重点难点指导[复数与复变函数]参考模板范本.doc
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1、重点难点指导复数与复变函数重点难点指导第一章 复数与复变函数内容:1.1 复数1.2 复数的三角表示1.3 平面点集的一般概念1.4 无穷大和复球面1.5 复变函数 重点:(1)复数的三种表示法(2)复变函数的概念(3)复变函数的极限与连续性的概念,复数的四则运算、乘方运算、开方运算。 难点:(1)复平面的点集与区域(2)复数的几何表示(3)复数运算的几何意义,利用几何进行运算。重点难点解答:1.在复数的表示法中要特别注意三角表示法和指数表示法,它们有时候能使解决的问题简化。一般来讲,复数的加减法用代数表示法计算简单,而乘法、除法、乘幂和方根运算用三角表示法或指数表示法计算较简单。2.任意两个
2、虚数不能比较大小。3.实变量函数的定义域和值域都在实直线的某个集合中,而复变函数的定义域和值域都在复平面的某个集合上。4.复数的辐角有无穷多个,它们相差的整数倍,称位于中的角为主辐角,记为。5.确定复数的辐角,一般利用的向量表示确定在坐标系中的位置,在利用反正切公式确定的辐角主值。 当时辐角无意义当时,有如下关系(,) 复数的辐角是我们遇到的第一个多值函数,以后遇到的多值函数都和这个多值函数有关。19 / 1919 / 19第二章 解析函数内容:2.1 解析函数的概念2.2 解析函数和调和函数的关系2.3 初等函数重点:(1)复变函数导数的概念及其求法,(2)解析函数的概念,(3)用柯西-黎曼
3、条件判断函数解析性的方法,(4)从解析函数的实(虚)部求其虚(实)的方法。难点:(1)初等函数的解析性(2)解析函数与调和函数的关系重点难点解答:1.判断函数可导或解析的方法1)利用可导与解析的定义由定义,一个函数在解析,除在该点可导外,还必须在该点的某一个邻域内可导,两个条件必须都满足。而要判断一个函数在区域D内解析,只要判断它在D内可导即可。故判断函数是否解析,归结为判断函数是否可导的问题,而函数可导可用定义验证。2)利用可导与解析的充要条件函数在区域内有定义,则在点可微的充要条件是:(1)在处可微;(2)在处满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件(简称C-R方程)若上述条件中
4、有一个不成立,则在该点不可导,从而不解析。而函数在区域内有定义,则在内解析的充要条件是:(1)在内可微;(2)在内满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件(简称C-R方程)2. C-R方程是本章的一个重点,它不仅可以判别函数在一点的解析性,而且还可用来求复变函数的导数 它也说明了不是任意两个存在连续偏导数的函数都可以组成一个解析函数的实部与虚部,它们之间有着密切的联系。 3. 对数函数是一个多值函数,它的每一分支在除去原点和负实轴外处处解析,虽 然它保持了实对数的某些运算性质,但表达的含义不同,这一点要注意。 , 等式的左右两边都是集合,上式表示给出左边的任一个分支,一定有的一个分支
5、和的一个分支,使得它们的和或差与之对应。 4. 幂函数一般来讲是多值函数,当b为整数时,为一单值函数,而为一n值函数。5. 已知解析函数的实部或虚部求解析函数有以下几种方法:(1) 偏积分法, (2)不定积分法 (2)线积分法 (1)偏积分法:若已知实部,利用条件,得;对两边积分,得 (*)再对(*)式两边对求偏导,得 (*) 由条件,得,可求出;代入(*)式,可求得 虚部 。 (2)线积分法:若已知实部,利用条件可得,故虚部为;由于该积分与路径无关,可选取简单路径(如折线)计算它,其中与 是解析区域中的两点。(3)不定积分法:若已知实部,根据解析函数的导数公式和条件得知, 将此式右端表示成的
6、函数,由于仍为解析函数,故 (为实常数)注:若已知虚部也可用类似方法求出实部第三章 复变函数的积分内容:3.1 复积分的概念3.2 柯西积分定理3.3 柯西积分公式3.4 解析函数的高阶导数重点:(1)求复变函数在曲线上的积分,(2)会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分,(3)柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分难点:(1)复变函数积分的定义和性质,(2)不定积分的概念重点和难点解答:1.复积分的值不仅与起点和终点有关,而且与积分路径有关,只有当在单连通区域D内解析时,才仅与起点和终点有关,此时沿任何一条曲线上得积分值相等,故可沿某些特殊的曲线进行积分。2.柯西积分定理、复合闭路定理、闭
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