2020年3月福建省高三理科数学下册毕业班质量检查理数测试卷（含答案和解析）.pdf

1、 理科数学答题分析 第 1 页（共 24 页） 2020 年福建省高三毕业班质量检查测试年福建省高三毕业班质量检查测试 理科数学答题分析理科数学答题分析 1已知集合1Ax x,(4)(2) 0Bx xx，则()=AB R A21xx B14xx C21xx D4x x 【答案答案】C 【考查意图考查意图】本小题以集合为载体，考查一元二次不等式求解，集合的并集、补集运算等 基础知识；考查运算求解能力；考查数学运算核心素养；体现基础性 【答题分析【答题分析】只要掌握一元二次不等式的解法，先求出集合B，再利用补集、并集的含义 便可求解；也可利用特殊值排除错误选项解决问题 解法一：因为=24Bx xx

2、或 ，所以=21ABx xx或 ， 故()=21ABxx R ，故选 C 解法二：特殊值法，取2x ，排除 A，D；取2x ，排除 B，故选 C 【错因分析错因分析】 选择 A 答案，求AB出现错误，得到21ABx xx 或； 选择 B 答案，集合B误解为2xx 4，且审题不清，误求为AB； 选择 D 答案，AB误为AB 【难度属性难度属性】属于容易题 2等差数列 n a的前n项和为 n S，若 4 4a ， 13 104S ，则 10= a A10 B12 C16 D20 【答案答案】B 【考查意图考查意图】本小题考查等差数列通项公式及其性质，前n项和等基础知识；考查运算求 解能力；考查函数

3、与方程思想；考查数学运算核心素养；体现基础性 【答题分析【答题分析】只要掌握等差数列通项公式及其前n项和公式，并直接利用“基本量法”求 解；或者利用等差数列的性质及其前n项和公式解决问题 解法一：因为 131 13 12 13104 2 Sad ， 41 34aad，解得 1 4 0, 3 ad， 所以 101 912aad，故选 B 解法二：因为 410 13 13 104 2 aa S ，又 4 4a ，所以 10 12a，故选 B 解法三：因为 7 13 13 2 104 2 a S ，所以 7=8 a，又 4 a， 7 a， 10 a成等差数列，又 4 4a ，所 以 10 12a，故

4、选 B 理科数学答题分析 第 2 页（共 24 页） 【错因分析错因分析】 选择 A 答案，没有通过规范的运算，误用归纳法得到 n an导致错误； 选择 C 答案，误把等差数列的通项公式记成 1n aand导致错误； 选择 D 答案，运算不认真导致错误 【难度属性难度属性】属于容易题 3设, x y满足约束条件 0, 20, 1 0, xy xy y 则2zxy的最大值是 A0 B3 C 4D5 【答案答案】D. 【考查意图考查意图】本题以线性规划问题为载体，考查可行域及目标函数的最值等基础知识，考 查运算求解能力，考查数形结合思想，考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性 【答题分析【答

5、题分析】先画出可行域，作出目标函数对应的动直线2yxz ，判断出当动直线 2yxz 过点2,1C时，截距z取得最大值；也可以通过直接求出可行域的边界交点， 代入求出目标函数在边界交点的值，通过比较知道点C为最 优解 解法一：易知该可行域是一个以0,0O，1,1B，2,1C为 顶点的三角形区域(包括边界)当动直线2yxz 过点 (2,1)C时，截距z取得最小值5，故选 D 解法二：直接求出三条直线的交点0,0O，1,1B，2,1C， 代入目标函数2zxy，求出相应函数值，并通过比较知道 点C为最优解，故选 D 【错因分析错因分析】 选择 A 答案，审题不清，误认为题目求最小值； 选择 B 答案，

6、对图形特征理解不到位，把取得最大值的点判断成(1,1)B导致出错； 选择 C 答案，把 1,2C 的横纵坐标混淆，代入 2zxy 导致出错 【难度属性难度属性】属于容易题 4. 5 212xx的展开式中， 3 x的系数是 A200 B120 C80 D40 【答案答案】B 【考查意图考查意图】本小题以二项式为载体考查二项展开式的系数及展开式的通项等基础知识， 考查运算求解能力考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性 【答题分析答题分析】把 5 (21)(2)xx变形成 55 2(2)(2)xxx，分别求两部分的 3 x系数，便可 y x y=-2x+z y=1 x-2y=0 x-y=0 O

7、 CB 理科数学答题分析 第 3 页（共 24 页） 得到展开式中 3 x的系数为 3322 55 2C 2C 2120. 【错因分析错因分析】 选择 A 答案，没注意到第二部分的负号，误把两部分的系数相加导致出错； 选择 C 答案，二项展开式公式记错，把 3 x的系数错算成 3323 55 2C2C280； 选择 D 答案，没注意到第一部分的系数，少乘系数 2 导致出错 【难度属性难度属性】属于容易题 5某市为了解居民用水情况，通过抽样得到部分家庭月均用水量 的数据，制出频率分布直方图（如图） 若以频率代替概率，从该 市随机抽取 5 个家庭，则月均用水量在 812 吨的家庭个数X的 数学期望

8、为 A3.6 B3 C1.6 D1.5 【答案答案】B 【考查意图考查意图】本小题以实际问题为载体，考查频率分布直方图、二项分布、数学期望等基 础知识，考查数据处理能力、运算求解能力与应用意识，考查统计与概率思想，考查数学 建模、数据分析等核心素养，体现基础性与应用性 【答题分析答题分析】只要由频率分布直方图获知一个家庭月均用水量在 812 吨的概率，并正确 判断家庭个数X服从二项分布，再利用二项分布的期望公式即可求解；也可先求X的分布 列，再根据数学期望的定义求解 解法一：由频率分布直方图知一个家庭月均用水量在 812 吨的概率为0.6，又 5,0.6XB，故 ()50.63E X 解法二：

9、由频率分布直方图知一个家庭月均用水量在 812 吨的概率为0.6，可得X的分 布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 32 3125 48 625 144 625 216 625 162 625 243 3125 故 48144216162243 123453 6256256256253125 E X 【错因分析错因分析】 选择 A 答案， 审题看图不认真， 812 的区间看成 612 的区间， 从而将频率错算成0.72导 致出错； 选择 C 答案， 审题看图不认真， 812 的区间看成 810 的区间， 从而将频率错算成0.32导 致出错； 选择 D 答案，误以为频率分布直方图的纵坐标是频

10、率，把频率算成0.3导致出错 【难度属性】【难度属性】属于容易题 理科数学答题分析 第 4 页（共 24 页） 6在ABC中，2DCBD，且E为AC的中点，则DE A 21 36 ABAC B 21 36 ABAC C 11 36 ABAC D2 5 36 ABAC 【答案答案】A 【考查意图考查意图】本小题以平面向量为载体考查平面向量的概念、平面向量的线性运算等基础 知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、特殊与一般思想，考查直观想象、数学 运算等核心素养，体现基础性 【答题分析答题分析】只要借助平面图形，根据平面向量加、减法的几何意义，并利用平面向量的 线性运算即可解决问题或者将向量D

11、E分解为,AB AC的表达式，根据对应系数的符号排 除错误选项；或者利用特殊图形建立直角坐标系，通过坐标运算排除错误选项亦可解决问 题 解法一： 11 23 DEAEADACABBC 1121 2336 ACABACABABAC . 解法二： 111121 323236 DEDBBAAECBABACCAABABACABAC . 解法三：如图，作AFDE，以 ,AB AC为基底将AF分解为 AFANAMxAByAC，易知0,0xy，排除 B、C、D 选 项，故选 A 解法四：特殊图形法，令ABC为直角三角形，90C， 2,3ACBC，以C为原点建立直角坐标系如图，则 2,0 ,0,3 ,0,2

12、,1,0ABDE，所以2,3AB ，2,0AC ， 1, 2DE ，易得 21 36 DEABAC ，排除 B、C、D 选项，故选 A 【错因分析错因分析】 选择 B 答案，误把DE AEAD 算成AD AE 导致出错； 选择 C 答案，误把D点取成BC的另外一个三等分点导致出错； 选择 D 答案，误把DE AEAD 算成AE AD 导致出错 【难度属性难度属性】属于容易题 7若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形恰好是菱形，则该双曲线的离心率 的取值范围为 A 1,2 B 1, 3 C 2, D 3, D E C B A 理科数学答题分析 第 5 页（共 24 页） 【答案答案】C

13、【考查意图考查意图】本小题以双曲线为载体，考查双曲线的离心率等基础知识，考查抽象概括能 力、推理论证能力，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等核心素养，体现综合 性 【答题分析答题分析】由对称性知菱形的中心与双曲线的中心重合，根据菱形的两对角线互相垂直， 得到过原点且互相垂直的两条直线与双曲线相交，由此便可得双曲线渐近线与实轴的夹角 大于45，再通过渐近线斜率即可解决问题 解：不妨设双曲线方程为 22 22 10,0 xy ab ab ，则其渐近线与x轴的夹角大于45，即 1 b a ，所以 22 ba，所以 222 caa，所以 22 2ca，解得2e . 【错因分析错因分析】 选择

14、A 答案，没有严格求解不等式，而是先求出渐近线斜率为 1 时的离心率，而后判断离 心率取值范围时不等号方向出错； 选择 B 答案， 常识性知识出错， 将tan45的值误为2； 或渐近线斜率误为 a b 且将tan45的 值误为 2 2 ，且判断离心率取值范围时不等号方向出错； 选择D答案， 常识性知识出错， 将tan45的值误为2、 或者将渐近线斜率误为 a b 且将tan45 的值误为 2 2 ，且判断离心率取值范围时不等号方向出错； 【难度属性难度属性】属于中档题 8某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为 2，高为 3 的实心圆锥体工件切割成一个圆柱 体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面

15、内若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大 体积是 A16 9 B 8 9 C16 27 D 8 27 【答案答案】A 【考查意图考查意图】本小题以圆锥为载体，考查几何体切接、导数与最值、均值不等式等基础知 识，考查空间想象能力，考查函数与方程思想，考查数学建模、数学抽象、直观想象等核 心素养，体现基础性、综合性 【答题分析答题分析】只要以底面半径为变量，由三角形相似可知圆柱体的底面半径和高具有确定 的关系，由此建立圆柱体的体积关于半径的函数关系，再利用导数或均值不等式求最大值 即可解决问题 理科数学答题分析 第 6 页（共 24 页） 解法一：如图，由AEDAOC可得 EDAE = OCAO ，设

16、圆柱体的底 面半径201rxx，可得圆柱体的高33hx，则圆柱体的 体积为 2 23 ( )23312V xxxxx ， 又 2 ( )1223V xxx， 令( )0V x， 解得 2 3 x 或0x （舍去） ， 可得( )V x在 2 0, 3 单调递增，在 2 ,1 3 单调递减，故当 2 3 x 时，圆柱体的最大体积是16 9 . 解法二：同解法一，设圆柱体的底面半径201rxx，则圆柱体的体积为 3 2 2216 ( )1216226 39 xxx V xxxx xx ，当且仅当22xx即 2 3 x 时等号成立，故圆柱体的最大体积是16 9 . 【错因分析错因分析】 选择 B 答

17、案，利用导数或均值不等式求最值时误把最值点算成 1 3 导致出错； 选择 C 答案，圆柱体体积公式记错成圆锥体体积公式，多乘了系数 1 3 导致出错； 选择 D 答案，圆柱体体积公式多乘了系数 1 3 ，且求最值时误把最值点算成 1 3 导致出错 【难度属性难度属性】属于中档题 9已知 f x 是定义在R上的偶函数，其图象关于点 1,0对称以下关于 f x的结论： f x是周期函数； f x满足 4f xfx ； f x在0,2单调递减； cos 2 x f x 是满足条件的一个函数 其中正确结论的个数是 A4 B3 C2 D1 【答案答案】B 【考查意图考查意图】本小题以抽象函数为载体，考查

18、函数周期性、奇偶性、对称性、单调性及三 角函数的图象性质等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力，考查数形结合思想、 特殊与一般思想，考查数学抽象、直观想象等核心素养，体现基础性和综合性 【答题分析答题分析】只要利用偶函数的性质及函数的对称中心，求得函数的一个周期及其图象的 对称轴，即可判断，再通过对满足条件的具体函数的验证即可判断 解： 因为 f x为偶函数， 则 fxf x ， 其图象关于点 1,0对称， 则2fxfx ， 故 2f xf x ， 故有 42f xf xf x ， 即 f x是以 4 为周期的周期函数， E D O C B A 3 3-h h 2x 理科数学答题分析 第

19、7 页（共 24 页） 故正确；可得 4fxf xf x ，把x替换成x可得 4f xfx ，故正确； 满足题设条件， cos 2 x f x 是定义在R上的偶函数，1,0是它的一个对称中心，可得 正确又因为取 cos 2 x f x 时满足题意，但 f x在0,2单调递增，故错误. 【错因分析】【错因分析】对函数性质掌握不足，无法把函数的奇偶性、对称性准确地转化为代数表示， 并加以正确推理， 从而导致或不能正确判断； 直接用中的函数 cos 2 x f x 验证， 导致对的判断错误 【难度属性难度属性】属于中档题 10设抛物线 2 6Eyx：的弦AB过焦点F，3AFBF，过A，B分别作E的准

20、线的垂 线，垂足分别是 A ， B ，则四边形AABB 的面积等于 A4 3 B8 3 C16 3 D32 3 【答案答案】C 【考查意图考查意图】本小题以抛物线为载体，考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、梯 形面积等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合 思想，考查数学运算、直观想象等核心素养，体现综合性 【答题分析答题分析】只要设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，并由3AFBF，通过二次 方程根与系数的关系求出直线AB的方程，并进一步求得AB，两点的坐标，从而算出梯形 的上下底边长及高，即可求得梯形的面积；或者设弦AB与x轴的夹角为，利用抛物线的 焦

21、半径公式表示AFBF，并由3AFBF求得，进而算出梯形的上下底边长及高；或 者把直角梯形分解为矩形和直角三角形，利用抛物线的定义和几何关系算出梯形的上下底 边长及高亦可求得梯形的面积 解法一：设 1122 ,A x yB x y 因为 3 ,0 2 F ，可设直线AB的方程为 3 2 xmy，代入E 的方程， 整理得 2 690ymy，故 1212 6 ,9yym y y 不妨设 12 yy， 因为 3AFBF，故 12 3yy ，解得 12 3 3,3yy ，即 91 ,3 3 ,3 22 AB ， 故 93 6 22 AA ， 13 2 22 BB ， 12 4 3AByy ，故四边形AA

22、BB 面积为 11 624 316 3 22 SAABBA B 理科数学答题分析 第 8 页（共 24 页） 解法二：设弦AB与x轴的夹角为，则有 3 1cos1cos p AF ， 3 1cos1cos p BF ，所以 33 3 1cos1cos ，所以 1 cos 2 ， 不妨设 0, 2 ， 解得60， 故6AAAF ，2BBBF ，sin4 3ABAB ， 故直角梯形AABB 面积为 11 624 316 3 22 SAABBA B 解法三：如图，作BG AA ，垂足为G，设BFm， 则3AFm，由抛物线的定义知3AAm ， AGBBBFm，所以4 ,2ABm AGm， 所以60BA

23、A，即FAA为正三角形， 故=26AAAFp，所以2m ， 故6AA ，2BB ，4 3A B ， 故四边形AABB 面积为 11 624 316 3 22 SAABBA B 解法四：如图，作BG AA ，垂足为G，设BFm， 则3AFm，由抛物线的定义知3AAm ， AGBBBFm，所以4 ,2ABm AGm， 所以 60BAA ，所以 6sin604 3BG ， 则 2 6 8 sin 60 AB ， 故四边形AABB 面积为 11 16 3 22 SAABBABAB BG 【错因分析错因分析】 选择 A 答案，把 2 y错算成 3导致错误； 选择 B 答案，把 2 y错算成 3，且计算四

24、边形面积时漏乘 1 2 导致错误； 选择 D 答案，计算四边形面积时漏乘 1 2 导致错误 【难度属性难度属性】属于中档题 11上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图 1） ，充分展示了我国古代 高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密 切联系. 图 2 为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图 3 图 1 y xO G B F A y xO G B F A 理科数学答题分析 第 9 页（共 24 页） 是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计） ，夏至（或冬至）日光（当日正午太阳 光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角 由

25、历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 23 41 23 57 24 13 24 28 24 44 正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代 公元元年 公元前 2000 年 公元前 4000 年 公元前 6000 年 公元前 8000 年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是 A公元前 2000 年到公元元年 B公元前 4000 年到公元前 2000 年 C公元前 6000 年到公元前 4000 年 D早于公元前 6000 年 【答案答案】D 【考查意图考查意图】本小题以我国传统文化“历律同源”为背景

26、，借助出土文物骨笛的年代估算 设计试题，考查解三角形、两角差的正切公式等基础知识；考查运算求解能力、应用意识； 考查数学抽象、数学建模、数学运算等核心素养；体现综合性和应用性 【答题分析答题分析】只要能从题目中获取有效信息、合理运用图形，构建三角形，计算出夏至（或 冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角的正切值， 再根据表格提供的数据确定相应的年代范围，便可解决问题 解：由题意可画示意图，如右，其中AOBO（BO代表骨笛） ， 得到10.00AO ，9.40BC ，16.00BO ，故求得6.6OC ， 设黄赤交角为，由题意得BACCAD ， 故可得，BAOCAO

27、 ，其中 16 tan1.6 10 BAO； 6.6 tan0.66 10 CAO，所以 tantan tantan 1tantan BAOCAO BAOCAO BAOCAO ， 代入数据得 1.60.660.94 tan0.457 1 1.6 0.662.056 ，对照年代表格，由0.4550.4570.461， 得该骨笛的年代早于公元前 6000 年，故选 D 理科数学答题分析 第 10 页（共 24 页） 【错因分析错因分析】 选择 A 答案，无法理解题意，或无法建立数学模型，或计算错误； 选择 B 答案，无法理解题意，或无法建立数学模型，或计算错误； 选择 C 答案，无法理解题意，或无

28、法建立数学模型，或计算错误 【难度属性难度属性】属于难题 12在满足0 4 ii xy， ii yx ii xy的实数对() ii xy，（1,2, ,i=n）中，使得 121 3 nn xxxx 成立的正整数 n 的最大值为 A5 B6 C7 D9 【答案答案】A 【考查意图考查意图】本小题以不等式为载体，考查对数的运算、函数的单调性，函数图象与方程 的根、解不等式等基础知识；考查抽象概括能力，推理论证能力，创新意识；考查函数与 方程思想，数形结合思想，化归与转化思想，特殊与一般思想；考查数学抽象，逻辑推理， 数学运算，直观想象等核心素养；体现综合性与创新性 【答题分析】【答题分析】只要对

29、ii yx ii xy变形为 lnln ii ii xy xy ，构造函数 ln ( ) x f x x ，方程即为 ( )() ii f xf y，可知函数( )yf x的图象与动直线yt有两个交点，其横坐标为 ii xy，由 04 ii xy及 ln2ln4 24 可得2,e) i x ，取极端值代入不等式即可求解 解：因为 ii yx ii xy，所以lnln iiii yxxy，所以 lnln ii ii xy xy ， 令函数 ln ( ) x f x x ，0,4x，则( )yf x的图象与直线y t 有两个不同的交点， 因为 ln ( ) x fx x ，当0ex时， ( )0f

30、x ，当 ex 时， ( )0fx ， 所以 ( )f x 在 0,e单调递增，在e,+单调递减， 因为 ln2ln4 24 ，所以2e 4 ii xy （1,2,3,i=） ， 所以 min 2 i x ，所以 121 21 n xxxn ， 又因为 e n x 且 maxe n x ，所以3 3e n x 且 max33e n x ， 要 使 得 121 3 nn xxxx 成 立 ， 则 213en ， 所 以 3e 15.065 2 n ，所以 max 5n 【错因分析错因分析】 选择 B 答案，解题未注意到条件 ii xy，把 i x范围取成24 i x ，最后得到不等式 y x 1

31、 e ln2 2 理科数学答题分析 第 11 页（共 24 页） 2112n 导致出错； 选择 C 答案，解题未注意到条件 ii xy，把 i x范围取成24 i x ，最后得到结论7n ，并 且看成7n导致出错； 选择 D 答案， 解题未注意到条件4 i y ，把 i x范围取成14 i x，最后得到不等式13en 导致出错 【难度属性难度属性】属于难题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题小题，每小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13复数z的共轭复数z满足2i3+4iz，则z= 【答案答案】2i 【考查意图考查意图】本小题以复数为载体，考查复数的运算、复数的模、

32、共轭复数等基础知识， 考查运算求解能力，考查数学运算等核心素养，体现基础性 【答题分析答题分析】只要掌握复数的模的概念及复数的基本运算，先求出复数z，再利用共轭复 数的概念便可求解；或者设复数z的代数形式，并利用复数相等的充要条件转化为实数方 程组，也可求解 解法一：由2i3+4iz，得 3+4i5 2i 5 2i 2i2i2i2i z ，所以2iz ， 解法二：设izab( ,)a bR，则2ii5ab，即22i =5abab， 所以25,20abab，解得2,1ab，所以2iz 【错因分析错因分析】 考生可能出现的错误有：审题出错，把3+4i看成3+4i；把 2iz 当成计算结果；计算错误

33、 【难度属性难度属性】属于容易题 14如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某 四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积等于 【答案答案】9 【考查意图考查意图】本小题以三视图为载体，考查三视图、球的切接 问题、球的表面积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查 直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性 【答题分析答题分析】只要掌握三视图的概念，通过三视图还原出该几何体是底面为正方形且一条 侧棱垂直于底面的四棱锥，然后通过几何体特征找出外接球的球心，求出球的半径即可得 到球的表面积；或者根据该几何体特征可将其补成长方体，该几何体的外接球即长方体的 外

34、接球，通过长方体的对角线长即长方体外接球的直径，也可求出球的表面积 解法一：由三视图知该几何体是底面为正方形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥PABCD， 如图依题意知，2,1ABPA，由几何体特征可知，球心O在PC的中点，所以球O的 理科数学答题分析 第 12 页（共 24 页） 半径 2 2 22 13 2 22 ROFFC ， 所以球的表面积为 2 9R 解法二：由三视图知该几何体是底面为正方形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥，将四棱锥 补成长方体，则长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，所以2 222 22219R，即 2 49R ，所以球的表面积为 2 9R 【错因分析错因分析】考生可能出现的错

35、误有：把长方体的对角线当成外接球的半径；误把长方体 当成正方体；计算错误；无法还原几何体等 【难度属性难度属性】属于容易题 15. 2020 年初，我国突发新冠肺炎疫情面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医 疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中为 分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线 工作者子女在线辅导功课现随机安排甲、乙、丙 3 名志愿者为某学生辅导数学、物理、 化学、生物 4 门学科，每名志愿者至少辅导 1 门学科，每门学科由 1 名志愿者辅导，则数 学学科恰好由甲辅导的概率为 【答案答案】 1 3 【考查

36、意图考查意图】本小题以实际问题为载体，考查计数原理、古典概型等基础知识，考查应用 意识、推理论证能力、运算求解能力，考查统计概率思想、分类与整合思想，考查数学建 模、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性 【答题分析答题分析】只要掌握分组问题的计数方法，先求出基本事件的总数及符合条件的基本事 件个数，再通过古典槪型的概率公式即可求解；或者利用列举法求基本事件个数也可求解； 或者通过甲、乙、丙三人每人恰好安排辅导数学学科的可能性相同，也可得到数学学科恰 好由甲辅导的概率为 1 3 解法一：将 3 名志愿者安排辅导四个学科，共有 122 342 C C36A 种排法；其中甲恰好辅导数学 的情况有

37、31 33 2C12A 种，所以所求概率为 121 363 P 解法二：将 3 名志愿者安排辅导四个学科，每科由 1 人完成，共有 4 3种排法；所有学科由 同一个人负责有 3 种情况，四个学科有且只有两个人负责共有 212 344 CC2C种情况，所 以一共有 4212 344 3CC2C336种排法，其中甲恰好辅导数学的情况有 31 33 2C12A 种，所以所求概率为 121 363 P . 解法三：甲、乙、丙三人地位完全相同，他们每人辅导数学学科的可能性相等，故数学学 理科数学答题分析 第 13 页（共 24 页） 科恰好由甲辅导的概率为 1 3 【错因分析错因分析】考生可能出现的错误

38、有：分组问题计数方法没有掌握，计数时重复或漏算； 采用列举法计数时重复或漏算；没注意到甲辅导的科目可能 1 门也可能 2 门，未进行分类； 计算错误 【难度属性难度属性】属于中档题 16. 数列 n a满足 2 123 4921 n aaan an n记不超过 x 的最大整数为 x，如 0.90，0.91设 2 log nn ba，数列 n b的前n项和为 n S，若0 n S ，则n的 最小值为 【答案答案】8 【考查意图考查意图】本小题以数列为载体，考查数列 n a与 n S的关系、数列求和、分段函数、对数 运算等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力；考查分类与整合、函数与方程；考 查

39、数学运算等核心素养；体现综合性 【答题分析答题分析】 只要掌握数列前n项和的概念， 由数列通项公式与前n项和的的关系先求出 n a 的通项公式， 再利用高斯函数 x的概念， 对n的取值分类讨论， 正确判断 n b符号变化规律， 进而得到 n S的单调性并找出使0 n S 的n值便可求解；或者利用 x的概念，把 n b变形成 2 2log n ，再由分组求和得到 222 2log 1log 2log n Snn ，利用2n及 222 log 1log 2log n 变化率的差异判断 n S的单调性也可求解 解法一：因为 2 123 4921 n aaan an n， 所以2n时， 2 1231

40、49121 n aaanann ， 两式相减得 2 2114 n n annnn ，故2n时， 4 n a n （*） ， 又 1 4a 符合（*） ，故 4 n a n 所以 22 4 log2log n bn n ， 易得 12345 2,1,0,1bbbbb ，所以 12345 2,3,2,SSSSS， 又当5n时， 2 log2n ，0 n b ，故5n时， n S递减 又 7 0S ，故当且仅当8n时，0 n S 所以n的最小值为8 解法二：因为 2 123 4921 n aaan an n， 所以2n时， 2 1231 49(1)21 n aaanann ， 两式相减得 2 211

41、4 n n annnn ，故2n时， 4 n a n （*） ， 又 1 4a 符合（*） ，故 4 n a n 所以 222 4 log2log2log n bnn n ， 理科数学答题分析 第 14 页（共 24 页） 易知1n 时， 2 log0n，2n 时， 2 log1n， 3,4n 时， 2 log2n，5,6,7,8n 时， 2 log3n， 9,10,16n 时， 2 log4n， 2222 2log 1log 2log 3log n Snn 2012233334n ， 21223445n 1234 2,3SSSS，易知当5n时，n每增加1时，2n的增加量为2， 而 2222

42、log 1log 2log 3log n 的减少量大于等于3， 故当5n时， n S递减又 7 0S ，故当且仅当8n时，0 n S 所以n的最小值为8. 【错因分析错因分析】 考生可能出现的错误有： 数列 n a 的通项公式求错； 审题时把 2 log nn ba 看 成 2 log nn ba； 高斯函数概念不清， 计算 2 2log n 的值出错； 计算结果7n 误当成7n； 计算错误 【难度属性难度属性】属于难题 17已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 222 2cabab. （1）若 3 sin 3 C ，求B； （2）若D为AC中点，且BDBC，求 a

43、 b 17（1） 【考查意图考查意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想、考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性 【解法综述解法综述】只要掌握正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、三角恒等变形等并针对 求解目标进行合理推理、运算即可求解 思路一：由已经条件与角B的余弦定理，化简得到coscBb，由正弦定理得 sincossinCBB，由同角关系式代入已知条件即可顺利求解 思路二：由已知条件结合正弦定理，化成 222 sinsinsin2sinsinCABAB，通过化简得 到sintanCB，并代入已知条件即可顺利求解 【错因分析错因

44、分析】考生可能存在的错误有：公式记忆错误，公式结构不熟悉，无法根据求解目 标正确选择相关的定理、公式及合理的变形方向，计算错误等 【难度属性难度属性】属于容易题 17（2） 【考查意图考查意图】本小题主要考查余弦定理，正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查 函数与方程思想、考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性 【解法综述解法综述】只要掌握正弦定理、余弦定理，再利用图形中的边角关系建立方程，便可顺 理科数学答题分析 第 15 页（共 24 页） 利求解 思路一：由ADB与CDB互补得到两角的余弦值互为相反数，再由cosADB与 cosCDB的两角余弦定理，建立方程，结合已知条件消去c，即可顺利求解 思路二：利用中线的向量关系式 1 2 BDBABC，两边平方，再用余弦定理