质点系的角动量定理学习培训课件.ppt

1、2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理1Angular momentum theorem of a particle system2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理2Angular momentum theorem of a particle system2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理3质点系对参考点质点系对参考点O的角动量：的角动量：的直角坐标分量：的直角坐标分量：LijkxyzLLLOOOOOOOOOOxixyiyzizLLLLLL 所有的质点都绕所有的质点都绕z-轴作圆周运动轴作圆周运动

2、2zizi iiLLmr ri:质点质点mi距距z-轴的垂直距离；轴的垂直距离；i:质点质点mi的角速度。的角速度。特例特例:质点系内各质点对于质点系内各质点对于O点的角动量的矢量和点的角动量的矢量和LLriiiimvOOLO1r11mvnm2m1mO2rrn22mvnnmv2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理4证明：证明：如果质点系相对一惯性系的总动量为零，则质点系相对如果质点系相对一惯性系的总动量为零，则质点系相对于惯性系中的任何参考点的角动量均相同于惯性系中的任何参考点的角动量均相同证明：证明：在惯性参考系中任选两点在惯性参考系中任选两点O和和O作为参考点

3、作为参考点OriOmiripiiimvO OrO OrrriiOO OO OOO O11111()LrprrprprpLrpnniiinniiiiiiiiini0piiimvOOLL2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理5Angular momentum theorem of a particle system2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理6作用在质点系内各质点上的力对参考点作用在质点系内各质点上的力对参考点O的力矩的矢量和的力矩的矢量和对第对第i个质点个质点:所有外力对所有外力对O点的合力矩点的合力矩所有内力对所有内力对O点

4、的合力矩点的合力矩作用在质点系上的力矩：作用在质点系上的力矩：ext.int.()()()MrFfrFrfMMiiiiiiiiiiOOO对对n个质点求矢量和个质点求矢量和:ext.int.()()MMMMiiiOOOO2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理7Proof:内力总是以作用力内力总是以作用力-反作用力的形式成对出现，每对内反作用力的形式成对出现，每对内力大小相等、方向相反且其作用线共线；力大小相等、方向相反且其作用线共线；和和 :质点系中两质点质点系中两质点m1 和和 m2 间间的作用力和反作用力的作用力和反作用力FF FF m1m2OFF12rr2r1

5、rOF1212()MrFrFrrF由于由于 与与 平行，因此平行，因此OF0Mint0MOiF12rr2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理8O()MrFextiii 由于质点系中各个质点的位置矢量由于质点系中各个质点的位置矢量 不同，因此外力的不同，因此外力的合力矩合力矩不等于外力的不等于外力的合力的力矩合力的力矩.O()MrFrFiiextii ir如果作用在质点系上的所有外力满足以下条件：如果作用在质点系上的所有外力满足以下条件：O()CMrFrFiiiiext 具有相同的方向；具有相同的方向；例例:惯性力惯性力:重力重力 :-aimkim gFiim201

6、0年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理9例：重力矩例：重力矩:Wkiim g CC()()MrWrkrkrkrWWiiiii im ggmgm C()()rrWkkii iimmmmgmm g 作用在质点系上的重力的合力矩等作用在质点系上的重力的合力矩等于作用在质点系质心上的总重力于作用在质点系质心上的总重力 所产生的力矩所产生的力矩 重力对质点系质心的力矩等于零重力对质点系质心的力矩等于零1r2rnr2Wnm2m1mO1WnWzCrWW2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理10证明：证明：如果质点系所受的外力的合力为零，则作用在该质点系如

7、果质点系所受的外力的合力为零，则作用在该质点系上的外力对任何参考点的力矩的矢量和都相同上的外力对任何参考点的力矩的矢量和都相同证明：证明：在惯性参考系中任选两点在惯性参考系中任选两点O和和O作为参考点作为参考点OriOmiriFiO OrO OrrriiOO OO OOO O11111()MrFrrFrFrFMrFnniiinniiiiiiiinii0FiOOMM2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理11Angular momentum theorem of a particle system2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理12

8、OmiripiiimvCFifiLLriiiimvOOOOiOnt()()()()iiiiLrrrrFfrFrfMMMiiiieiiiiiiiiiixteiiiixtddddmmmdtdtdtdtmvvvvvOOO()LMextiddtO:固定参考点固定参考点2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理13LLrCiiiCimvCinCiCiCiCiCit()()()()()()()iCiiCiiiCiiiCiiCiiiiiiextiextiiextexitCiCddddmmmdtdtdtdtdmdtmmmm CiiLrrrrrrFfMMMMMCvvvvvvvvvvvv

9、()LMextCCiddtC:质点系的质心质点系的质心OmiripiiimvCFifiriCrC2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理14OO()LMextiddt固定参考点固定参考点O:()LMextCCiddt质点系的质心质点系的质心C:质点系对固定参考点质点系对固定参考点O或对质点系质心或对质点系质心C的角动量随时间的角动量随时间的变化率等于外力对该点的合力矩的变化率等于外力对该点的合力矩 对对z z轴的角动量定理轴的角动量定理OOOOOO()()(yxixextiyexzizexttdLdLMMdtdLMttdd直角坐标分量直角坐标分量:2010年11月3

10、0日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理15由角动量定理由角动量定理:OO()LMextiddt两边从两边从 t1 到到 t2 积分积分O2O112OOO2O1O()LLMLLLLtexttidtd外力对于外力对于O点的角冲量点的角冲量角冲量角冲量-角动量定理：角动量定理：作用在质点系上的外力在一段时间间作用在质点系上的外力在一段时间间隔内的角冲量等于质点系角动量在这隔内的角冲量等于质点系角动量在这段时间间隔内的改变量段时间间隔内的改变量O:固定参考点或固定参考点或质点系的质心质点系的质心2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理16Angular mome

11、ntum theorem of a particle system2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理17如果作用在质点系上外力矩等于零，则质点系如果作用在质点系上外力矩等于零，则质点系的角动量守恒的角动量守恒由角动量定理：由角动量定理：如果如果 ,则则 是常矢量是常矢量 角动量守恒定律：角动量守恒定律：O:固定参考点或固定参考点或质点系的质心质点系的质心()0iMextOLOOO()LMextiddt2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理18dtdLMzextizOO)(由对由对z轴的角动量定理：轴的角动量定理：如果如果 (MOi

12、z)ext=0,则则 LOz 是常数是常数对对z轴轴的的角动量守恒定律：角动量守恒定律：如果作用在质点系上外力对如果作用在质点系上外力对z轴的力矩等于零，则轴的力矩等于零，则质点系对质点系对z轴的角动量守恒轴的角动量守恒2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理19l 在如下三种情况下外力矩为零在如下三种情况下外力矩为零:1.1.质点系是孤立的系统质点系是孤立的系统 不受任何外力的作用；不受任何外力的作用；2.2.所有外力都是有心力，力心位于参考点所有外力都是有心力，力心位于参考点O;3.3.有外力作用在质点系上，但外力的合力矩为零。有外力作用在质点系上，但外力的合力

13、矩为零。l角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量或能角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量或能量守恒定律中量守恒定律中l关于质点系的内力矩关于质点系的内力矩:不影响质点系的总角动量，但改变单个质点的不影响质点系的总角动量，但改变单个质点的角动量；角动量；内力为冲力时，可忽略有限外力的力矩内力为冲力时，可忽略有限外力的力矩 质质点系的点系的总角动量守恒。总角动量守恒。2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理20所有的质点都绕所有的质点都绕z-轴作圆周运动轴作圆周运动iiiizzrmLL2i f LzLz对对z轴角动量守恒的例子：轴角动量守恒的例子：茹可

14、夫斯基凳茹可夫斯基凳irimi2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理21理想滑轮悬挂两质量为理想滑轮悬挂两质量为m的砝码盘。用轻线拴住的砝码盘。用轻线拴住轻弹簧的两端使它处于压缩状态，将此弹簧竖直轻弹簧的两端使它处于压缩状态，将此弹簧竖直放在一砝码盘上，弹簧上端放一质量为放在一砝码盘上，弹簧上端放一质量为m 的砝的砝码，另一砝码盘上也放一质量为码，另一砝码盘上也放一质量为m的砝码，使两的砝码，使两盘静止。燃断轻线，弹簧达到自然伸展状态即与盘静止。燃断轻线，弹簧达到自然伸展状态即与砝码脱离。求法码升起的高度。已知弹簧的劲度砝码脱离。求法码升起的高度。已知弹簧的劲度系

15、数为系数为k，被压缩的长度为，被压缩的长度为L05.2.2)mmmmvv v运动过程分析：运动过程分析：1.线烧断到砝码脱离弹簧：砝码向上运动，左侧砝码盘向线烧断到砝码脱离弹簧：砝码向上运动，左侧砝码盘向下运动，右侧砝码盘向上运动；下运动，右侧砝码盘向上运动；2.砝码脱离弹簧：砝码作上抛运动砝码脱离弹簧：砝码作上抛运动2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理22解解：1、线烧断到砝码脱离弹簧：、线烧断到砝码脱离弹簧：mmmmvj-vjv jxyTTrO2mg2mg1）砝码和砝码盘组成的质点系对）砝码和砝码盘组成的质点系对z轴的角动轴的角动量守恒量守恒初态：砝码和砝码

16、盘静止初态：砝码和砝码盘静止 Lz=0末态：末态：被弹起的砝码：被弹起的砝码：1)(mmrLrk vvj左侧砝码盘：左侧砝码盘：11)(mmLrkr jvv右侧砝码盘：右侧砝码盘：22(2)2mLmrrkvvj120LLL 20mrmrmr vvv3vv在燃断轻线后、砝码在弹离弹在燃断轻线后、砝码在弹离弹簧前的任意时刻都适用簧前的任意时刻都适用2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理23解解：1、线烧断到砝码脱离弹簧：、线烧断到砝码脱离弹簧：mmmmvj-vjv jxyTTrO2mg2mg2）砝码、砝码盘和地球组成的系统机械能守恒）砝码、砝码盘和地球组成的系统机械能

17、守恒l体系动能的改变量：体系动能的改变量：222111222223122223(2)kEmmmmmmvvvvvv13vvl体系弹性势能的改变量：体系弹性势能的改变量：弹簧由被压缩弹簧由被压缩L0到自然伸长到自然伸长2120soEkL2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理24解解：1、线烧断到砝码脱离弹簧：、线烧断到砝码脱离弹簧：mmmmvj-vjv jxyTTrO2mg2mg2）砝码、砝码盘和地球组成的系统机械能守恒）砝码、砝码盘和地球组成的系统机械能守恒l体系重力势能的改变量：体系重力势能的改变量：砝码脱离弹簧时砝码与砝码盘间距离增加砝码脱离弹簧时砝码与砝码盘间

18、距离增加了了L0，砝码盘下降了，砝码盘下降了 y，砝码上升了，砝码上升了 y0000333ttttydtydtdtdtyy vvvv310044yLyL 由由 y +y=L0，得：，得：右侧的砝码和法码盘向上移动了右侧的砝码和法码盘向上移动了 y。31100004442wEmgLmgLmgLmgL2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理25解解：1、线烧断到砝码脱离弹簧：、线烧断到砝码脱离弹簧：mmmmvj-vjv jxyTTrO2mg2mg2）砝码、砝码盘和地球组成的系统机械能守恒）砝码、砝码盘和地球组成的系统机械能守恒l由机械能守恒：由机械能守恒：0wskEEE

19、22210032220003342mmgLkLkLgLm vv2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理26解解：2、砝码脱离弹簧后作上抛运动：、砝码脱离弹簧后作上抛运动：mmmmvj-vjv jxyTTrO2mg2mg 设砝码作上抛运动上升的高度为设砝码作上抛运动上升的高度为h212mmghv220304328kLhLgmgv3、砝码上升的总高度：、砝码上升的总高度：2038kLhhymg2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理27Angular momentum theorem in Center Of Mass system2010年

20、11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理285.3.1 惯性系惯性系K:O-xyz.质心系质心系C:C-xyz.miCyzxivriO()iCCCLrrrrrLriiiiiiiiiiCCmmmmMvvvvv()LrrrrLCiiiiCiiiiCCiiimmmmvvvvvmiCCvivrirCriOirrriCiCi vvv2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理29Angular momentum theorem in Center Of Mass system2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理30对第对第i个质点

21、运用对个质点运用对C点的角动量定理：点的角动量定理：()LrFrfraCiiiiiiCid-mdt5.3.2 fiiFaCimmiCyzxivriLrLrCiiiiiCimmivv对对n个质点求和：个质点求和：()iLLrFrfraCiCiiiiCidd-mdtdt内力对于内力对于C点的点的力矩力矩,=0外力对于外力对于C点点的的力矩力矩:CiMext平动惯性力对平动惯性力对C点的点的力矩力矩:IM()0MraraiIiiiicicmm LMexCitCddt2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理315.3.2 fiiFaCimmiCyzxivri对质心的角动量定

22、理：对质心的角动量定理：LMexCitCddt如果如果 则则 =常矢量常矢量CiMext 质心系中的角动量守恒定律质心系中的角动量守恒定律CL2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理32 质心系中对质心的角动量定理质心系中对质心的角动量定理:与惯性系中与惯性系中相对于固定参考点的质点系角动量定理形式相同相对于固定参考点的质点系角动量定理形式相同5.3.2 优点：不需要分析质点系整体平动的角动量。优点：不需要分析质点系整体平动的角动量。在质心系中，棒球棒对质心的在质心系中，棒球棒对质心的角动量守恒：角动量守恒：LMCCddt忽略阻力；忽略阻力；重力对质心的力矩为零重力

23、对质心的力矩为零2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理335.3.2 描述质点系整体运动的基本动力学方程描述质点系整体运动的基本动力学方程1.质心运动定理质心运动定理:外力的合力使质点系随其质心平动外力的合力使质点系随其质心平动221rFanCCiidmmdt2.角动量定理角动量定理:外力的力矩使质点系绕空间某点转动外力的力矩使质点系绕空间某点转动()LMextOOiddt(O:固定点或质点系质心固定点或质点系质心)惯性系：惯性系：()LMexCitCddt质心系：质心系：2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理342010年11月30

24、日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理351.对称性对称性对一个事物进行一次变动或操作，如果经过操作后，该事对一个事物进行一次变动或操作，如果经过操作后，该事物完全复原，则称该事物对所经历的操作是物完全复原，则称该事物对所经历的操作是对称对称的的.而该而该操作就叫操作就叫对称操作对称操作.l定义定义(德国数学家魏尔（德国数学家魏尔（H.Weyl）1951年给出年给出)：l常见的对称性常见的对称性 O(1)镜象对称或镜象对称或左右对称左右对称(2)转动对称转动对称(3)平移对称平移对称d2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理365.4 2.对称性概念在物理

25、学中的应用对称性概念在物理学中的应用(1)加速度对伽利略变换具有对称性加速度对伽利略变换具有对称性(2)牛顿第二定律对伽利略变换具有对称性牛顿第二定律对伽利略变换具有对称性(3)动量守恒定律对伽利略变换具有对称性动量守恒定律对伽利略变换具有对称性 对称性概念在现代物理学中具有重要作用对称性概念在现代物理学中具有重要作用.它为物理学它为物理学家致力于认识错综复杂的宇宙提供了强有力的工具家致力于认识错综复杂的宇宙提供了强有力的工具.2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理372010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理38 在物理学中具有更深刻意

26、义的是物理定律的对称性在物理学中具有更深刻意义的是物理定律的对称性.物理定律的对称性是指经过一定的操作后，物理定律的物理定律的对称性是指经过一定的操作后，物理定律的形式保持不变，因此物理定律的对称性又叫不变性形式保持不变，因此物理定律的对称性又叫不变性.关于物理定律的对称性有一条很重要的定律：关于物理定律的对称性有一条很重要的定律：对应对应于每一种对称性都有一条守恒定律于每一种对称性都有一条守恒定律.如：对应于空间均如：对应于空间均匀性的是动量守恒定律；对应于空间的各向同性的是角匀性的是动量守恒定律；对应于空间的各向同性的是角动量守恒定律；对应于空间反演对称的是宇称守恒定律；动量守恒定律；对应

27、于空间反演对称的是宇称守恒定律；对应于量子力学相移对称的是电荷守恒定律等等对应于量子力学相移对称的是电荷守恒定律等等.物理物理定律的时间平移对称性决定了能量守恒定律的时间平移对称性决定了能量守恒.2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理391.机械能对空间坐标系平移对称性与动量守恒机械能对空间坐标系平移对称性与动量守恒 设体系由两个相互作用的粒子组成设体系由两个相互作用的粒子组成.且只限于在且只限于在x轴上运动（如轴上运动（如图）图）,不受其它外力不受其它外力.x1x2xx当两粒子间的距离当两粒子间的距离 x=x2-x1时，时，体系的势能体系的势能),(21ppxx

28、EE 当体系发生一平移当体系发生一平移 x 时，两粒子的坐标为时，两粒子的坐标为xxxx ,21 但两者的距离仍为但两者的距离仍为 x=x2-x1.xx1 xxx2 2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理40 xFxE211p xFxE122p 0d)(d21 tppxx即动量守恒即动量守恒.空间的平移对称必性意味着势能空间的平移对称必性意味着势能 Ep 应与应与 x无关无关.势势能对空间坐标系平移保持不变性要求能对空间坐标系平移保持不变性要求0)(2p1p2p1pp xxExExxExxEE即即 02p1p xExE粒子受力粒子受力 又得又得 01221 xxF

29、F即即 2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理412.机械能对空间坐标系转动对称性与角动量守恒机械能对空间坐标系转动对称性与角动量守恒 设体系由两个相互作用的质点组成，其中一个设体系由两个相互作用的质点组成，其中一个质点位于坐标原点且保持静止，另一质量为质点位于坐标原点且保持静止，另一质量为m的质的质点处于运动状态且不再受其它力的作用点处于运动状态且不再受其它力的作用.BAA s t)(ABF 空间坐标无限小转动空间坐标无限小转动,运动质点的位置矢量和速度矢量增量为运动质点的位置矢量和速度矢量增量为 rr vv 机械能对坐标系旋转的不变性有机械能对坐标系旋转的不变

30、性有0)()21(pp2 EvvmEmvE2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理42表明质点受有心力作用，有心力对力心的力矩等表明质点受有心力作用，有心力对力心的力矩等于零，角动量守恒于零，角动量守恒.0)()(k vvmvvmE 0p E)(pprEE 2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理435.4 3.机械能对时间平移对称性与机械能守恒机械能对时间平移对称性与机械能守恒 设体系由两个相互作用的质点组成，其中一个质点位于坐标设体系由两个相互作用的质点组成，其中一个质点位于坐标原点且保持静止，另一质量为原点且保持静止，另一质量为m速

31、度为速度为 vx 的质点位于的质点位于x处处.系统总机械能系统总机械能:(,)xEE xtv机械能对时间平移具有对称性，则机械能对时间平移具有对称性，则 0EEtt(,)()()xkxpEE xEExvvpkd()d()dddddddd0 xxxxxxxExEExttxtmaFvvvvv即即 E=常量常量 2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理442010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理45速度距离cC/1010-15mproton10-10 matom1020 m量子力学Quantummechanics经典力学Classical me

32、chanics宇宙学Cosmology相对论量子力学Relativistic QM相对论力学Relativistic mechanics相对论宇宙学Relativisticcosmology经典物理学和近代物理学的研究领域：经典物理学和近代物理学的研究领域：2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理462010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理47角动量角动量力矩力矩角动量定理角动量定理1.1.角动量角动量l对参考点对参考点O的角动量的角动量l对对z z轴的角动量轴的角动量:()rpkzL Lrprmv()rFkzM OMrF2.2.力矩力矩

33、l对参考点对参考点O的力矩的力矩l对对z z轴的力矩轴的力矩:2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理48OOLMddt3.质点的角动量定理质点的角动量定理 l对固定参考点对固定参考点 O:l对对z轴轴:dtdLMzzl角冲量角冲量-角动量定理角动量定理:O212O1OOO2O1OLLMLLLLttdtdl角动量守恒定律角动量守恒定律:O0MOL 恒矢量2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理494.质点系的角动量定理质点系的角动量定理 质点系对参考点质点系对参考点O的角动量的角动量对参考点对参考点O的力矩的力矩总的外力矩总的内力矩l重力

34、矩重力矩:()MrWrWWiic LLriiiimOOvext.int.()()MMMiiOOOint0MOi2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理50力矩与角动量间的关系力矩与角动量间的关系()()LMOeOiOCxtdmdtvv质点系的角动量定理质点系的角动量定理:()LMextOOiddtO:固定点或质点系的质心固定点或质点系的质心 质点系对质点系对 z-轴的角动量定理轴的角动量定理dtdLMzextiz)(2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理51 质点系的角冲量质点系的角冲量-角动量定理角动量定理211221()LLMLLL

35、LOOteOiOOxtOOtdtd 对固定参考点对固定参考点 O 或质心的角动量守恒定律或质心的角动量守恒定律If ,then is a constant vector 0)(extiMOOL2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理52 质心系中对质心质心系中对质心C的角动量的角动量质心系中对质心的角动量定理质心系中对质心的角动量定理LMCCddt21C2C1LCCLMLLttCdtd5.质心系中的角动量定理质心系中的角动量定理角动量的变换角动量的变换CCCmLrLOvLLrCiiiCimv2010年11月30日 8:00-9:505.2 质点系的角动量定理53描述质点系动力学问题的两个基本方程：描述质点系动力学问题的两个基本方程：1.1.质心运动定理：质心运动定理：2.2.角动量定理：角动量定理：()LMextOOiddtO:固定点或质点系的质心固定点或质点系的质心221rFanCCiidmmdt