数学建模培训讲义 建模概论与初等模型课件.pptx

1、数学建模讲义数学建模讲义建模概论与初等模型建模概论与初等模型风洞中的飞机风洞中的飞机物理模型物理模型地图、电路图地图、电路图符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物替代物。模型模型集中反映了原型中集中反映了原型中人们需要人们需要的那一部分特征的那一部分特征.我们常见的模型什么是数学模型什么是数学模型一、数学建模概论一、数学建模概论玩具、照片玩具、照片实物模型实物模型数学模型数学模型 (Mathematical Model)数学建模数学建模（Mathematical Mode

2、ling)数学建模数学建模指建立数学模型的全过程。指建立数学模型的全过程。包括模型建立、求解、分析、检验包括模型建立、求解、分析、检验。数学模型数学模型对于一个现实对象，为了一个特定目的，对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内规律，作出必要的简化假设，运用适当的数根据其内规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个学工具，得到的一个数学结构数学结构。数学建模数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种是利用数学方法解决实际问题的一种实践过程实践过程.即通过抽象、简化、假设、引进变量等处即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后理过程后,将实际问题用数学方式表达，以建立起数将实际

3、问题用数学方式表达，以建立起数学模型学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解求解.观点：观点：“所谓所谓高科技高科技就是一种就是一种数学技术数学技术”数量关系数量关系1.解释解释孟德尔遗传定律的孟德尔遗传定律的“3:1”数学建模数学建模三大功能三大功能解释解释,判断判断,预见预见 美国原子能委美国原子能委员会提出如下处理员会提出如下处理浓缩放射性废物：浓缩放射性废物：封装入密封性很好封装入密封性很好的坚固的圆桶中，的坚固的圆桶中，沉入沉入300ft的海里的海里，而一些工程师提出而一些工程师提出质疑？需要判断方质疑？需要判断方案的合理性。案的合理性

4、。2.判断判断放射性废物处理放射性废物处理3.预见预见谷神星的发现谷神星的发现 nR234101 行星的轨行星的轨道半径道半径5,4,2,1,0,10 n水、金、地、火、木、土水、金、地、火、木、土1781年年,利用这个结果发现了天王利用这个结果发现了天王星星,1802年，发现了谷神星与年，发现了谷神星与3对对应应(有故事有故事)，之后还发现了海王星、，之后还发现了海王星、冥王星。冥王星。浮浮Fvf08.0 阻阻重重Fsftv/40300 你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型航行问题航行问题用用x表示船速，表示船速，y表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx

5、求解得到求解得到 x=20=20,y=5,=5,答：船速每小时答：船速每小时2020公里公里.甲乙两地相距甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行公里，船从甲到乙顺水航行需需30小时，从乙到甲逆水航行需小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速小时，问船的速度是多少？度是多少？航行问题建立数学模型的基本步骤航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设作出简化假设(船速、水速为常数船速、水速为常数,方向一致方向一致);用符号表示有关量用符号表示有关量(x,y表示船速和水速表示船速和水速)；用物理定律用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以匀速运动的距离等于速度乘以 时间时间)列出数学式子列出数学

6、式子(二元一次方程二元一次方程)；求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20,y=5）；）；回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20公里）。公里）。录象机计数器的用途录象机计数器的用途问问题题经试验，一盘录像带从头走到尾，经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了时间用了183分分30秒，计数器读数从秒，计数器读数从0000变到变到6152。在一次使用中录在一次使用中录像像带已带已经转过大半，计数器读数为经转过大半，计数器读数为4580，问剩，问剩下的一段还能否录下下的一段还能否录下1小时的节目？小时的节目？要要求求不仅仅回答问题不仅仅回答问题,而且建立计数器读数与而且建立计数器读数与录

7、录像像带转过时间的带转过时间的关系关系一个数学模型一个数学模型!思考思考本题中计数器读数是均匀增长的吗？本题中计数器读数是均匀增长的吗？日常问题：日常问题：常见的录音机的转轴转动是匀速的吗常见的录音机的转轴转动是匀速的吗?问问 题题 分分 析析录象机计数器的工作原理录象机计数器的工作原理0000左轮盘左轮盘右轮盘右轮盘磁头磁头主动轮主动轮压轮压轮计数器计数器录象带录象带录象带运动方向录象带运动方向录象带运动录象带运动右轮盘半径增大右轮盘半径增大右轮转速不是常数右轮转速不是常数录象带运动速度是常数录象带运动速度是常数计数器读数增长变慢计数器读数增长变慢观察或分析观察或分析:计数器读数增长越来越慢

8、！计数器读数增长越来越慢！模 型 假 设 录象带的运动速度是常数录象带的运动速度是常数 v；计数器读数计数器读数 n与右轮转数与右轮转数 m成正比，记成正比，记 m=kn；录象带厚度录象带厚度(含夹在两圈间的空隙含夹在两圈间的空隙)为常数为常数 w；空右轮盘半径记作空右轮盘半径记作 r；时间时间 t=0 时读数时读数 n=0.建 模 目 的建立建立时间时间t与读数与读数n之间的关系之间的关系(设设v，k，w，r 为已知参数为已知参数)模 型 建 立建立建立t与与n的函数关系有多种方法的函数关系有多种方法:1.右轮盘转过第右轮盘转过第 i 圈的半径为圈的半径为r+wi,m圈的总长度圈的总长度 等

9、于录象带在时间等于录象带在时间t内移动的长度内移动的长度vt,所以所以 knm 模 型 建 立2.考察右轮盘面积的考察右轮盘面积的变化变化,等于录象带厚度等于录象带厚度乘以转过的长度乘以转过的长度,即即wvtrwknr )(22 3.考察考察t到到t+dt录象带在录象带在右轮盘缠绕的长度右轮盘缠绕的长度,有有vdtkdnwknr 2)(思思 考考wvtrwknr )(22 vdtkdnwknr 2)(1.31.3种建模方法得到同一结果种建模方法得到同一结果2.2.模型中有待定参数模型中有待定参数,kvwr 确定参数的一种办法是测量或调查，试设计确定参数的一种办法是测量或调查，试设计测量方法测量

10、方法参数估计参数估计.参 数 估 计将模型改记作将模型改记作,2bnant只需估计只需估计,ba理论上，已知理论上，已知t=183.5,n=6152,再有一组再有一组(t,n)数据即可；数据即可；实际上实际上,由于测试有误差由于测试有误差,最好用足够多的数据作拟合。最好用足够多的数据作拟合。若现有一批测试数据若现有一批测试数据：用用最小二乘法最小二乘法可得可得.1044.1,1051.226 bat020406080n00001153204528003466t100120140160183.5n40684621513556196152模模 型型 检检 验验应该另外测试一批数据检验模型：应该另外

11、测试一批数据检验模型：bnant 2)1044.1,1051.2(26 ba模模 型型 应应 用用1.回答提出的问题：由模型算得回答提出的问题：由模型算得 n=4580 时时 t=118.5分分,剩下的录象带能录剩下的录象带能录 183.5-118.5=65分钟的节目，可分钟的节目，可以录制以录制60分钟的节目。分钟的节目。2.揭示了揭示了“t 与与 n 之间呈二次函数关系之间呈二次函数关系”这一普遍规这一普遍规 律，当录象带的状态改变时，只需重新估计律，当录象带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。即可。基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反根据对客观事

12、物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律。映内部机理的数量规律。将研究对象看作将研究对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型的统计分析，找出与数据拟合最好的模型二者结合二者结合 机理分析建立模型结构机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数测试分析确定模型参数 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤机理分析机理分析没有统一的方法，主要通过没有统一的方法，主要通过实例研究实例研究(Case Studies)来学习来学习.以下建模主要指机理分析以下建模主要指机理分析.数数 学学 建建 模模 的的 一一 般般 步步 骤骤模型准备模型准备模型假设模型假设

13、模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用数学模型的分类：数学模型的分类：按研究按研究方法和对象的数学特征方法和对象的数学特征分：初等模分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型等。论模型、逻辑模型、稳定性模型等。按研究按研究对象的实际领域对象的实际领域（或所属学科）（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。污染模型、经

14、济模型、社会模型等。为了便于学习掌握，可对数学模型做适当为了便于学习掌握，可对数学模型做适当的分类：的分类：数数 学学 建建 模模 的的 重重 要要 意意 义义 电子计算机的出现及飞速发展电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。越来越受到人们的重视。数学建模数学建模计算机技术计算机技术如虎添翼如虎添翼知识经济知识经济四、近几年全国大学生数学建模竞赛题四、近几年全国大学生数学建模竞赛题1994A逢山开路B锁具装箱1995A一个飞

15、行管理问题B天车与冶炼炉的作业调度1996A洗衣机节水问题B最优捕鱼问题1997A零件的参数设计B最优截断切割问题1998A投资的收益和风险投资的收益和风险B灾情巡视路线灾情巡视路线1999A自动化车床管理自动化车床管理B钻井布局钻井布局2000ADNADNA序列分类序列分类B钢管订购和运输钢管订购和运输2001A血管三维重建血管三维重建B公交车调度公交车调度2002A彩票问题彩票问题B车灯优化设计车灯优化设计2003ASARSSARS预测预测B露天矿车辆安排露天矿车辆安排2004A奥运会临时超市网点设计奥运会临时超市网点设计B电力市场的输电阻塞管理电力市场的输电阻塞管理 2005A 长江水质

16、的评价和预测长江水质的评价和预测 BDVDDVD在线租赁在线租赁 2006A出版社的资源配置出版社的资源配置 B艾滋病疗法的评价及疗效的预测艾滋病疗法的评价及疗效的预测 2007A中国人口增长预测中国人口增长预测 B乘公交，看奥运乘公交，看奥运2008A数码相机定位数码相机定位 B高等教育学费标准探讨高等教育学费标准探讨 2009A制动器试验台的控制方法分析制动器试验台的控制方法分析 B眼科病床的合理安排眼科病床的合理安排 2010A储油罐的变位识别与罐容表标定储油罐的变位识别与罐容表标定 B20102010年上海世博会影响力的定量评估年上海世博会影响力的定量评估 怎怎 样样 学学 习习 数数

17、 学学 建建 模模数学建模与其说是一门数学建模与其说是一门技术技术，不如说是一门，不如说是一门艺术艺术!技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无法归纳成普遍适用的准则想象力想象力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目创新意识创新意识数学建模的论文结构数学建模的论文结构1、摘要、摘要问题、模型、方法、结果问题、模型、方法、结果2、问题重述、问题重述4、分析与建立模型、分析与建立模型5、模型求解、模型求解6、模型检验、模型检验7、模型推广、模型推广8、参考

18、文献、参考文献9、附录、附录3、模型假设、模型假设谢谢 谢谢 ！例例1 哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题符号表示符号表示“一笔画问题一笔画问题”(抽象分析法抽象分析法)游戏问题游戏问题图论图论(创始人欧拉创始人欧拉)完美的回答完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇连通图中至多两结点的度数为奇数，则该图可一笔画数，则该图可一笔画.二、初等模型二、初等模型(1111)(1110)(1010)(1011)(1101)(0000)(0001)(0101)(0100)(0010)例例2 人狗鸡米过河问题人狗鸡米过河问题模型表示模型表示：建立建立(人人,狗狗,鸡鸡,米米)的的4维维0/1向量向量;是一个简

19、单的游戏，但可以建立经典计算机是一个简单的游戏，但可以建立经典计算机编程求解。编程求解。如如:(1,0,1,0)表示狗、米已过河表示狗、米已过河,人、鸡没有等人、鸡没有等;可取状态：可取状态：24610种种可取过河方式可取过河方式：4种种(1100)(1010)(1001)(1000)运算方式：运算方式：按位异或运算按位异或运算(xor)例：一次运算过程例：一次运算过程(1111)xor(1100)(1010)(1001)(1000)(0011)(0101)(0110)(0111)XOXX图论解法：图论解法：(1111)(1110)(1010)(1011)(1101)(0000)(0001)(

20、0101)(0100)(0010)示例示例3 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗?问题问题四条腿一样长的方四条腿一样长的方椅子一定能在任意不平的地面上椅子一定能在任意不平的地面上放稳吗放稳吗?模型假设模型假设模型构成模型构成椅脚连线为正方形椅脚连线为正方形ABCD(如右图如右图).t 椅子绕中心点椅子绕中心点O旋转角度旋转角度f(t)A,C两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和g(t)B,D两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f(t),g(t)01.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形脚的连线呈正

21、方形;2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没没有像台阶那样的情况有像台阶那样的情况)，即地面可视为数学上的连续曲面，即地面可视为数学上的连续曲面;3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。ABCD A B C D Oxyt模型构成模型构成由假设由假设1，f和和g都是连续函数都是连续函数 由假设由假设3，椅子在任何位置至少有三，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意只脚同时着地：对任意t，f(t

22、)和和g(t)中至少中至少有一个为有一个为0。当。当t=0时时,不妨设不妨设g(t)=0,f(t)0,原题归结为证明如下的数学命题：原题归结为证明如下的数学命题：已知已知f(t)和和g(t)是是t的连续函数的连续函数,对任意对任意t,f(t)g(t)=0,且且g(0)=0,f(0)0。则存在。则存在t0，使，使f(t0)=g(t0)=0模型模型求解求解最后，因为最后，因为f(t)g(t)=0，所以，所以f(t0)=g(t0)=0。令令h(t)=f(t)-g(t),则h(0)0和h()0，由，由f和和g的连续性知的连续性知h也是连也是连续函数。根据连续函数的基本性质续函数。根据连续函数的基本性质

23、,必存在必存在t0（0t00可可知知g()0,f()=022 ABCD A B C D Oxyt方法方法总结总结1)一个变量一个变量t表示位置；表示位置；2)引入距离函数引入距离函数(只设两个只设两个)；3)证明技巧证明技巧转动转动90度。度。模型模型推广推广1)若对象是若对象是4条腿同长的长方条腿同长的长方形桌子，结果怎样？形桌子，结果怎样？2)某甲早某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下时从山下旅店出发沿一路径上山，下午午5时到达山顶并留宿。次日早时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路时沿同一路径下山，下午径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经

24、过路径中的同一地点，两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？为什么？(数学解法、巧妙的形象解法数学解法、巧妙的形象解法)ABCD A B C D Oxyt建模示例建模示例4 4 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人名商人 3名随从名随从河河小船小船(至多至多2人人)随从们密约随从们密约,在河的任一岸在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多一旦随从的人数比商人多,就杀人越货就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决但是乘船渡河的方案由商人决定定.商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策 每一步每一步(A到到B或或B到到A)船上的

25、人员船上的人员要求要求在安全的前提下在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有限步使全体人员过河经有限步使全体人员过河!模型构成xk第第k次渡河前次渡河前A岸的商人数岸的商人数yk第第k次渡河前次渡河前A岸的随从数岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程的状态过程的状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk,vk)决策决策D=(u,v)u+v=1,2 允许允许决策

26、决策集合集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk+(-1)k dk 状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2,n),使使sk S按按转移律转移律由由s1=(3,3)到达到达sn+1=(0,0).多步决策问题模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上机编程上机图图解解法法状态状态s=(x,y)16个格点个格点 10个个 点点允许决策允许决策D 移动移动1或或2格格;k奇奇,左下移左下移;k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1,d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案评注和思考规格化方法规格化方法,易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况d1d1

27、1允许状态允许状态SS=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2D=(u,v)u+v=1,2 建模示例建模示例5 5 报童的诀窍！报童的诀窍！问题问题:报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售，零售价为价为a，退回价为，退回价为c。请为该报童筹划一下，他应如。请为该报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大收入？何确定每天购进报纸的数量，以获得最大收入？假设和分析:1.设设abc,且一般地且一般地a-bb-c;2.需求

28、量是随机的，但是有规律需求量是随机的，但是有规律,可以通过市场调可以通过市场调查和经验统计其规律，比如在其销售范围内每天报查和经验统计其规律，比如在其销售范围内每天报纸需求量为纸需求量为r的概率是的概率是f(r)(r=0,1,2,.)一个概一个概率分布率分布;3.若设其购进若设其购进n份报纸，每天报童的销售净收益是随份报纸，每天报童的销售净收益是随机的机的!于是讨论其平均净收益于是讨论其平均净收益G(n)(期望收益期望收益),如下如下平均净收益平均净收益G(n)(期望收益期望收益)：问题转化为：问题转化为：模型建立模型建立一个离散概率模型：一个离散概率模型：最大化期望收益最大化期望收益模型求解

29、模型求解求导等技巧直接不能用！求导等技巧直接不能用！数学模型数学模型,姜启源编姜启源编P273：将离散量：将离散量r看成连续看成连续量，这时上面的求和可改为积分，进一步就可以求导量，这时上面的求和可改为积分，进一步就可以求导(利用变利用变限积分函数求导法则限积分函数求导法则)，寻找其极值点！，寻找其极值点！下面给出另一种不同的方法！下面给出另一种不同的方法！分析分析G(n)的改变量的改变量G(n)=G(n)-G(n-1)：相当于求相当于求G(n)的稳定点！的稳定点！含义？含义？相当于球相当于球G(n)的稳定点！的稳定点！结论：最优决策结论：最优决策n满足使需求量不超满足使需求量不超过过n的概率

30、和需求量超过的概率和需求量超过n的概率之的概率之比接近比接近(a-b)/(b-c)！或或需求量不超过需求量不超过n的概率为的概率为(a-b)/(a-c)赚赔比赚赔比)(rfv相识问题相识问题设有设有n个人参加一个宴会，已个人参加一个宴会，已知没有人认识所有的人，问是否知没有人认识所有的人，问是否有两个人，他们认识的人一样多？有两个人，他们认识的人一样多？简例简例v棋子颜色的变化问题棋子颜色的变化问题任意取黑白两种颜色的棋子任意取黑白两种颜色的棋子8个，排成一个圆圈，然后在两颗同个，排成一个圆圈，然后在两颗同色棋子间放一个白棋子，异色棋子色棋子间放一个白棋子，异色棋子间放一个黑棋子，拿去原来的棋

31、子。间放一个黑棋子，拿去原来的棋子。多次重复该过程后，棋子颜色会如多次重复该过程后，棋子颜色会如何变化？何变化？(数目不是数目不是8而是任意自然数而是任意自然数n时如时如何何?)鸽巢原理鸽巢原理(抽屉原理抽屉原理)找关键量找关键量.1、某人家住、某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达时抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于家。一日他提前下班搭早一班火车于5:30抵抵T市车市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在路上遇到他接

32、回家时，发现比往常提前了在路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟，分钟，问他步行了多长时间？问他步行了多长时间？假如相遇时车还是象往常一样前行会和往常一样假如相遇时车还是象往常一样前行会和往常一样回家！回家！-推出相遇时间！推出相遇时间！找关键量找关键量.2、两兄妹分别在离家、两兄妹分别在离家2千米和千米和1千米且方向相反的两千米且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以所学校上学，每天同时放学后分别以4千米千米/小时和小时和2千米千米/小时的速度步行回家，一小狗以小时的速度步行回家，一小狗以6千米千米/小时小时的速度从哥哥处奔向妹妹，又从妹妹处奔向哥哥，的速度从哥哥处奔向妹妹，又从妹妹处奔向哥哥，如此往返直至回家中，问小狗奔波了多少路程？如此往返直至回家中，问小狗奔波了多少路程？如果兄妹上学时小狗也奔波在他们之间，问当如果兄妹上学时小狗也奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处？他们到达学校时小狗在何处？