第一章函数与极限参考模板范本.doc

1、班级 学号 姓名 134第一章 函数与极限第一节 函 数1. 函数的反函数 ，即 .2. 试证：定义在对称区间上的任意函数均可表示为一个奇函数与一个偶函数之和.3. 设，及是单调增函数，且.证明：.第二节 初等函数1. 设，则 ， ， ， ， .2. 已知函数的定义域为，则下列函数( )的定义域是：（a）（b）（c）（d）3. 设，则 ， .4. 一球的半径为，作外切于球的圆锥，试将其体积表示为高的函数，并指明定义域.5. 证明：.第三节 数列的极限1. 观察下列数列的变化趋势，用线将其与相应结果连接起来.1) （a）极限为12) （b）极限为03) （c）极限不存在4)2. 根据数列极限的定

2、义证明：.3. 设数列有界，又，证明：.第四节 函数的极限1. 根据函数极限的定义证明：.2. 已知，问等于多少，可使时有成立？3. 设，则 ， ， ， ，问与是否存在？第五节 无穷小与无穷大1 根据定义证明：y=xsin当x时为无穷小.2 函数y=xcosx在()内是否有界？又当x时，这个函数是否为无穷大？为什么？3 函数f(x)= 当x时极限存在吗？何时是无穷大？何时是无穷小？第六节 极限运算法则1 计算下列极限.（1）（2）（3）（4）2 计算下列极限.（1）（2）（3）（4）（5）（6）第七节 极限存在准则,两个重要极限1 计算下列极限.（1）（2）（3）(4) 2 计算下列极限.（1

3、）（2）（3）（4）3 已知=0，求a，b.4 利用极限存在准则证明极限或求极限.（1）=1（2）=0(3)(4)设数列x由下式给出：x0,x=，（），证明存在，求其值.第八节 无穷小的比较1. 当时，将下列所给无穷小与跟其相应的结论用线连接起来：1) （a）是比低阶的无穷小2) （b）是比高阶的无穷小3) （c）是同阶的无穷小，但不等价4) （d）是的等价无穷小2. 当时，下列四个无穷小中，（ ）是比其它三个更高阶的无穷小.为什么？（a）(b)(c)(d)3. 利用等价无穷小的性质，求下列极限：（1）（2），（3）（4）第九节 函数的连续性与间断点1. 设函数，则 ， ，故是函数的第 类间断

4、点.2. 讨论函数的连续性，若有间断点，判别其类型.3. 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属哪一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续.(1),()(2),第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性1. 函数的连续区间是： .2. 求下列极限：(1)(2)(3) (4)(5)(提示：令)（6）3. 设，应怎样选取数，才能使处处连续？第十一节 闭区间上连续函数的性质1. 证明方程至少有一个根介于1和2之间.2. 设在上连续，且，试证在内至少存在一点，使.3. 函数在内连续，证明在内至少存在一点，使.第一章 函数与极限总习题1. 设，则 .2. 设，求.3. 计算下列极限：（1

5、）（2）（）（3）（4）4. 计算下列极限：（1）（2）（3） （4）5. 已知，试求，之值.6. 设，且（），证明：.7. 已知，（），证明数列的极限存在并求.8. 研究函数（）的连续性.第二章 导数与微分第一节 导数概念1 假设下列极限存在，则（1）= （2）= （3）=（4）若f(0)=0，则= 2 设，因为=，故在处 ，又= ，所以在处既 又 3 设，其中为连续函数且，证明在点没有导数，又在点处的左右导数各等于什么?4 设，求及，又是否存在？5 说明函数，在处连续但不可导.6 已知，问应各为何值时，处处连续、可导.7 求曲线在点（0，1）处的切线方程和法线方程. 第二节 函数的和、差、

6、积、商的求导法则1 下列函数的导数,其中x、y是变量.（1）(2)（3）(4)(5)2 求下列函数在给定点的导数.（1）（2）3 试求经过原点且与曲线相切的直线方程. 第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则1 求下列函数的导数.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）2 设是的反函数，求.3 在下列各题中，设为可导函数，求.（1）（2）第五节 高阶导数1. （1） .（2） .（3） （其中，为自然数，且）.（4）设函数有任意阶导数，则= .2. （1）求.（2）设，求.（3）设，求，.3. 试从导出：（1）；（2）.4. 求下列函数的阶导数的一般表达式.（1）（2）第

7、六节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数相关变化率1. 求下列方程所确定的隐函数的导数.(1)(2),求2. 求曲线在点处的切线方程和法线方程.3. 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数.(1) (2)4. 用对数求导法求下列函数的导数:(1)(或)(2)5. 求下列参数方程所确定的函数的导数：(1)(2) 求当时的值.6. 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数.7. 求对数螺线在点处的切线方程.8. 在中午12点整甲船以6km/h的速率向东行驶,乙船在甲船之北16km,以8km/h之速度向南行,在下午1点整两船相离之速率度为多少?第七节 函数的微分1. 已知,请将时,分别等于1,0.

8、1时的全增量与全微分与它们相应的值用线连起来.11181.1611.12. 求下列函数在指定点的微分.(1), (2)，3. 求下列复合函数的微分.(1),(2),4. 将适当的函数填入下列括号内,使等式成立.(1)( ) (2)( )(3)( )(4)( )5. 计算.6. 用一阶微分形式不变性,求,这里第二章 导数与微分总习题1. 设和是在上定义的函数, 且具有如下性质.(1) (2) 和在点可导,且已知,证明:在上可导.2. 设,求.3. 设,求.4. 设,求.5. 设试证明关系式并求.6. 设函数，存在，确定常数的值.7. 设参数方程求及.8. 已知，求.9. 设，求.10. 液体从深

9、为，顶部直径为的正圆锥形漏斗，漏入直径为的圆柱形桶中，开始时漏斗盛满液体，已知漏斗中液面深时，液面下落速度为，问此时桶中液面上升的速度是多少？第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理1 填空（1）曲线在点_处的切线与连接曲线上(0,1)，(1,e)两点的弦平行.（2）对函数在区间上应用拉格朗日时所求得的=_.2 证明：不等式.3 若方程有一个正根，证明方程必有一个小于的正根.（）4 设函数在上二阶可导，且，令，证明在,使.5 证明多项式在上不可能有两个零点.第二节 洛必达法则1 用洛必达法则求下列极限.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2 若的二阶导数存在，求.3 讨论，在点

10、处的连续性.4 设，在处可导，求和.第三节 泰勒公式1 填空.（1）的二阶麦克劳林公式是_；（2）在点处的二阶泰勒公式是_；（3）在点处的二阶泰勒公式是_.2 求二阶麦克劳林公式.第四节 函数单调性的判别法1. 填空：（1）在区间 单调减少，在区间 单调增加.（2）在区间 单调减少，在区间 单调增加.（3）若和是单调增加的，则+是单调 的，是单调 的.2. 证明下列不等式：（1） （）（2）3. 设对于一切有，并且，证明当时，而当时，.4. 试证明方程只有一个实根.第五节 函数的极值及其求法1. 填空：（1），在点处的导数= ，在点处取极 值.（2）若时，函数取得极值，则= .（3）的极大值是

11、 ，极小值是 .2. 求下列函数的极值.（1），（）（2）3. 当为何值时，函数在处有极值？是极大值还是极小值？并求此极值. 4. 证明：如果函数满足条件2),导出递推公式第四章 不定积分总习题1. 计算下列不定积分.（1）（2）（3）（4）（5）(6)(7)(8)(9)(10)2. 已知函数的导数,求函数.3. 计算不定积分.第五章 定积分第一节 定积分的概念1 用定义计算时，将分成_等份，取子区间的左端点为.2 函数在下列区间上是否可积？为什么？在上_.在上_.3 试用定积分表示：（1）曲线所围成的图形的面积_.（2）曲线及x轴所围成的图形的面积_.第二节 定积分的性质、中值定理1 估计下

12、列定积分的值.（1）（2）2 证明：（n为正整数）第三节 微积分的基本公式1 填空.（1）若在上连续，为内任固定点，则；（2）设，则的一个函数=_；（3）若函数具有连续的导数，则；（4）设函数，则；的驻点为x=_，极值点为_，极值为_；（5）设由确定y是x的函数，则.2 将极限表示为定积分，并求其值.3 计算下列极限.（1）（2）（3），其中连续.4 用牛顿-莱布尼兹公式计算下列定积分.（1）（2）设，求.5 计算下列定积分.（1）（2）6 设，其中连续，且.试确定C使连续.7 设，求的表达式.第四节 定积分换法1 填空.（1）已知.（2）.（3）设在上连续，.2 若为上连续的偶函数，证明为偶

13、函数.3 计算下列定积分.（1）（2）（3）（4）4 设是以T为周期的连续函数，证明积分的值与a无关.5 试证下列各题.（1） 设在上连续，则.（2）第五节 定积分的分部积分法1. 填空:(1)设具有二阶连续导数且,计算_.(2)若具有连续的导数，且，则 .2. 设，分别计算（1）当时；（2）当时的值.3. 计算下列定积分.(1) (2)(3)(4)4. 设连续,且,求的值.第七节 广义积分1. 证明:.2. 将下列广义积分与其收敛时的取值范围用线连接起来.(1)a.（2） b.（3）并写出第（2）题的解题过程.3. 计算下列广义积分.（1）（2）（3）第五章 定积分总习题1. 设处处连续，且

14、，则 ， ， .2. 设是上的连续函数，试证：在内，方程至少有一个实根.3. 计算下列极限.（1）（2）4. 设为连续函数，证明.5. 计算下列极限.（1）（2）(3)(4)()6. 设在区间上连续，且，证明：（1）；（2）方程在区间内有且仅有一根.7. 求正常数，使得.8. 设函数，（1）证明为偶函数；（2）求在区间上的最大值与最小值.9. 设在上连续、可导,不恒为零，.求.10.设，计算.第六章 定积分的应用第二节 平面图形的面积1 求下列曲线所围图形的面积.（1）.（2）（3）.2 求曲线和直线所围图形的面积.（画出草图）3 求抛物线与其在点（及（处的切线所围平面图形的面积.4 求位于曲

15、线下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间图形的面积.（画出草图）5 心脏线与圆所围图形公共部分的面积.6 试确定a的值，使曲线与三直线所围图形的面积最小.第三节 体积1 由曲线所围图形绕x轴旋而成旋转体的体积V=_. ABC2 函数，在区间上上连续，且，则由曲线及直线所围图形绕x轴旋转的体积是_.3 曲线绕x轴旋转得旋转体，求其体积.4 求曲线与直线所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体体积.5 求曲线与直线所围图形绕直线要旋转而成旋转体的体积.6 求圆绕轴旋转一周所成立体的体积.第四节 平面曲线的弧长1 已知函数，其定义域是_；所表示的曲线的全长L=_，并写出求解过程.2 计算半立方抛

16、物线被抛物线截得的一段弧的长度.3 计算星形线的全长.4 求心脏线的全长（a0）.5 在摆线上求分摆线第一拱成1：3的点的坐标.第六章 定积分的应用总习题1 曲线处的法线方程是_，该法线与曲线的交点为_，它们所围图形的面积是_.2 曲线的交点坐标为=_，它们所围图形的公共部分面积的积分表达式为_，面积值为_.3 曲线在区间内的一条切线，使得该切线与直线和曲线所围图形的面积最小.4 曲线分别绕x轴及直线旋转所得旋转体的体积（.5 设抛物线通过点，且当时，.试确定的值，使得抛物线与直线所围图形的面积为，且使该图形绕x轴旋转而成旋转体的体积最小.第七章 空间解析几何与向量代数第一节 空间直角坐标系1

17、. 将下列各点与它所具有的特殊位置用线连接起来.在轴上坐标原点在面上在面上在轴上2. 求点分别关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标.3. 求点与原点及各坐标轴间的距离.4. 试证以点，三点为顶点的三角形是等腰三角形.第二节 向量及其加法,向量与数的乘法1. 设，试用，表示.2. 把的边五等分，设分点依次为，在把各分点与点连接，试以，表示向量，和.3. 用向量的方法证明：由三角形两边中点所连成的线段（中位线）平行于第三边，且等于第三边之半.第三节 向量的坐标1. 填空:(1)设向量的模是4，它与轴的夹角是，则在轴上的投影等于 .(2)一向量的终点在点，它在轴、轴和轴上

18、的投影依次是4，4和7，则这向量的起点的坐标为 .(3)设一向量的方向角依次是，若已知其中之二角为,，则第三角= .(4)与向量平行的单位向量是 .2. 已知两点和，求向量的模、方向余弦和方向角.3. 设，和，求向量在轴上的投影及在轴上的分向量.4. 求由两点和所连成的线段的中点和两个三等分点，的坐标.第四节数量积、向量积1 已知向量与垂直，向量与平行，求和的值.2 设，问为何值时最小？并求出此最小值.3 已知，和分别计算以下各式（1）（2）4 已知求的面积.5 应用向量证明不等式:,其中，为任意实数，并指出等号成立的条件.第五节 曲面极其方程1 一动点与两定点等距离，求该动点的轨迹方程.2

19、求与坐标原点O及点的距离之比为的点的全体所组成的曲面方程，它表示怎样的曲面？3 求下列各平面曲线按指定轴旋转所成旋转曲面的方程.（1）面上的抛物线绕x轴.（2）面上的圆绕z轴.4 指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？（1）（2）（3）（4）5 画出下列方程所表示的曲面.（1）（2）第六节 空间曲线极其方程1 下列方程组各表示什么曲线？（1）（2）（3）（4）2 求由上半球面，柱面及平面所围立体在面和面上的投影.3 求下列立体在面上的投影.(1)由围成的立体；(2)立体：.第七节平面及其方程1 填空.设有平面，则当它与（1）平面垂直时，；（2）平面平行时，.2 指出下列各

20、平面特殊位置.（1）（2）(3)(4)3 求下列各平面的方程.（1）过点且与向量垂直.（2）过点且与向量和向量平行.4 一平面通过z轴，且与平面的夹角为，求它的方程.第八节 空间及其方程1 求过点且平行于直线的直线方程.2 求过点且通过直线的平面方程.3 求直线和平面间的夹角.4 试确定下列各组中直线和平面间的关系.（1）和（2）和（3）和：.5 求点在平面上的投影.6 设一平面垂直于平面，并通过从点到直线：的垂直，求平面的方程.7 求过点，且平行于平面，又与直线相交的直线的方程.8 设是直线外一点，是直线上一点，且直线的方向向量为 ，试证：点到直线的距离为.第九节 二次曲面1 指出下列方程表

21、示什么曲面：（1）（2）2 建立单叶双曲面与平面的交线关于面的投影柱面与投影曲线方程.3 画出下列各曲面所围成的立体图形.（1），.（2），4 画出下列曲面所围成的立体图形.（1） 平面，及抛物线柱面所围成的图形.（2）及所围成的图形.第七章 空间解析几何与向量代数总习题1 已知向量与的交角，并且，求与及向量与的夹角.2 设，求.3 设，证明三向量，共面，并用和表示.4 设，以，为边作平形四边形，（1）求证此平形四边形的对角线互相垂直；（2）求此平行四边形的面积.5 求下列各平面的方程.(1)过原点和点且与直线：平行.(2)过点而与直线：垂直.(3)通过直线：，且垂直于平面：.6 求下列各直线

22、的方程.(1)过点与轴相交，且与直线：垂直.(2)过点与两直线：和：都垂直.(3)过点且与直线：和：相交.7 求点到平面： 的垂直方程及距离.8 已知球面方程为，试在该球面上作切平面，使其与直线：垂直，求其方程.第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1填空。（1）设，则=_； (2) 设则 =_； (3) 设若当时，则函数=_； (4) 函数的定义域是_； (5) 函数的定义域是，此定义域可用平面图形表示为_。2求极限。 （1） （2）4讨论函数的连续性。第二节 偏导数1填空。（1）则，；（2）则，； (3) 设，则=_, =_, =_,=_ _；（4）设 ，（为连续函数），

23、则=_ _, =_ _。2证明函数在处连续，但偏导数不存在。3验证满足。4求下列函数的二阶偏导数（1） （2）第三节 全微分及其应用1填空。（1）设，则（2）设，则（3）设，则2求函数当时的全增量和全微分。3求函数的全微分4设证明在点(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微。第四节 多元复合函数的求导法则1请把及填入下列式子的空括号里，并写出计算结果。（1）设，而，则复合关系图为 ，从而_.（2） ，令， 则复合关系图为 ，且 = .2设,而，求，3设u=, 而，求.4设，而 ,为可导的函数，证明： 5设，其为可导的函数，验证.6设，其中是有一阶连续偏导数，求，第五节 隐函数的求导法则1设，求及

24、2设， 用隐函数求导的公式求； 用复合函数求偏导数的方法求； 利用全微分形式不变性求出及。3 具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足4已知，求，是把变量 视为自变量，变量 与 视为变量 的函数。求出5已知，求， 与 看作自变量，而把变量 与 都看作 与 的函数，求出，6设，求第六节 微分法在几何上的应用1 螺旋线，在点处的切线和法平面方程。并证明其上任一点的切向量与轴成一定角。2 求曲线，在点处的切线和法平面方程。3 求曲面在点处的切平面和法线方程。4 在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面，并写出该法线方程。5 证明锥面上任意一点处的切平面都通过锥面的顶点。6 试证曲面上的任何点处的切

25、平面在各坐标轴上的截距之和等于。 第八节 多元函数的极值及其求法1 求函数的极值。2 求函数的极值。3 求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点。4 在球面位于第一卦限的部分求一点P，使该点处的切平面在三个坐标轴上截距的平方和最小。第八章 多元函数微分法及其应用总习题1 设，求，其中具有一阶连续偏导数。2 设，验证。3 设，又，求常数，使。4设，求及。5 设，问：（1）在点是否连续，为什么？（2）在点的偏导数，是否存在？（3）在点是否可微？为什么？6 设，其中有二阶连续偏导数，二阶可导，求。7 设，而是由方程所确定的的函数，其中都具有一阶连续的偏导数，试证明： 8 设，其中具有一阶连续的偏导数，

26、利用全微分形式不变性求隐函数的全微分，并由此求出。10求曲线上点处的法平面与直线间的夹角。9 过直线，作曲面的切平面，求此切平面方程。10 经过点但不过原点的所有平面中，哪一个平面与坐标面所围成的立体的体积最小。第九章 重积分第一节 二重积分的概念与性质1 选择题. 设，若由轴，轴与直线围成，则在上 A B 由二重积分的性质可知 .A B C 2 填空题设若，区域为，则在上，的最小值为 最大值为 此时, .第二节 二重积分的计算法1 填空：改变积分次序(1) (2) 若则= .(3) 设： ，则应把二重积分化为先对_后对_的二次积分= . (4) 二重积分 2 画出积分区域，并计算下列二重积分

27、。(1) ，其中D是顶点分别为，和的三角形闭区域.(2) 其中D是由直线，及所围成的闭区域.(3) ，其中D是由所确定的闭区域。3 化二重积分为累次积分（按两种不同的积分次序），其中积分区域D由直线，及双曲线围成。4 求由曲线，所围成的平面图形位于第一象限部分的面积。 5 证明： 6 求下列空间域的体积。（1）标平面及平面，围成的立体；（2）曲面，围成的立体；7画出积分区域，并且把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是：（1），（2）由曲线，及围成的闭区域；8利用极坐标计算：（1），其中是圆环形闭区域：；（2）其中D是由直线,及曲线所围成的闭区域；（3）其中D是由圆周所围成的闭区域；

28、9求由圆和心形线所围图形（在圆外部分）的面积。 第三节 二重积分的应用1.求锥面被柱面所割下部分的曲面面积。2.求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积。3.求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围成立体的表面积。第四节 三重积分的概念及其计算法1化为三次积分，其中积分区域分别是：(1) 由双曲抛物面及平面，所围成的闭区域；(2) 由曲面所围成的闭区域。2 计算，其中是由平面，所围成的空间域。3 计算，其中是由锥面与平面所围成的闭区域。4 计算，其中由平面，以及抛物柱面所围成的闭区域。第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分1设由球面与锥面围成，则三重积分在三种坐标系下分别化为三次积分如下：直角坐标系： 柱面坐标系：球面坐标系：。2利用柱面坐标计算下列三重积分。（1），其中为锥面及平面所围成的闭区域；（2），其中由曲面及所围成的闭区域； (3) ，其中由曲面，所围成的闭区域。 3利用球坐标计算三重积分。 （1），其中是由球面所围成的闭区域；（2） 其中由不等式， 所确定。4选用适当的坐标系计算下列三重积分。（1），其中是由曲面，所围成闭区域；（2），其中是由不等式：，所确定；（3）其中是 ，的公共部分。