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1、20091激光原理20092方形球面镜共焦腔的行波场 LzyxizwyxyzwHxzwHzwwEAzyxEnmmnmn,exp)(exp)(2)(2)(,22200共焦腔场的解析式：共焦腔场的解析式：共焦腔的腔长：共焦腔的腔长 ：镜的焦距：镜的焦距 2/Lf 知道了腔镜面上的场分布之后，利用菲涅耳知道了腔镜面上的场分布之后，利用菲涅耳基尔霍夫衍射积分可以求基尔霍夫衍射积分可以求出共焦腔内或腔外任意一点的场分布，在镜面上的场能用厄米出共焦腔内或腔外任意一点的场分布，在镜面上的场能用厄米高斯函高斯函数描述的条件下：数描述的条件下：20093方形球面镜共焦腔的行波场 11arctanyxr2/Lfz

2、Lz2)2/L(z)2)(1nm(f2r1k)1(kfz,y,xfz1wfz12w12Lzw222022202s0220094方形镜共焦腔的行波场1 ：振幅衰减因子)(0zww2 ：行波场横向振幅分布因子)(exp)(2)(222zwryzwHxzwHnm3 ：位相因子，决定了共焦腔的位相分布zyxi,expTEMmnTEMmn模在腔内或腔外任意点模在腔内或腔外任意点(x,y,z)(x,y,z)处的电场强度：处的电场强度：zyxizwyxyzwHxzwHzwwEAzyxEnmmnmn,exp)(exp)(2)(2)(,22200)2)(1(21)1(,22nmfrkkfzyx2009湖北工大理

3、学院5振幅分布和光斑尺寸 共焦场的振幅分布为：共焦场的振幅分布为：)(exp)(2)(2)(,22200zwyxyzwHxzwHzwwEAzyxEnmmnmn zwyxzwwEAzyxE222000000exp,对基模：对基模：2020112fzwfzwzws基模光斑尺寸基模光斑尺寸(场振幅衰减到中心最大值的场振幅衰减到中心最大值的1/e1/e处对应的横向距离处对应的横向距离)：Lwfwzws0在共焦镜面上：在共焦镜面上：fww00基模高斯光束的束腰半径基模高斯光束的束腰半径 ：2009湖北工大理学院6振幅分布和光斑尺寸 122202fzwzw002wws共焦腔中，基模光斑随着坐标按双共焦腔中

4、，基模光斑随着坐标按双曲线规律变化：曲线规律变化：2009湖北工大理学院7模体积模体积2)12)(12(21222LnmwwLVnsmsmn高阶模模体积通常用下式估算：220002121LwLVs基模模体积通常用下式估算：模体积模体积是指模式在腔内空间扩展的范围。模体积越大，对该模有贡献的激发态粒子数就越多，因而，也就可能获得大的功率输出。由于实际上光频电磁场是存在于无限大的范围之内，但是又由于它的能量的绝大部分分布于中心附近，所以一般定义模体积是指光斑半径以内的那部分体积。对于基模，由于其光斑尺寸随z变化，比较严格的计算应该进行积分运算，但是通常用下式估算：2009湖北工大理学院8模体积一般

5、稳定球面腔的基模模体积可定义为：一般稳定球面腔的基模模体积可定义为：22100)2(21sswwLV代入 ：21ssww、对于一般稳定球面腔，对于一般稳定球面腔，TEMmn模体积可：模体积可：)12)(12(00nmVVmn21221000212212000141)12(141)12(21ggggggVggggggwLVs2009湖北工大理学院9等相位面的分布 旋转抛物面方程L1L1zz2200220忽略附加相移因子，忽略附加相移因子，在近轴情况下，在近轴情况下，z0z0点的等相位面方程为：点的等相位面方程为：020020/z2f2zL41f抛物面焦距：抛物面焦距：可以证明，在近轴情况下，共焦

6、场的在z处的等相位面近似为球面，其曲率半径为：020020/zfzL21f2)z(R0,0,0,zzyx与腔的轴线交于与腔的轴线交于z0z0点的等相位面方程可以写成：点的等相位面方程可以写成：2009湖北工大理学院10等相位面的分布共焦腔的反射镜面是共焦腔的反射镜面是两个等相位面两个等相位面，与场，与场的两个等相位面重合的两个等相位面重合，且曲率半径最小，且曲率半径最小一般情况下，共焦腔一般情况下，共焦腔的等相面凹面向着腔的等相面凹面向着腔的中心的球面的中心的球面 腔中点或距腔中点无限腔中点或距腔中点无限远处，等相面为平面远处，等相面为平面)z(R0)z(R0当 时，当 时，0zzLzR)(0

7、当 时，fz0)(2220zRyxzz当 时，0z0)(zR当 时，0)(zR0z00z00 zz0)(0zR00z00 zz0)(0zR2009湖北工大理学院11等相位面的分布共焦腔等相位面的一个重要的性质：共焦腔等相位面的一个重要的性质：若在等相位面处放置一个具有相应曲率的反射镜片，若在等相位面处放置一个具有相应曲率的反射镜片，不影响共焦腔的场分布。不影响共焦腔的场分布。共焦场等相面的分布共焦场等相面的分布 2009湖北工大理学院12远场发散角 m638.0radf3103.22例：例：某共焦腔氦氖激光器，L=30cm,某共焦腔二氧化碳激光器，L=1m,m6.10rad3102.5 fwz

8、fzwzzwzz22)(12lim2lim020基模远场发散角：双曲线两根渐近线之间的夹角：基模远场发散角：双曲线两根渐近线之间的夹角：一般激光器的远场发散角都很小，约为一般激光器的远场发散角都很小，约为10103 3弧度，也就是表弧度，也就是表明激光具有很好的方向性。明激光具有很好的方向性。2009湖北工大理学院13远场发散角不同的腰半径的激光光束的远场发散角对比图2009湖北工大理学院14远场发散角高阶横模的光束发散角高阶横模的光束发散角 和和 可以通过基模的光可以通过基模的光斑和发散角求出来：斑和发散角求出来：mn0n0m1n21m2为基模光束的发散角02009湖北工大理学院15圆形球面

9、镜共焦腔自再现模积分方程),(r：为镜面上的极坐标，为镜面上的极坐标，)(xLlp：缔合拉盖尔多项式缔合拉盖尔多项式1)(0 xLlxlLl1)(1)2)(1(21)2(21)(22llxxLl在近轴范围内，当时，圆形镜共焦腔积分方程的本征在近轴范围内，当时，圆形镜共焦腔积分方程的本征函数的近似解：函数的近似解：NllrLrLLrLCrElplplplsincos)exp()2()2(),(222009湖北工大理学院16圆形镜对称共焦腔镜面光场分布2)12(explpiikLpl本征值的近似解：本征值的近似解：镜面上对基模及高阶模的场振幅分布：镜面上对基模及高阶模的场振幅分布：2s02wr00

10、00ec),r(Ecosrew2c),r(E2s02wrs010102s02wrs020101e)wr21(c),r(Ecose)wr1(rw22c),r(E2s02wr2s02s01111Lws02009湖北工大理学院17圆形镜对称共焦腔镜面模的振幅和相位分布 基模在镜面上的振幅分布是高斯型的，基模在镜面上的振幅分布是高斯型的，整个镜面上没有节线在镜面中心处（整个镜面上没有节线在镜面中心处（r=0）处，振幅最大。处，振幅最大。基模在镜面上的光斑半径基模在镜面上的光斑半径(当基模振当基模振幅下降到中心值的幅下降到中心值的1/e处与镜面中心处与镜面中心的距离的距离)：Lws02s02wr0000

11、ec),r(E2009湖北工大理学院18圆形镜对称共焦腔镜面模的振幅和相位分布对于高阶模，在沿辐角方向有节线，数目为对于高阶模，在沿辐角方向有节线，数目为p；沿半；沿半径方向有节圆，节圆数为径方向有节圆，节圆数为l；p、l增加，模的光斑半径增大，增加，模的光斑半径增大，并且光斑半径随着并且光斑半径随着l的增大比随着的增大比随着 p增大来的更快；增大来的更快；plTEM圆形共焦镜面本身也是等相位面圆形共焦镜面本身也是等相位面。高阶模的光斑半径：振幅降低至最外面的极大值的高阶模的光斑半径：振幅降低至最外面的极大值的1/e处处的点与镜面中心的距离；的点与镜面中心的距离；),r(Epl为实函数spll

12、p02122009湖北工大理学院19圆形镜共焦腔横截面场强度分布圆形镜共焦腔横截面场强度分布-2-1012x-2-1012y00.20.40.60.81-2-1012yTEM002009湖北工大理学院20-2-1012x-2-1012y00.20.40.60.81-2-1012yTEM02圆形镜共焦腔横截面场强度分布圆形镜共焦腔横截面场强度分布2009湖北工大理学院21圆形镜共焦腔横截面场强度分布圆形镜共焦腔横截面场强度分布 -2-1012x-2-1012y00.20.40.60.81-2-1012yTEM012009湖北工大理学院22单程相移和谐振频率单程相移和谐振频率 12212lpqLC

13、plq圆形镜共焦腔模的谐振频率为圆形镜共焦腔模的谐振频率为 :LCqplqlqpp4211LCqplqqpll21LCplqplqq212)12(21arg2kLlpplpl自再现模在腔内一次渡越的总相移为自再现模在腔内一次渡越的总相移为 :2009湖北工大理学院23知道了腔镜面上的场分布之后，利用菲涅耳知道了腔镜面上的场分布之后，利用菲涅耳基尔基尔霍夫衍射积分可以求出共焦腔内或腔外任意一点的霍夫衍射积分可以求出共焦腔内或腔外任意一点的场分布。场分布。圆形球面镜共焦腔的行波场圆形球面镜共焦腔的行波场圆形镜共焦腔的行波场分布与方形镜完全类似，圆形镜共焦腔的行波场分布与方形镜完全类似，对圆形镜共焦

14、腔的行波场特性的分析可以按照方对圆形镜共焦腔的行波场特性的分析可以按照方形镜同样的方法进行。两者的基模光束的振幅分形镜同样的方法进行。两者的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散布、光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散角都完全相同。角都完全相同。2009湖北工大理学院24一般稳定球面镜腔一般稳定球面镜腔一般球面镜腔：一般球面镜腔：由两个曲率半径不同的球面镜按照任意间距组成的腔由两个曲率半径不同的球面镜按照任意间距组成的腔一般稳定球面镜腔：一般稳定球面镜腔：当它们满足条件当它们满足条件 时。时。一般稳定球面镜腔的模式理论：一般稳定球面镜腔的模式理论：可以从光腔的衍射积分方程

15、出发严格建立，以共焦腔可以从光腔的衍射积分方程出发严格建立，以共焦腔的模式理论为基础，等价共焦腔的方法的模式理论为基础，等价共焦腔的方法1021gg2009湖北工大理学院25一般稳定球面腔与共焦腔的等价性一般稳定球面腔与共焦腔的等价性 共焦腔与稳定球面腔的等价性 根据共焦腔模式理论：任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价；而任根据共焦腔模式理论：任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价；而任何一个稳定球面镜腔唯一地等价于一个共焦腔。何一个稳定球面镜腔唯一地等价于一个共焦腔。一般稳定球面腔与共焦腔的等价性一般稳定球面腔与共焦腔的等价性:指它们具有相同的行波场指它们具有相同的行波场 2009湖北工大

16、理学院26任一共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价任一共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价 根据曲率半径根据曲率半径R R的符号规定：曲面凸向的符号规定：曲面凸向z z轴正向为正，放置在轴正向为正，放置在c1c1、c2c2处的反处的反射镜，由共焦腔中与腔的轴线相交于任意一点射镜，由共焦腔中与腔的轴线相交于任意一点z z的等相位面的曲率半径，的等相位面的曲率半径，则有：则有：122222212111,)(,)(zzLzfzzRRzfzzRR221212111fzzzfRLg222212221fzzzfRLg1021gg对腔进行稳定性判断：对腔进行稳定性判断：即放置在即放置在c1、c2处的反射镜构成稳定腔处的

17、反射镜构成稳定腔2009湖北工大理学院27任一稳定的球面腔唯一地等价于某一共焦腔任一稳定的球面腔唯一地等价于某一共焦腔1222221211,zzLzfzRzfzR稳定球面腔和它的等价共焦腔需要确定共焦腔的焦距及共焦腔的中心位置。需要确定共焦腔的焦距及共焦腔的中心位置。以共焦腔的中心以共焦腔的中心o o点为坐标原点，则同样有点为坐标原点，则同样有 ：假设实际稳定腔的参数为假设实际稳定腔的参数为 ，其对应的共焦腔已知。，其对应的共焦腔已知。LRR,212009湖北工大理学院28任一稳定的球面腔唯一地等价于某一共焦腔任一稳定的球面腔唯一地等价于某一共焦腔由上述方程联立可以求解：由上述方程联立可以求解

18、：2212121221122121222RRLLRRLRLRLfRRLLRLzRRLLRLz可以证明，当可以证明，当 满足稳定腔条件时，有满足稳定腔条件时，有LRR,2100;0212zzf有了上述的等价性，对于任意的稳定球面腔，我们可以通有了上述的等价性，对于任意的稳定球面腔，我们可以通过研究与其对应的共焦腔的特征模来研究它的模的性质。过研究与其对应的共焦腔的特征模来研究它的模的性质。2009湖北工大理学院29一般稳定球面腔镜面上基模的光斑尺寸一般稳定球面腔镜面上基模的光斑尺寸将求得的焦距将求得的焦距f代入上式可以得到一般稳定球腔（代入上式可以得到一般稳定球腔（）行波场的基模光斑尺寸的分布，

19、从而得到镜面行波场的基模光斑尺寸的分布，从而得到镜面1和镜面和镜面2上的上的光斑半径以及束腰光斑半径和全角发散角，也可以用腔的光斑半径以及束腰光斑半径和全角发散角，也可以用腔的g参参数表示：数表示：LRR,21 2020112fzwfzwzws共焦腔中基模的光斑尺寸：共焦腔中基模的光斑尺寸：2009湖北工大理学院30镜面上基模的光斑尺寸镜面上基模的光斑尺寸4122121210)2()()(LRRLRRLRLRLw412112211)()(LRRLRLLRRLw412121222)()(LRRLRLLRRLw4121121)1(ggggLw4121212)1(ggggLw412121221/1)

20、()()2(222LRRLRLRLLRRe412212121210)2()1(ggggggggLw41212122121/1)1()2(222ggggggggLe2009湖北工大理学院31谐振频率谐振频率 )arctan2)(1(2(2zfzfnmkfRzkzmn方形镜共焦镜的相位函数：方形镜共焦镜的相位函数：qzzzyxmnmnmn2,0,0,0,0 2,212将将f f、z1z1、z2z2代入上式，并由谐振条件：代入上式，并由谐振条件：21arccos112ggnmqLCmnq对于方形一般稳定球面腔，可以得到对于方形一般稳定球面腔，可以得到TEMTEMmnqmnq谐振频率：谐振频率：200

21、9湖北工大理学院32谐振频率谐振频率对于圆形孔径一般稳定球面腔，可以得到对于圆形孔径一般稳定球面腔，可以得到TEMplq谐振频率：谐振频率：21arccos1212gglpqLCplq2009湖北工大理学院33衍射损耗衍射损耗Lws0LaN2202swaN镜面基模光斑半径稳定球面腔的镜面线度202siiefwaN对于稳定球面腔，定义等效菲涅耳数：对于稳定球面腔，定义等效菲涅耳数：共焦腔的模式理论证明：每种横模的单程衍射损耗单值共焦腔的模式理论证明：每种横模的单程衍射损耗单值地由腔的菲涅耳数决定：地由腔的菲涅耳数决定：2009湖北工大理学院34衍射损耗衍射损耗)1()()(21212122121

22、1211ggggLaLRRLRRLRLLaNef)1()()(211222122212222ggggLaLRRLRRLRLLaNef由等效菲涅耳数，按共焦腔衍射损耗曲线查出镜面上的由等效菲涅耳数，按共焦腔衍射损耗曲线查出镜面上的损耗因子损耗因子 ，则平均单程损耗为：，则平均单程损耗为：21mnmn、)(2121mnmnmn稳定球面腔的两个镜面的等效菲涅耳数分别为：稳定球面腔的两个镜面的等效菲涅耳数分别为：2009湖北工大理学院35衍射损耗衍射损耗10TEM00TEM图图2-7-2给出了圆形反射镜稳定腔的给出了圆形反射镜稳定腔的 单程衍射损耗单程衍射损耗1 模式的损耗随菲涅耳数模式的损耗随菲涅耳

23、数N值的增大而急剧减小；值的增大而急剧减小；2 方形镜共焦腔损耗圆形镜共焦腔损耗平面腔损方形镜共焦腔损耗圆形镜共焦腔损耗平面腔损耗平面波损耗；耗平面波损耗；3 基模的损耗基模的损耗高阶模的损耗，模阶次越高，损耗越大；高阶模的损耗，模阶次越高，损耗越大；2009湖北工大理学院36mRmR1,5.121cmL802009湖北工大理学院3722111,1RLgRLgmRmR1,5.121cmL80252121gg1021gg59,15721gg2009湖北工大理学院3821,zz1222221211)()(zzLzfzRzfzRmfmzmz5.05.031.121mfL122009湖北工大理学院392009湖北工大理学院40mfzwzwmfzwzw424220242421011035.5)5.05.0(11078.3)(1)(106.10)5.031.1(11078.3)(1)(mfw401078.3200941作业