集合运算基本预备知识学习培训模板课件.ppt

1、 1.0 基本预备知识基本预备知识v教学目标：教学目标：使学生进一步了解集合的运算，集合的映射和相关概念，了解数环数域的相关概念，为后续学习提供必备的基本知识，温故知新，实现承上启下的目的。v重点：重点：集合的各种运算及集合的映射（象与原象，单射，满射，双射）的概念。v难点：难点：集合概念的反面叙述和单射满射的证明技巧。(一一)集合的运算，集合的映射主要概念。集合的运算，集合的映射主要概念。（表示任意的）（表示存在）（表示由此推出）（表示当且仅当）先介绍几个符号：v定义 设A,B是两个集合，a是集合A的元素，记作aA。反面叙述：a不是集合A的元素，记作 aA。（可举例说明）A是B的子集可表示为

2、：AB（对一切:x xAxB）反面叙述：如果A不是B的子集,因此,A不是B的子集A中至少有一个元素不属于B,即 AB就记作 AB,xAxB（存在一个元素但）()AB（对一切:x xAxB）由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A与B的并集(简称并),记作 AB根据定义有：()xABxAxB或反面叙述：xAB()xAxB且（可举例说明）由A与B的公共元素所成的集合叫做A与B的交集(简称交),记作,AB显然，,ABA.ABB根据定义有：()xABxAxB且反面叙述：xAB()xAxB或v请同学们抓住特征，注意“交”与“并”的定义，正反两方面的叙述，特别注意逻辑语言“或”与“且”的正反两方面的表

3、述，进一步巩固中学已学过的内容。同时注意上述概念可以推广到n个集合上去。v另外还需要了解下面的两个概念：由一切属于A但不属于B的元素所组成的集合叫做A与B的差集，记作：AB，根据定义有：,ABx xAxB但(,)a ba(,),A Bab a Ab B 由一切元素对所成的集合，其中取自A，b取自B）叫作A与B的笛卡尔积（简称积）根据定义有v定义定义 设A，B是两个非空集合，A到B的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则对于集合A中的每一个元素x有集合B中一个唯一确定的元素y与它对应。常用记号:f AB表示f是A到B的一个映射。用元素表示为:fxy(,)xA yB如果(),f xyB则y称为x

4、在f下的像，称x为y在f下的原像。A的所有元素在f下的像构成的B的子集，称为A在f下的像，记作().f A即()()f Af x xA注意(),f AB那么就称f是A到B上的一个映射，也称f是一个满射。根据定义有：:fAB是满射 对,yBxA 使得()f xy如果对于A中任意两个元素 1x2,x12xx就有 12()(),f xf x则称f是A到B的一个单射。只要和注意：证明中常用到单射的逆否命题：f是 AB的单射 对 12,x xA由 12()()f xf x12xx如果f既是单射又是满射，则称f为双射，或一一映射，此时f存在逆映射1:fBA用 Aj和 Bj表示A和B的恒等映射，则有：,AB

5、fjf jfff是双射 等价于11,ABffjffj（二）（二）数环和数域数环和数域v提出问题引入新课：整数集，有理数集，通过加减乘除四则运算还仍然是整数有理数吗？v通过提问总结规律引入数环数域的定义定义1 设S是复数集C的一个非空子集如果对于S中任意两个数,a b来说，,ab ab ab那么就称S是一个数环（加、减、乘运算封闭）都在S内，显然上述问题中的整数集，有理数集都是数环。注意抓住共性：S是非空数集 加、减、乘运算封闭例1 验证,Sna nZ a是一取定整数是一个数环（略）例2 验证2,1 Sa bi a b Z i是一个数环。定义2 设F是一个数环，如果（i）F含有一个不等于零的数；

6、（ii）如果,a b F且0,b 则称F是一个数域。注意：数域的三个特性：（1）F必是数环；（2）F中存在非零元素；（3）除法（分母不为零时）封闭。例3 验证 2Fa ba b Q 是一个数域，本例中注意20cd20cd定理1 任何数域都包含有理数域。证明：设F是一个数域，由条件（i）可知，aF且 0a 于是 0,a aF 1,aFa而对于,m Z 有 1 11mmF 个进而对,0mmmm nZFFnnn QF 证毕。第一章 行列式 v一、教学目标：v1掌握排列、反序、反序数、对换等概念，理解一个对换变排列的奇偶性；v2理解行列式的定义，掌握行列式的性质，并会计算行列式；v3掌握余子式和代数余

7、子式的定义，掌握行列式依行（列）展开定理的证明及应用，进而总结出行列式的计算方法；v4掌握Vandermonde行列式的计算及应用；v5理解Cramer规则及应用。二、重点：排列、反序数、奇排列、偶排列、行列式的定义，余子式和代数余子式，克莱姆法则；三、难点：n阶行列式的定义，先列式的计算技巧；四、课时：16学时。11 线性方程组和行列式线性方程组和行列式mnmnmnnbxaxabxaxa1111111nxx 1定义1形如：(1)其中：是未知量，),2,1;,2,1(njmiaij是未知量系数，mbb 1是常数，称（1）为线性说明：方程组（1）的未知量个数与方程个数不一定相等。方程组。定义2

8、线性方程组（1）的一个解指的是这样一组数)(1nkk，用它依次代替（1）中的未知量 nxx 1后，（1）的每个方程都是恒等式。关于线性方程组的我们主要讨论以下几个问题：1判定一个方程组是否有解？2在有解的情况下，确定解的个数，并求出一切解来。12 排列定义1 由1、2、3、n个数码组成一 个有序数组称为一个n阶排列。如：2431 是1、2、3、4这四个数码组成的一个四阶排列。45321是 1、2、3、4、5这五个数码组成的一个五阶排列。说明：n个数码的不同排列共有n!个。1、2、3、4n是n个数码的一个n阶排列，称为自然顺序排列。定义2 在一个排列 njj 1中，如果前面的数大 于后面的数，那

9、么它们就称为一个反序。一个排列中出现的反序数之和称为这个排列的 反序数，记为：)(1njj 定义3 反序数为偶数的排列称为偶排列，反序 数为奇数的排列称为奇排列。定义4 把一个排列中的两个数i与j的位量互换，而 其余的不动，就得到另一个排列，这样的一个 变换称为一个对换；记为：。)(ij定理1 对换改变排列的奇偶性。定理2 任一个n阶排列都可以经过一系列对换变成1、2、3n，反过来也可行。说明：由定理得出：与设nii 1njj 1是两个n阶排列，则它们可以经过一系列对换互变。事实上，nnjjnii1221123 定理定理nnjjii11一系列对换定理3 2n时，n个数码的奇排列与偶排列各半，即

10、都为 2!n个。证明：设n个数码的奇排列共有p个，偶排列 对p个奇排列施行同一个对换，ij)(由定理1就得到p个偶排列。于是 共有q个。qp q个偶排列施行同一个对换。ij)(则得到q个奇排列，又由于奇排列的 总数为p，pq。nqp2!定义 1.在一个n阶行列式D中，任意划去K行K列，位于这些行和列交界的元素按原来的排法构成一个K阶行列式，叫做D的一个K阶子式44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 如划去二、三两行和一、四列，则相交处得到一个二阶子式34312421aaaaM nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211中

11、划去元素aij所在的行和列,剩下的n-1阶行列式称为元素aij的余子式,记为MijnnnjnjnnijijiinijijaiinjjijaaaaaaaaaaaaaaaaM111,11,11,11,1,11,11,1,11111111即如在四阶行列式中,余子式是44424134323114121123aaaaaaaaaMijaijMji)1(ijAijjiijMA)1(ija定理1.若在一个n阶行列式nnnjninijinjaaaaaaaaaD111111 中第 行（或第 列）的元素除 外都是零，那么这个行列式等于 与 的乘积，即j jijijaijaijAijijAaD 11annnnnaaa

12、aaaaD21222211100nnnnaaaaaMaAaD2222111111111111)1(要证nninjjnjjjjjaaaD12121)()1(是 的一个排列，当 时，故这一项为零 只能是1，于是 是 的一个排列，njj 1n,2,1nji,3,201ijanjj 1n,3,2nninjjnjjjjjaaaD12121)()1(111111111111112)(11211)()1()1()1(221221AaMaMaaaaaaannnnnnjjnjjjjnjjjjjj1j(2)一般情形:设nnnjnjnjninijijijinjjjaaaaaaaaaaaaaaaD1111111111

13、1111想办法把它变成另一种情形；首先把第i行依次与第i-1行、i-2行、2行、1行交换，这样经过了i-1次交换的步骤，就把D的第i换到了第一行的位置上了。然后再把第j列依次与第j-1、j-2、2、1列交换，一共经过了j-1次交换两列的步骤，aij就被换到了第一行第一列的位置上了，这时的D变为D1：nnnjnjnnjnijijiijinijijiijinjjjijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1111111111111111111111111110000、D1=D1是由D经过i-1次行变换和j-1次列变换而得到的。故 D=(-1)(i-1)+(j-1)D1=(-1)i+jD1又由（

14、1）ijijnnjnjnnnijijiinijijiinjjijMaaaaaaaaaaaaaaaaaaD111111111111111111111111、ijijijjiijijijjiAaMaMaD)1()1(定理2 行列式D等于它的任一行（列）的所有ininiiiiAaAaAaD2211njnjjjjjAaAaAaD2211（i=1、2、n）（1）（j=1、2、n）（2）元素与它们的对应代数余子式的乘积的和。即：说明：任一个n阶行列式都可由n个n-1阶行列式表出。即任一个n阶行列式可以降为n-1阶行列式来计算。不过定理的主要实质是：如果行列 式的某一行（列）有一部分是零，则用此定理 去计算

15、就显得简单了。例4 计算四阶行列式 3112513420111533D解：第三行有一个零，由第4列2加到第一列，第4列 1加到第三列上去，得：711271176113114131113 141000155050055036155(6 14)5(8)40141D 例5 计算n阶行列式 1232110000010000010000001nnnnnxxxxaaaaax a 解：01000000010001)1(100000010000010000011124321xxaaxaaaaaxxxxxnnnnnnn这里第一个n-1阶行列式和 n有相同的形式，记为 1n则：111111nnnnnnnxaxa

16、而 121212nnnxaxa 因此有：nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxaaxxaxaaxxaxaxxaxaxaaxxax12211122331232122121)()(11112121111()nnnnnnnnnx ax axx aa xax axaxax a 说明：此例是把行列式的计算归纳为形式相似的阶数较低的行列式来计算。这种递推的证明 方法比较常用。例6：计算行列式：1212112111nnnnnnaaaDaaa此行列式叫范德蒙行列式。解：()1n行乘 1a第1a2n1a加到第n行上去，第行乘()加到第1n行上去，第二行乘()加到第1a)加到第三行上去。三行上去。第一行乘

17、()倍。1a地加到第一行的(即由下而上依次得到：211221122221111100()()0()()nnnnnnnnaaaaDa aaa aaaaaaaa23222213112322223111()()()nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa2131122133112222213311()()()()()()nnnnnnnnaaaaaaa aaa aaa aaaaaaaaaaa=最后的因子是1n阶范德蒙行列式，213111()()()nnnDaaaaaa D记为：1nD。则：。1324222()()()nnnDaaaaaa D同样2nD2n是一个阶范德蒙行列式，如此下去，如此下去，即

18、：213111()()()nnnDaa aaaa D21311324222()()()()()()nnnaa aaaa aa aaaa D=1()ijn i ja a=2113221()()()()()nnnnaaaa aaaaaa=21132243333()()()()()()()nnnnnaaaa aaaa aaaaaa D=说明：1naan范德蒙行列式等于这个数的所有可能的差。)1)(jinaaji的乘积。中至少有两个相等。10nDaa由得：)(jiaaD)1(221111212111nnnnnnnnbxaxaxabxaxaxa则由则由(1)(1)的系数组成的一个的系数组成的一个n n阶行列式阶行列式:nnnnaaaaD1111叫这个方程组的行列式。叫这个方程组的行列式。定理 2.(克莱姆Ciumes法则)一个含有n个未知方程 的线性方程组(1)当它的行列式D0时,有 仅有一个解:)2(2211DDxDDxDDxnn 其中D1是把D的第j列元素换以方程组的常数项b1bn 而得到的n阶行列式nnnnnjabaabaD11111例：解方程组：067496385243214214321xxxxxxxxxxx,276741212060311512D即方程组有唯一解0 D27,27,108,814321DDDD又12727,12727,427108,327814321xxxx