。算法(1)例 1,2,3,4,5,6,7则1,2,3,4,5,6则eM4eM5.3243eM算法(2)LdfSMmmNe 12mf其中 L为中位数所在组的下限值;d为中位数所在组的组距。为中位数所在组以前各组的累计频数;为中位数所在组的频数;1mS3)均值:1)简单平均2)加权平均3)调和平均4)加权调和平均5)几何平均NXXNii1,1NiiiXfX11NiifNiXMiNH11NiXmNiiMiimH11NNMXXXG2
4、1其中例考分506060707080809090100人数 4 7 11 12 8.X,eM求,0M解:0M80)812()1112(11121082 eM704 221 11 01 1 79.1 X554(65775118512)95842/095.78众数、中位数、均值的比较对称分布左偏分布右偏分布XMMe00MMXeXMMe02、分布的离散程度:(1)(2)平均离差NXXMNiiD1样本方差22111NiinXXN(3)样本标准差2111NiinXXN(4)极差iiXXminmax例:求1,2,3,4,5的均值,方差。2222221 2 3 4 53,5(1 3)(2 3)(3 3)(4
5、 3)(5 3)5 12.5X 解:数理统计学的任务数理统计学的任务 观察现象,收集资料,创建方法,分析推断。统计推断统计推断 伴随着一定概率的推测。其特点是:由“部分”推断“整体”。总体总体 研究对象的全体(整体)X。个体个体 每一个研究对象。有限总体有限总体无限总体无限总体1.基本概念基本概念 样本样本 由部分个体构成的集合。第第6.16.1节节 数理统计学中的基本概念数理统计学中的基本概念(X1,X2,Xn 样本容量样本容量 样本中所含个体的数目n.)注注 样本观测值(x1,x2,xn)。简单随机样本:简单随机样本:独立、同分布性。注意注意:样本是一组独立同总体分布的随机变量样本是一组独
6、立同总体分布的随机变量.例如例如 检验一批灯泡的质量,从中选择100只,则总体总体 这批灯泡(有限总体)个体个体 这批灯泡中的每一只 样本样本 抽取的100只灯泡(简单随机样本)样本容量样本容量 100样本值样本值 x1,x2,x100显然,可以选择“样本的函数”:n1iiXn1X作为灯泡质量的一个衡量指标.总体总体选择个体选择个体样本样本观测样本观测样本样本观察值样本观察值(数据数据)数据处理数据处理样本有关结论样本有关结论推断总体性质推断总体性质 统计统计量量这样的“不含未知未知参数的样本的函数”称为统计量统计量。统计量的分布成为抽样分布抽样分布.统计的一般步骤统计的一般步骤(2)样本均值
7、(4)修正样本方差(5)修正样本标准差(3)样本k阶中心矩n1iiXn1Xn1i2i2)XX(1n1Sn1i2i)XX(1n1S),2,1()(11iXXnBnikik(1)样本k阶原点矩),2,1(11iXnAnikik注注21212)(XnXXXniinii常用统计量常用统计量 未知,则(2456)不是统计量。是来自总体 例例1.1.设nXXX,21),(2N,的s.r.s,其中n2122221n1i2Xn1n1i2in1n1i2in1n1iin1.XXX62X5X)(4)X(X3)(X2X1i 统计统计量量标准一标准一:无偏性 设 为的一个点估计,若 则称 为的一个无偏估计无偏估计.,)
8、(E注意注意 无偏估计若存在,则可能不唯一.衡量估计量好坏的标准衡量估计量好坏的标准:标准三标准三:相合性(一致性)设统计量 是未知参数 的点估计量,样本容量为n,若对任意 则称 为 的相合估计相合估计,又称一致估计一致估计.1limpn,0)0lim(pn或标准二标准二:有效性 设 和 是 的两个无偏估计,若 称 比 更有效有效2)()(21DD112例:例:设X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本,EX=,DX=2,验证下列的估计量哪个更有效.32133212211X31X32X21,X31X31X31,X21X21解解X21X21EE21165EX65EX31EX32EX21E321
9、3,EXEX31EX31EX31E321221EX21EX21=EX=X21X21DD21121DX41DX41=DX/2=2/2同理,3/DX91DX91DX91D23212所以21,为无偏估计量,DD212更有效.例例:验证:是总体X方差的一个无偏估计;不是方差的无偏估计.n1i2i2)XX(1n1SniiXXnB122)(1解解)X(nE)X(E1n1ES2n1i2i2n1i2i)XX(n1i2i2i)XXX2X(2n1iin1i2iXnXX2X2n1i2iXnX)X(E1nnEX1nn22)XE(XD)EX(DX1nn22XDDX1nnnDXDX1nn=DX所以,S2为DX的无偏估计量
10、.ES2=DX,122SnnB故221ESnnEBDXn1n 所以,不是DX的无偏估计量.2B1.矩估计法矩估计法 将总体的各阶原点矩用相应阶的样本原点矩替代,布列方程或方程组,所得到的解,作为总体未知参数的点估计的方法.例例 设总体 ,为取自该总体的样本,求未知参数 的矩估计量.),0(UXnXXX,21解解XEX2X2所以参数 的矩估计量为X2点估计法点估计法(2)2222EEXEXEX 无偏估计例例 设总体的概率密度函数为 为取自该总体的样本.其它,00,)(6)(3xxxxfnXXX,21求(1)未知参数 的矩估计量 ;(2).(D解解 (1)306()2xxXEXxdx X2所以参数
11、 的矩估计量为X2XDXDD4)2()2()(4422EXEXnnDXnn5)2(2064222例例:设总体XU(a,b),X1,X2,Xn为取自该总体的样本,求a,b的矩估计量.解解 因为12)(,22abDXbaEX所以令2211,()niiiEXX DXBXEXn 得方程组222()12abXbaB 解得223,3aXBbXB(1)似然函数似然函数(样本的联合密度函数样本的联合密度函数)设总体X为连续型,Xf(x;1,2,m),i为待估参数(i=1,2,m),X1,X2,Xn为来自该总体的样本,则Xif(xi;1,2,m),(i=1,2,m)(X1,X2,Xn)的联合密度函数为nimim
12、nxfxxxL1212121),.,;(),.,;,.,(似然函数似然函数)2 2 最大似然估计法最大似然估计法例例 XE(),即0 x00 xe);x(fXx则0 x00 xe);x(fXiixiiin1iin21),x(f);x,.,x,x(L其它,00,.,0,0,211nnixxxxei11ln1lnln,0nniiiidLnL nXXdX 得得 设总体X为离散型离散型,P(X=x)=P(x;1,2,m),i为待估参数(i=1,2,m),X1,X2,Xn为来自该总体的s.r.s,则P(Xi=xi)=P(xi;1,2,m),(i=1,2,m)(X1,X2,Xn)的联合概率函数为n1im2
13、1im21n21),.,;x(P),.,;x,.,x,x(L(似然函数似然函数)例例 XP(),即ekkXPk!)(e!x)xX(Pxn1iin21),x(P);x,.,x,x(Le!x);x(Pixiin1iixe!xi1211ln()lnln(!),ln0.nininiiLxx xxnxdLnXd 得得(2)基本思想基本思想:最大似然估计就是通过样本值 来求得总体的分布参数,使得 取值为 的概率最大.nXX,1nxx,1nxx,1 若似然函数 在 取到最大值,则称 分别为 的 最大似然估计.),.,;x,.,x,x(Lm21n21m21,.,m21,.,m21,.,最大似然估计最大似然估计
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