杨辉三角与二项式系数的性质学习培训课件.ppt

1、1.3.2 “杨辉三角杨辉三角”与二项式系数的性质与二项式系数的性质第一章计数原理第一章计数原理11栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理学习导航学习导航学习目标学习目标重点难点重点难点重点重点:二项式系数的性质及其应用二项式系数的性质及其应用.难点难点:杨辉三角的基本性质的探索和发现杨辉三角的基本性质的探索和发现.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理等距离等距离增大增大减小减小2n栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理想一想想一想:二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗?提示提示:不是不是.二项式系数表中第一行是两个数二项

2、式系数表中第一行是两个数,而杨辉三角的第一行而杨辉三角的第一行只有一个数只有一个数.做一做做一做在在(ab)n展开式中展开式中,只有第只有第5项的二项式系数最大项的二项式系数最大,则则n_;若第若第2项与第项与第16项的二项式系数相等项的二项式系数相等,则则n_.答案答案:816栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理题型一与杨辉三角有关的问题题型一与杨辉三角有关的问题 如图所示如图所示,在杨辉三角中在杨辉三角中,斜线斜线AB上方箭头所示的数组成一个上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,记这个数列的前记这个数列的前n项和为项和为Sn,求求S19.栏

3、目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理【名师点评名师点评】解决与解决与“杨辉三角杨辉三角”有有关问题的一般方法是关问题的一般方法是:观察观察-分析分析试验试验猜想猜想结论结论证明证明,要得出杨辉三角中的要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律数字的诸多排列规律,依靠观察能力依靠观察能力,注注意观察方法意观察方法:横看横看,竖看竖看,斜看斜看,连续看连续看,隔隔行看行看,从多角度观察从多角度观察.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理变式训练变式训练1.如图如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第第_行中行中从左到右第从左到右第14与第与第15个数的比为个

4、数的比为2 3.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理答案答案:34栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理题型二求展开式的系数和题型二求展开式的系数和 设设(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.求求:(1)a1a2a3a4a5的值的值;(2)a1a3a5的值的值;(3)|a1|a2|a3|a4|a5|的值的值.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理【名师点评名师点评】“赋值法赋值法”是解决二项展开式中项的系数是解决二项展开式中项的系数常用的方法常用的方法,根据题目要求根据题目要求,灵活赋给字母不同值灵活赋给字母不同值.一般地一般地,要使展要使展开式中项的关系

5、变为系数的关系开式中项的关系变为系数的关系,令令x0可得常数项可得常数项,令令x1可可得所有项系数之和得所有项系数之和,令令x1可得偶次项系数之和与奇次项系数可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差之和的差.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理变式训练变式训练 2.设设(3x1)8a8x8a7x7a1xa0,求求:(1)a8a7a1的值的值;(2)a8a6a4a2a0的值的值.解解:(1)令令x1,得得(31)8a8a7a1a028256,令令x0,得得(1)8a0,a01.所以所以a8a7a1256a02561255.(2)令令x1,得得(31)8a8a7a1a04865536,所以所

6、以,可得可得2(a8a6a4a2a0)2566553665792,所以所以 a8a6a4a2a032896.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理【点拨点拨】二项式定理是解决二项展开式的项与系数的问题二项式定理是解决二项展开式的项与系数的问题,应明确应明确:项的系数项的系数;项的系数的绝对值项的系数的绝对值;二项式系数这三个不同的概念二项式系数这三个不同的概念.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理【名师点评名师点评】求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的不同的,需根据各项系数的正、负变

7、化情况需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用解不等式一般采用解不等式(组组)的方法求解的方法求解.一般地一般地,如果第如果第r1项的系数最大项的系数最大,则与之相邻两项则与之相邻两项(第第r项项,第第r2项项)的系数均不大于第的系数均不大于第r1项的系数项的系数,由此列不等式组可确由此列不等式组可确定定r的范围的范围,再依据再依据rN*来确定来确定r的值的值,即可求出最大项即可求出最大项.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理变式训练变式训练 3.已知已知(13x)n的展开式中的展开式中,末三项的二项式系数的和等末三项的二项式系数的和等于于121,求展开式中系数最大的项求展开式中系数最

8、大的项.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理 1.若若(1x)6(12x)5a0a1xa2x2a11x11.求求:(1)a1a2a3a11;(2)a0a2a4a10.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理方法技巧方法技巧1.由由“杨辉三角杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质可直观地看出二项式系数的性质,同时当二项式乘同时当二项式乘方次数不大时方次数不大时,可借助于它直接写出各项的二项式系数可借助于它直接写出各项的二项式系数.2.如果二项式的幂指数是

9、偶数如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大中间一项的二项式系数最大;如果如果二项式的幂指数是奇数二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大中间两项的二项式系数相等并且最大.失误防范失误防范1.区分开二项式系数与项的系数区分开二项式系数与项的系数.2.求解有关系数最大时的不等式组时求解有关系数最大时的不等式组时,注意其中注意其中r0,1,2,n的的范围范围栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理失误防范失误防范1.区分开二项式系数与项的系数区分开二项式系数与项的系数.2.求解有关系数最大时的不等式组时求解有关系数最大时的不等式组时,注意其注意其中中r0,1,2,n的范围的范围.