逻辑代数的基本定理学习培训课件.ppt
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1、1 本章的重点:本章的重点:1逻辑代数的基本公式和常用公式。逻辑代数的基本公式和常用公式。2逻辑代数的基本定理。逻辑代数的基本定理。3逻辑函数的各种表示方法。逻辑函数的各种表示方法。4逻辑函数的化简方法。逻辑函数的化简方法。5约束项、任意项、无关项的概论以及无关项在化约束项、任意项、无关项的概论以及无关项在化简逻辑函数中的应用。简逻辑函数中的应用。6“最小项最小项”和和“任何一个逻辑函数式都有可以化任何一个逻辑函数式都有可以化为最小项之和形式为最小项之和形式”是两个非常重要的概念,在逻辑函是两个非常重要的概念,在逻辑函数的化简和变换中经常用到。数的化简和变换中经常用到。本章的难点:本章的难点:
2、稍微难理解一点的是约束、任意项、无关项这几个概稍微难理解一点的是约束、任意项、无关项这几个概念。念。第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础2第一节第一节 概述概述逻辑代数的产生:逻辑代数的产生:1849年英国数学家乔治年英国数学家乔治.布尔布尔(George Boole)首先提出,首先提出,用来描述客观事务逻辑关系的数学方法用来描述客观事务逻辑关系的数学方法称为称为布尔代数布尔代数。后来被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析与设计,后来被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析与设计,所以也称为所以也称为开关代数开关代数或或逻辑代数逻辑代数。逻辑代数中用字母表示变量逻辑代数中用字母表示变量逻辑变量
3、逻辑变量,每个逻辑变量的,每个逻辑变量的取值只有两种可能取值只有两种可能0和和1。它们也是逻辑代数中仅有的两个。它们也是逻辑代数中仅有的两个常数。常数。0和和1只表示两种不同的逻辑状态,不表示数量大小。只表示两种不同的逻辑状态,不表示数量大小。第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础3第二节第二节 逻辑代数的三种基本运算逻辑代数的三种基本运算三种基本运算是:与、或、非(反)。三种基本运算是:与、或、非(反)。1.与运算与运算可用开关图来说明:可用开关图来说明:ABY 该图代表的逻辑关系是:决该图代表的逻辑关系是:决定事件的全部条件都满足时,定事件的全部条件都满足时,事件才发生事件才发生这就是这就
4、是与与逻辑逻辑关系。关系。用用1表示开关接通,表示开关接通,1表示灯表示灯亮,可得如下亮,可得如下真值表真值表:在函数式中,用在函数式中,用.表示与运表示与运算,记做算,记做Y=A.B 或或Y=AB逻辑符号:逻辑符号:&ABYABY只有输入全为只有输入全为1时,输出才为时,输出才为1它们都有集成门电路与之对应。它们都有集成门电路与之对应。ABY00001010011142.或运算或运算ABY 该图代表的逻辑关系是:决该图代表的逻辑关系是:决定事件的全部条件至少有一个定事件的全部条件至少有一个满足时,事件就发生满足时,事件就发生这就这就是是或或逻辑关系。逻辑关系。输入有一个为输入有一个为1时,输
5、出就为时,输出就为1 在函数式中,用在函数式中,用 表示或表示或运算,记做运算,记做Y=AB逻辑符号:逻辑符号:ABY1ABY+真值表真值表ABY00001110111153.非门非门ARY 该图代表的逻辑关系是:决该图代表的逻辑关系是:决定事件的条件满足时,事件不定事件的条件满足时,事件不发生发生这就是这就是非非逻辑关系。逻辑关系。真值表真值表 在函数式中,用在函数式中,用_ 表示非表示非运算,记做运算,记做Y=A逻辑符号:逻辑符号:A1YAY国外符号:国外符号:ABYABYAY与门与门非门非门ABYABYAY与门与门非门非门或门或门AY011064.一些常用的复合逻辑运算一些常用的复合逻辑
6、运算 用两个以上基本运算构成的逻辑运算。包括用两个以上基本运算构成的逻辑运算。包括与非、或非与非、或非、与或非、异或和同或与或非、异或和同或运算。和三个基本运算一样,它们都有运算。和三个基本运算一样,它们都有集成门电路与之对应。集成门电路与之对应。1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 A B A B A+B AB A B真值表:真值表:(除与或非运算外)除与或非运算外)逻辑符号:逻辑符号:&1=1=ABYABYABYABYYBAYBAYBAYBA国外符号:国外符号:互为互为非非逻辑关系逻辑关系7与或非逻辑与或非逻辑 A B C D Y
7、0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0函数式形如:函数式形如:Y=AB+CD&1ABCDY逻辑符号:逻辑符号:A与与B等于等于1,或者,或者C与与D等于等于1,Y等于等于0。真值表:真值表:异或的逻辑式:异或的逻辑式:同或的逻辑式:同或的逻辑式:Y=AB+ABY=A B+A B8第三节第三节 逻辑代数的基本公式和常用公
8、式逻辑代数的基本公式和常用公式一、基本公式一、基本公式关于常数之间的运算在真值表中已给出。下面的公式中都有变量:关于常数之间的运算在真值表中已给出。下面的公式中都有变量:0.A=01+A=11.A=A0+A=AA.A=AA+A=AA.A=0A+A=1A.B=B.AAB=BA交换律交换律A.(B.C)=(A.B).C结合律结合律A(BC)=(AB)+CA.(B+C)=A.B+ACABC=(AB)(A+C)分配律分配律A=AA.B=A+BAB=A.B摩根定理摩根定理我们用真值表证明我们用真值表证明分配律分配律的第二个公式:的第二个公式:还原律还原律互补律互补律重叠律重叠律0 19A B C B.C
9、 A+BC A+BA+C(A+B)(A+C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1其他公式的证明请同学自己完成。其他公式的证明请同学自己完成。ABC=(AB)(A+C)10二、若干常用公式二、若干常用公式A+AB=A证:左证:左A(1+B)=A.1=A吸收律吸收律1吸收律吸收律2证:左证:左(A+A)(A+B)=A+BA B+AB=AA B+AB=A证:左证:左A(B+B)=A.1=AA B+A
10、C+BC=AB+AC冗余项定理冗余项定理推论:推论:=AB+AC+ABC+ABC=右右A+AB=A+BA+AB=A+BA AB=A BA AB=A证:证:A B+AC=A B+A C=A B+AC+B C=右右证:证:左左 A B+AC+BC(A+A)A B+AC+BCD=AB+AC左左AB A C=(A+B)(A+C)摩根定理摩根定理11第四节第四节 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理一、代入定理一、代入定理 定理:在任何一个包含逻辑变量定理:在任何一个包含逻辑变量A的等式中,若以另外一个逻的等式中,若以另外一个逻辑式代入式中所有辑式代入式中所有A的位置,则等式仍然成立。的位置,则等式仍然
11、成立。例如:将摩根定理例如:将摩根定理 中中 A.B=A+BB用用C.D代入,有代入,有A.B=A.CD=A+CD=A+C+DA.B=A.CD=A+CD=A+C+D 上式说明摩根定理可推广到上式说明摩根定理可推广到3个变量。当然也可推广到任意个变量。当然也可推广到任意个变量。个变量。二、反演定理二、反演定理注:称注:称A为原变量,为原变量,A为反变量。为反变量。定理:定理:对于任意一个逻辑式对于任意一个逻辑式Y,若将其中所有的,若将其中所有的 和交换,和交换,0 和和1交换,原变量和反变量交换,交换,原变量和反变量交换,得到的结果就是得到的结果就是Y。该定理可简单记为:该定理可简单记为:+,0
12、 1,A A 。12注意事项:注意事项:1.逻辑运算的优先顺序:括号,与,或逻辑运算的优先顺序:括号,与,或,异或。异或。2.多个变量上的非号的处理:可保持不变;也可用代入法处理。多个变量上的非号的处理:可保持不变;也可用代入法处理。例如:例如:已知:已知:Y=A(B+C)+CD则:则:=(A+B C)CD =A CD或者,令或者,令E=CD 代入上式代入上式Y=(A+B C)C+DY=(A+B C)C+DY=(A+B C)EY=(A+B C)CD所以:所以:13三、对偶定理三、对偶定理对偶式的定义:对偶式的定义:Y=A(B+C)=A+BCY很明显很明显Y 也是也是 的对偶式。的对偶式。Y例如
13、:例如:定义定义:对于任意一个逻辑式对于任意一个逻辑式Y,若将其中所有的,若将其中所有的 和交换,和交换,0和和1交换,得到的结果就是交换,得到的结果就是Y的对偶式,记做的对偶式,记做 。YZ=AB+AC =(A+B)(A+C)Z对偶定理对偶定理:若两逻辑式相等,则它们的对偶式也相等。:若两逻辑式相等,则它们的对偶式也相等。在上面的例子中,根据分配律在上面的例子中,根据分配律 Y=Z,再根据对偶定理有:,再根据对偶定理有:=ZY即即 A+BC=(A+B)(A+C)这就从分配律的第一个公式直接推出第二个公式。这就从分配律的第一个公式直接推出第二个公式。从对偶定理可看出,只要一个逻辑函数式的变量数
14、不少于两从对偶定理可看出,只要一个逻辑函数式的变量数不少于两个(含反变量),它就一定存在对偶式。个(含反变量),它就一定存在对偶式。14第五节第五节 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 事务间的因果关系是一种逻辑关系,可用逻辑函数表示。事务间的因果关系是一种逻辑关系,可用逻辑函数表示。如:前面介绍的灯与开关间的逻辑关系。如:前面介绍的灯与开关间的逻辑关系。又如举重裁判的例子:设有三个裁判,分别用又如举重裁判的例子:设有三个裁判,分别用A,B,C表示,其表示,其中中A是主裁判。规定至少有两个裁判确认(其中必须包含主裁判)是主裁判。规定至少有两个裁判确认(其中必须包含主裁判)时,运动员的试举
15、才算成功。当用时,运动员的试举才算成功。当用Y表示举重结果时,表示举重结果时,Y与与A,B,C的逻辑关系可表示为:的逻辑关系可表示为:Y=A(B+C)这就是一个逻辑函数的例子。这就是一个逻辑函数的例子。一、逻辑函数一、逻辑函数又如,三变量多数表决逻辑。也是逻辑函数的例子。又如,三变量多数表决逻辑。也是逻辑函数的例子。二、逻辑函数的表示方法二、逻辑函数的表示方法常用的有四种:常用的有四种:真值表;逻辑函数式;逻辑图;卡诺图。真值表;逻辑函数式;逻辑图;卡诺图。15本节介绍前三种,将卡诺图留在下节介绍。本节介绍前三种,将卡诺图留在下节介绍。1.真值表真值表举重裁判的真值表:举重裁判的真值表:A B
16、 C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1 左侧是左侧是输入变量输入变量的所有取值,右侧的所有取值,右侧是是输出变量输出变量的值,即函数值。的值,即函数值。当输入变量个数为当输入变量个数为n时,真值表共有时,真值表共有2n行。行。特点:特点:描述逻辑问题方便;描述逻辑问题方便;直观;直观;较繁琐。较繁琐。2.函数式函数式举重裁判的函数式:举重裁判的函数式:Y=A(B+C)特点:特点:便于运算、化简;便于运算、化简;便于画逻辑图;便于画逻辑图;不便从逻辑问题直接得到。不便从逻辑问题直接得到。163.逻辑图逻辑图举重裁判
17、函数的逻辑图:举重裁判函数的逻辑图:特点:特点:便于用电路实现。便于用电路实现。&1AYBC4.各种表示方法间的相互转换各种表示方法间的相互转换真值表真值表函数式函数式逻辑图逻辑图 黑箭头容易实现。篮箭头不能直接实现,可借助函数黑箭头容易实现。篮箭头不能直接实现,可借助函数式实现。下面要重点介绍红箭头,即由真值表求函数式。式实现。下面要重点介绍红箭头,即由真值表求函数式。三、逻辑函数的两种标准形式三、逻辑函数的两种标准形式 逻辑函数的两种标准形式分别是逻辑函数的两种标准形式分别是与或式与或式和和或与式或与式,我们重点,我们重点 介绍与或式。首先,介绍介绍与或式。首先,介绍最小项最小项和和最大项
18、最大项。Y=A(B+C)17(一)最小项和最大项(一)最小项和最大项 我们只介绍最小我们只介绍最小项。最大项留给同学项。最大项留给同学自己看。自己看。1.最小项的定义:最小项的定义:在在n变量逻辑函变量逻辑函数中,若数中,若m为包含为包含n个因子的个因子的与项与项,且,且这些变量均以原变这些变量均以原变量或反变量的形式量或反变量的形式出现一次,则称出现一次,则称m为为该组变量的最小项。该组变量的最小项。此时此时AB、A都不是最小项。都不是最小项。m7 7 1 1 1A B Cm6 6 1 1 0A B Cm5 5 1 0 1A B Cm4 4 1 0 0A B Cm3 3 0 1 1A B C
19、m2 2 0 1 0A B Cm1 1 0 0 1A B Cm0 0 0 0 0A B C A B C编编号号对应对应十进十进制数制数使最小项为使最小项为1的值的值最小项最小项 以三变量为例,以三变量为例,如表。如表。182.最小项的性质:最小项的性质:(1)对应输入变量的任何取值,都会有一个最小项,且仅有一)对应输入变量的任何取值,都会有一个最小项,且仅有一个最小项的值为个最小项的值为1;(2)全体最小项之和为)全体最小项之和为1;(3)任意两个最小项之积为)任意两个最小项之积为0;(4)两个逻辑相邻的最小项之和可合并成一项,且消去一对因)两个逻辑相邻的最小项之和可合并成一项,且消去一对因子
20、。子。定义:如两个最小项只有一个变量不相同,则称之为逻辑相邻。定义:如两个最小项只有一个变量不相同,则称之为逻辑相邻。例:例:ABC和和ABC是逻辑相邻的最小项,当它们相加时,是逻辑相邻的最小项,当它们相加时,会消去变量会消去变量C:ABC+ABC=AB 下面要介绍的卡诺图就是利用最小项的这一性质化简逻辑函数下面要介绍的卡诺图就是利用最小项的这一性质化简逻辑函数的。的。利用性质(利用性质(1)可以从真值表求出逻辑函数的标准与或式。)可以从真值表求出逻辑函数的标准与或式。关于最大项和逻辑函数的关于最大项和逻辑函数的标准或与式标准或与式留给同学自学。留给同学自学。ABC.ABC=019(二)逻辑函
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