河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理）试题（解析版）.doc

1、 20172017- -20182018 学年度上学期高三年级七调考试学年度上学期高三年级七调考试 数学（理科）试卷数学（理科）试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1. 设集合，全集 ，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】,所以,故选 C. 2. 若复数 满足（ 为虚数单位） ，则 的虚部是（ ） A. -2 B. 4 C. D. -4 【答案】B 【解析】,虚部为 ,

2、故选 B. 3. 已知 ， ， ， 成等差数列， ， 成等比数列，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】依题意可知,所以. 4. 如图，5 个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ） A. 相关系数 变大 B. 残差平方和变大 C. 相关指数变大 D. 解释变量 与预报变量 的相关性变强 【答案】B 【解析】依据线性相关的有关知识可知：去掉数据后相关系数 变大；相关指数也变大； 同时解释变量与预报变量 的相关性也变强，相应的残差平方和变小，故应选答案 C。 5. 已知， 分别是椭圆 的左、右焦点，若椭圆上存在点 ，使，则该椭圆的 离心率 的取值范围为（ ） A. B. C

3、. D. 【答案】B 【解析】由椭圆上存在点 ，使可得以原点为圆心，以 c 为半径的圆与椭圆有公共点， ， ， 。 由， ，即椭圆离心率 的取值范围为。选 B。 点睛：求椭圆离心率或其范围的方法 (1)求出 a，b，c的值，由直接求 (2)列出含有 a，b，c的方程(或不等式)，借助于消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不等式)求解 6. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面 体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】将四面体放在如图正方体中，得到如图四面体，得到如图的左视图，故选 B.

4、7. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由于,故排除 选项.,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除 选 项. ,排除 选项,故选 B. 8. 更相减损术是中国古代数学专著九章算术中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者， 副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入 ，则输出 的值是（ ） A. 68 B. 17 C. 34 D. 36 【答案】C 【解析】依据题设中提供的算法流程图可知：当 时，此时， 则； 这时， 此时， 这时， 输出，运算程序结束，应选答案 C。 点睛：本题的求解要充分借助题设的

5、算法流程图中提供的算法规则，按照程序中提供的算法步骤进行操作 和运算，最终求出算法程序结束时输出的结论是。 9. 已知 为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立， 则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,故函数在区间上递增,故函数在上递减.所以 ,解得,故选 B. 10. 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时， 连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于，广告的总播放时长不少于，且甲连续剧 播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍，分别用

6、 ， 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要 使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ） A. 6，3 B. 5，2 C. 4，5 D. 2，7 【答案】A 【解析】 依题意得,目标函数为,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点 处取得最大值.故选 A. 11. 已知在正四面体中， 是棱的中点， 是点 在底面内的射影，则异面直线 与所成角 的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如图，设正四面体的棱长是 1，则，高，设点 在底面内的射影是 ， 则，所以即为所求异面直线所成角，则，应选答案 B。 点睛：解答本题的关键是依据异面直线所成

7、角的定义，先找出异面直线与 所成的角，再运用解直角三角形的知识求出，从而使得问题巧妙获解。 12. 已知， ，其中，若函数在区间内没有零点，则 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】,故,或,解得或.故选 D. 【点睛】本小题主要考查数量积的坐标运算,考查利用辅助角公式进行三角函数式子的化简合并,考查函数零 点个数的问题,考查运算求解能力.首先利用两个向量数量积的坐标运算,将题目所给向量的数量积表达式求 解出来,用辅助角公式合并后结合函数的周期和零点列出不等式,求解得 的取值范围. 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在

8、答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 如图，在半径为 2 的扇形中， 为弧上的一点，若，则的值为 _ 【答案】 【解析】因为,所以 以 O 为坐标原点,OA为 x轴建系，则 14. 若从区间（ 为自然对数的底数， ）内随机选取两个数，则这两个数之积小于 的概率为 _ 【答案】 【解析】设，由，得，所以所求概率 点睛： (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解 (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变 量，在坐标系中表示所需要的区域 （3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为

9、点，尽管这些点是无限的， 但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率 15. 已知在中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列四个论断中正确的是_ （把你认 为是正确论断的序号都写上） 若，则； 若，则满足条件的三角形共有两个； 若 ， ， 成等差数列，成等比数列，则为正三角形； 若，的面积，则. 【答案】 【解析】对于,由正弦定理得,即,故,所以正确.对于,由余弦定理得 解得,故有唯一解,所以错误.对于.由正弦定理得,而,所以 为正三角形,所以正确.对于:根据面积公式有,此时角 应该对应两个解,一个 钝角一个锐角,故错误.综上所述正确. 【点睛】本小题主要考查正

10、弦定理和余弦定理解三角形,考查同角三角函数的基本关系式,考查解三角形解的 个数的判断和三角形的面积公式.第一问,由于两边的数量都是有一个,故可以考查用正弦定理将边转化为 角.第三问是利用正弦定理将角转化为边,在边角互化的过程中要注意对称性. 16. 设椭圆 的两个焦点是，过点的直线与椭圆 交于 ， 两点，若，且 ， 则椭圆 的离心率为_ 【答案】 【解析】画出图形如下图所示。 由椭圆的定义可知：。 ， 。 ， ，。 在中，由余弦定理可得：, 在中，由余弦定理可得：。 ， ,整理得， 。 答案：。 点睛：本题考查椭圆的离心率的求解，解决问题的关键是画出图形，由题意和椭圆的定义和已知关系并结 合余

11、弦定理，分别在和中得到关于 a 和 c 的等式；然后由可得 ，综合两式可得，进而由离心率的定义可求得答案。本题运算量较大，需要 学生由较高的处理数据的能力。 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 已知数列的前 项和满足 . （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前 项和. 【答案】 （1）.（2）. 【解析】 【试题分析】(1)利用求得数列的通项公式.(2)利用错位相减求和法求得数列的前 项和. 【试题解析】 （1）当时，所以； 当时，则， 即.又

12、因为，所以数列是以 1 为首项，3 为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）得，所以， ， ，得 ， 所以. 18. 如图， 在四棱柱中，底面是梯形，侧面 为菱形，. （1）求证：. （2）若， 在平面内的射影恰为线段的中点，求平面与平 面所成锐二面角的余弦值. 【答案】 （1）见解析.（2）. 【解析】试题分析： （1）考虑用向量法来证明，即计算来证明.具体方法是将转化为 同起点的向量，即，利用， 可求得； （2）设线段的中点为 以射线射线、射线为 轴、 轴、 轴的正方向建 立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值为. 试题解析： （1）解一：因为侧面为菱形，所以，又，所以 ， （2

13、）设线段的中点为 ，连接，由题意知平面，因为侧面为菱形，所以 ，故可分别以射线射线、射线为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系。 设，由可知，所以，从而 ，所以 由可得，所以 设平面的一个法向量为， 由， 得取， 则，所以又平面的法向量为，所以 考点：空间向量证明垂直与求二面角. 19. 某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔 50 万元. 保险公司把职工从事的所有岗位共分为 ， ， 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的赔付 频率如下表（并以此估计赔付概率）. （1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的，试分别确定各类

14、工种每份保单保费 的上限； （2）某企业共有职工 20000 人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板准备为全体职工购买此种保 险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润. 【答案】 （1）6.25 元，12.5 元，62.5 元. （2）55000（元）. 【解析】试题分析： （I）设工种 每份保单的保费，则需赔付时，收入为，根据概率分布可计 算出保费的期望值为，令解得.同理可求得工种保费的期望值； （II）按照每个工种 的人数计算出份数然后乘以（1）得到的期望值，即为总的利润. 试题解析： （）设工种 的每份保单保费为 元，设保险公司每单的收益为随机变

15、量 ，则 的分布列为 保险公司期望收益为 根据规则 解得元， 设工种 的每份保单保费为 元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据 规则，解得元， 设工种 的每份保单保费为 元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则 ，解得元. （）购买 类产品的份数为份， 购买 类产品的份数为份， 购买 类产品的份数为份， 企业支付的总保费为 元， 保险公司在这宗交易中的期望利润为元. 20. 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为 .一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设 为该双曲线上异于顶点的任 意一点，直线和与椭圆的

16、交点分别为 ， 和 ， ，且点在 轴的同一侧. （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）是否存在题设中的点 ，使得？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理 由. 【答案】 （1）（2）. 【解析】试题分析： （1）由椭圆定义可得 ，再结合离心率为 ，解出， 由双曲线的顶点是该椭圆的焦点，得,再根据实轴长等于虚轴长得（2）设 P 点坐标，利用点斜 式表示直线 AB,CD 方程,利用韦达定理及弦长公式求；根据椭圆性质确定直线 AB,CD 斜率关系， 根据焦点三角形求向量夹角，综合条件可解得 P 点坐标 试题解析：解： （1）由题意知，椭圆离心率为 ，得，又 ，所以可解得， ，所以，所以椭圆的标

17、准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0） ，因为双曲 线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为 （2） 设， 则，在双曲线上， 设 方程为， 的方程为，设，则 ， ， 同理， 由题知， ， . ， ,. 点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用 韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法 计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦 的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法. 21. 已知函数，函数， . （1）求函数的单调区间；

18、（2）若不等式在区间内恒成立，求实数 的取值范围； （3）若，求证不等式成立. 【答案】 （1）见解析.（2）.（3）见解析. 【解析】试题分析：对函数求导，讨论 ，确定单调区间和单调性；作差构造新函数，利用导数 判断函数的单调性，根据不等式恒成立条件，求出 的范围；借助第二步的结论，证明不等式. 试题解析： （） ， 当时，增区间，无减区间 当时，增区间，减区间 （） 即在上恒成立 设，考虑到 ，在上为增函数 ，当时， 在上为增函数，恒成立 当时， 在上为增函数 ，在上，递减， ，这时不合题意， 综上所述， （）要证明在上， 只需证明 由（）当 a=0 时，在上，恒成立 再令 在上，递增，所

19、以 即，相加，得 所以原不等式成立. 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 以平面直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线 的极坐标方程为，曲线 的参数方程是，( 为参数). （1）求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程； （2）设直线 与曲线 交于两点，求. 【答案】 （1）（2）1. 学| 科|网.学|科|网.学|科|网.学|科|网.学|科|网.学|科|网.学|科|网. 【试题解析】 （1）由，得，

20、 令，得. 因为，消去 得， 所以直线 的直角坐标方程为，曲线 的普通方程为. （2）点的直角坐标为，点在直线 上. 设直线 的参数方程为， （ 为参数） ，代入，得. 设点对应的参数分别为 ， ，则， 所以 . 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数，. （1）求不等式的解集； （2）若，使得不等式成立，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）或.（2）. 【解析】 【试题分析】(1)利用零点分段法去绝对值,将转化为分段函数来求得不等式的解集.(2)依题意有 ,对 分类讨论函数的最小值,由此得到 的取值范围. 【试题解析】 （1），即，此不等式等价于或或 ，解得或，所以的解集为或. （2）因为，使得成立， 所以.又，所以. 当，即时，解得，所以； 当，即时，解得，所以； 当，即时，解得或， 所以或.综上，实数 的取值范围为.