第六章-中心力场-量子力学教学课件.pptx

1、第6章 中心力场 Quantum Mechanics第六章第六章 中心力场中心力场教学内容教学内容第1页1 1 中心力场中粒子运动的中心力场中粒子运动的 一般性质一般性质2 2 无限深球方势阱无限深球方势阱3 3 三维各向同性谐振子三维各向同性谐振子4 4 氢原子氢原子l第六章 中心力场教学内容第1 页第6章 中心力场 Quantum Mechanics1 中心力场中粒子运动的中心力场中粒子运动的 一般性质一般性质一、一、角动量守恒与径向方程角动量守恒与径向方程中心力场中心力场 粒子的受力经过某个固定的中心（粒子的受力经过某个固定的中心（力心力心），其势能只是粒子到力心的距离），其势能只是粒子

2、到力心的距离r的函数，即的函数，即V(r)，为，为球对称势球对称势。（例如。（例如Coulomb场场,万有引力）万有引力）第2页设质量为设质量为的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：经典理论中，中心力场中运动粒子角动量守恒，粒子运动为平面经典理论中，中心力场中运动粒子角动量守恒，粒子运动为平面运动。运动。l 1 中心力场中粒子运动的 一般性质一、角动量守恒与径向方第6章 中心力场 Quantum Mechanics对于势能只与对于势能只与 r 有关而与有关而与,无关的有心力场，无关的有心力场，使用球坐标求解使用球坐标求解较为方便较为方便,第

3、3页l,H=0,l2,H=0l及及l2均为均为守恒量守恒量径向动能离心势能l对于势能只与 r 有关而与,无关的有心力场，使用球坐第6章 中心力场 Quantum Mechanicsl第六章-中心力场-量子力学教学课件第6章 中心力场 Quantum Mechanicsl第六章-中心力场-量子力学教学课件第6章 中心力场 Quantum Mechanics一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E E及本及本征函数。征函数。非束缚态，非束缚态，E连续变化。连续变化。束缚态，束缚态，E取离散值。取离散值。由于束缚态下边界条件，出现径向量子数由于束缚态

4、下边界条件，出现径向量子数nr,nr=0,1,2,，（代表波函数节点数（代表波函数节点数），），E依赖于依赖于nr和和l，记为，记为Enr l，l一定，一定，E随随nr增大而增大。增大而增大。nr一定，一定，E随随l（离心势能）（离心势能）增增大而增大。大而增大。光谱学习惯，把光谱学习惯，把（l=0,1,2,3,4,5,6）的态记为的态记为s,p,d,s,p,d,f,g,h,i.f,g,h,i.第6页l一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E 及本征函数。第第6章 中心力场 Quantum Mechanics径向波函数在径向波函数在r0r0邻邻域内的渐进行为域内的渐进行为假定假定V(r)

5、V(r)满足满足第7页变为变为设设当当r r0 0，l径向波函数在r 0 邻域内的渐进行为假定V(r)满足第7 页变第6章 中心力场 Quantum Mechanics在任何体积元找到粒子的概率应为有限值：在任何体积元找到粒子的概率应为有限值：当当r r0 0，若若R Rl l(r)(r)1/r1/ra a，要求，要求a3/2.a=1l=1时时，R Rl l(r)(r)rr-(l+1)-(l+1)不满足不满足要求要求。l=0l=0时，时，R R0 0(r)Y(r)Y00001/r1/r，但此解并不满足但此解并不满足能量本征方能量本征方程程第8页r0r0时，只有时，只有R Rl l(r)r(r)

6、rl l是物理上可以接受的。等价地，要求是物理上可以接受的。等价地，要求径向方程的一个定径向方程的一个定解条件解条件。l在任何体积元找到粒子的概率应为有限值：第8 页r 0 时，只有R第6章 中心力场 Quantum Mechanics两体问题化为单体问题两体问题化为单体问题 实际碰到的中心力场问题，通常是两体问题。实际碰到的中心力场问题，通常是两体问题。两个质量分两个质量分别为别为m m1 1和和m m2 2的粒子，相互作用的粒子，相互作用V(|rV(|r1 1-r-r2 2|)|)=V(r)=V(r)只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方

7、程,第9页E ET T为体系的总能量。引入质心坐标为体系的总能量。引入质心坐标R R和相和相对坐标对坐标r r 1xl+r1r2rR 2OyzI I 一个具有约化质量的粒子在场中的运动一个具有约化质量的粒子在场中的运动 II II 二粒子作为一个整体的质心运动。二粒子作为一个整体的质心运动。l两体问题化为单体问题 实际碰到的中心力场问题，通常是两体问题第6章 中心力场 Quantum Mechanics可以证明：可以证明：第10页证明：证明：111XxxXxx x 112mmmXx 222XxxXxx x l可以证明：第1 0 页证明：第6章 中心力场 Quantum Mechanics第11

8、页1112;Rmmm 2212Rmmm 22121212112212221111RRmmmmmmmmmm 222212121111RmmM 以上结果带入到以上结果带入到两粒子能量本征方程两粒子能量本征方程，l第1 1 页以上结果带入到两粒子能量本征方程，第6章 中心力场 Quantum Mechanics分离变量分离变量第12页描述质心运动（自由粒子描述质心运动（自由粒子能量本征方程）平面波解能量本征方程）平面波解描述相对运动，描述相对运动，E E 是相对运动能量是相对运动能量（单粒子能量本征方程单粒子能量本征方程）两体问题两体问题 单体单体问题问题l分离变量第1 2 页描述质心运动（自由粒子

9、能量本征方程）平面波解第6章 中心力场 Quantum Mechanics2 2 无限深球方势阱无限深球方势阱考虑质量为考虑质量为 的粒子在半径为的粒子在半径为a a的球形匣子中运动。这相的球形匣子中运动。这相当于粒子在一个无限深球方势阱中运动，当于粒子在一个无限深球方势阱中运动，(束缚态束缚态)第13页考虑考虑s s态（态（l=0l=0）。径向方程。径向方程势阱内部，势阱内部，l 2 无限深球方势阱考虑质量为 的粒子在半径为a 的球形匣子第6章 中心力场 Quantum Mechanics方程的解可以表示为方程的解可以表示为 sin(kr)sin(kr)的形式，再根据的形式，再根据r=ar=

10、a处的边处的边界条件，界条件，sin(ka)=0sin(ka)=0,有有第14页粒子能量粒子能量本征值本征值为为归一化，归一化，l方程的解可以表示为 s i n(k r)的形式，再根据r=a 处的边第6章 中心力场 Quantum Mechanicsl0l0时，径向方程为时，径向方程为第15页引入无量纲变量引入无量纲变量=kr,=kr,球球BesselBessel方程，解可取为球方程，解可取为球BesselBessel函数函数j jl l()与与球球Neumann Neumann 函数函数 n nl l(),),0 0时时，球方势阱的解取为球方势阱的解取为ll 0 时，径向方程为第1 5 页引

11、入无量纲变量=k r,球B e第6章 中心力场 Quantum Mechanics当当a a取有限值时，取有限值时，k k只能取一系列离散值，令只能取一系列离散值，令j jl l()=)=0 0的的根为根为第16页粒子的粒子的能量本征值能量本征值为为相对应的径向相对应的径向本征函数本征函数为为l当a 取有限值时，k 只能取一系列离散值，令j l()=0 的根为第6章 中心力场 Quantum MechanicsL L n nr r0 01 12 23 3023414.4937.72510.90414.06625.7679.09512.32315.51536.98810.41713.69816.

12、924第17页10lL n r 0第6章 中心力场 Quantum MechanicsA5.A5.合流超几何函数合流超几何函数合流超几何微分方程为合流超几何微分方程为第18页，为参数。在为参数。在z0邻域，邻域，令令y=zs,可得可得lA 5.合流超几何函数合流超几何微分方程为第1 8 页，为参第6章 中心力场 Quantum Mechanicss=0 时的级数解，时的级数解，第19页要求方程左边各次项为要求方程左边各次项为0，由此可得由此可得c0=1,得出级数解，得出级数解，合流超几何函数合流超几何函数ls=0 时的级数解，第1 9 页要求方程左边各次项为0，由此可得第6章 中心力场 Qua

13、ntum Mechanics第20页k,ck/ck-11/k，这与这与ez的幂级数展开系数比值一致，的幂级数展开系数比值一致，s=1-时时级数解为级数解为l第2 0 页k,c k/c k-1 1/k，这与e z 的幂级数展第6章 中心力场 Quantum Mechanics3 3 三维各向同性谐振子三维各向同性谐振子质量为质量为的粒子在三维各向同性谐振子势的粒子在三维各向同性谐振子势V(r)中运动，中运动，第21页是刻画势阱强度的参量。是刻画势阱强度的参量。径向方程径向方程为，为，r=0的的邻邻域，物理上可以接受的域，物理上可以接受的径向波函数径向波函数的渐近行的渐近行为是为是 Rl(r)rl

14、rr时，时，自然单位自然单位，=1l 3 三维各向同性谐振子质量为 的粒子在三维各向同性谐振第6章 中心力场 Quantum Mechanics束缚态边界条件束缚态边界条件要求要求第22页方程的解写为方程的解写为化为化为合流超几何方程合流超几何方程。l束缚态边界条件要求第2 2 页方程的解写为化为合流超几何方程。第6章 中心力场 Quantum Mechanics方程有两个解，方程有两个解，第23页u2，是物理上不能接受的解。方程的解只能为是物理上不能接受的解。方程的解只能为无穷级数解无穷级数解合流超几何函数合流超几何函数l方程有两个解，第2 3 页u 2，是物理上不能接受的解。方程的解只第6

15、章 中心力场 Quantum Mechanics要满足束缚态边条件，要求要满足束缚态边条件，要求F(,)中断为中断为 一个多项式。一个多项式。要求要求=0 or 负整数负整数第24页这就要求这就要求这就是三维各向同性谐振子的这就是三维各向同性谐振子的能量本征值能量本征值。l要满足束缚态边条件，要求F(,)中断为 一个多项式。第6章 中心力场 Quantum Mechanics能级简并度能级均匀分布，间隔。能级一般是简并的，能量本征值只依赖于nr和l的特殊组合N=2nr+l.给定能级EN,nr=0,1,2,3,，(N-1)/2 or N/2 l=N-2 nr=N,N-2,N-4,N-6,1(N奇

16、)or 0(N偶)N偶时，能级简并度（N奇同样结果）第25页径向波函数为径向波函数为归一化后归一化后l能级简并度第2 5 页径向波函数为归一化后第6章 中心力场 Quantum Mechanics直角坐标系直角坐标系采用直角坐标系，采用直角坐标系，三维各向同性谐振子三维各向同性谐振子可分解为可分解为 相同相同的三个彼此的三个彼此独立的一维谐振子独立的一维谐振子第26页本征函数可以分离变量，本征函数可以分离变量，相当于选取相当于选取(Hx,Hy,Hz)为为对易守恒量完全集对易守恒量完全集，共同本征态为，共同本征态为l直角坐标系采用直角坐标系，三维各向同性谐振子可分解为 相同的第6章 中心力场 Q

17、uantum Mechanics相应的相应的能量本征值能量本征值为为第27页能级简并度能级简并度给定 N，nx=0,1,2,，N-1,N ny+nz =N,N-1,N-2,，1,0 (ny,nz)种数 N+1,N,N-1,，2,1能级简并度为l相应的能量本征值为第2 7 页能级简并度给定 N，第6章 中心力场 Quantum Mechanics4 氢原子氢原子 量子力学发展史上最突出的成就之一是对氢原子光谱量子力学发展史上最突出的成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意的解释。和化学元素周期律给予了相当满意的解释。氢原子是氢原子是最简单的原子最简单的原子，其，其Schrdinger

18、方程可以严格方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。氢原子问题是氢原子问题是典型的中心力场问题典型的中心力场问题。氢原子的原子核是一个质子氢原子的原子核是一个质子，带电，带电+e，在它的周围有在它的周围有一个电子绕着它运动一个电子绕着它运动 。它与电子的库仑吸引能为（取无。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）穷远为势能零点）第28页l 4 氢原子 量子力学发展史上最突出的成就之一是对氢原第6章 中心力场 Quantum Mechanics具有一定角动量的氢原子的径向波函数具有一定角动量的氢原子的径向波函数l(r)=r

19、Rl(r)满足下方程满足下方程：第29页若若E E0 0:自由定态自由定态,电子从原子内电离电子从原子内电离,连续能谱连续能谱若若E E0:0:束缚定态束缚定态,电子被束缚在原子内电子被束缚在原子内,分立能谱分立能谱考虑氢原子的考虑氢原子的束缚态束缚态，即，即E 0E 0的情况，按的情况，按1 1有关结果，有关结果，r0r0方程渐进行为：方程渐进行为：r0,(r)rl+1l具有一定角动量的氢原子的径向波函数 l(r)=r R l(r)第第6章 中心力场 Quantum Mechanicsr r时，方程化为时，方程化为第30页方程的解可以表示成方程的解可以表示成lr 时，方程化为第3 0 页方程

20、的解可以表示成第6章 中心力场 Quantum Mechanics再令再令第31页这正是这正是合流超几何方程合流超几何方程合流超几何方程的解为合流合流超几何方程的解为合流超几何函数超几何函数F(,)，故，故方方程的程的解为解为l再令第3 1 页这正是合流超几何方程合流超几何方程的解为合流超几第6章 中心力场 Quantum Mechanics第32页11,kkCCk 当当k k时时 和和e e 的级数展开系数的比值相同的级数展开系数的比值相同因此，当因此，当时（即时（即r r），），u(u()=F()=F(,)的渐进行为和的渐进行为和e e 相同，即相同，即lim(,)Fe 这和波函数有限性条

21、件矛盾，所以须将这和波函数有限性条件矛盾，所以须将F(F(,)切断切断为多项式，只需令为多项式，只需令l第3 2 页当k 时 和e 的级数展开系数的比第6章 中心力场 Quantum Mechanics另一方面另一方面第33页令令n=nr+l+1,n=1,2,3得到得到氢原子束缚定态的能量氢原子束缚定态的能量(本征值本征值)：(是电子的约化质量)Bohr半径半径此即著名的此即著名的BohrBohr氢原子能氢原子能级公式，级公式，n n 称为主量子数称为主量子数l另一方面第3 3 页令n=n r+l+1,n=1,2,3 得到第6章 中心力场 Quantum Mechanics因此与因此与E En

22、 n相应的径向波函数可表示为：相应的径向波函数可表示为：第34页2(,22,)lnlrReFnl 2()(1,22,)lnlnlRrNeFn ll 归一化的归一化的径向波函数径向波函数为为2 rna a a是是BohrBohr半径半径2(,)1nlmrd 220()1nlRrr dr 420(,)1lmYd 3 222()!(21)!(1)!nlnlNanlnl l因此与E n 相应的径向波函数可表示为：第3 4 页归一化的径向波函第6章 中心力场 Quantum Mechanics综上，氢原子束缚定态的波函数综上，氢原子束缚定态的波函数第35页(,)()(,)nlmnllmrRr Y 2()

23、(1,22,)lnlnlRrNeFn ll 2 rna a a是是BohrBohr半径半径3 222()!(21)!(1)!nlnlNanlnl l综上，氢原子束缚定态的波函数第3 5 页a 是B o h r 半径第6章 中心力场 Quantum Mechanics最低的几条能级的径向波函数是：最低的几条能级的径向波函数是：第36页 03/201200012000130000130000/2103/2112023/21121233/2214413033273/222113127 381 31,2,()(2)()3,()2()()aaaar aaraaraaraaaraaanRenRrr eRr

24、renRrrreRrrre 130003/222113281 15()()araaRrre l最低的几条能级的径向波函数是：第3 6 页第6章 中心力场 Quantum Mechanics氢原子内电子状态的光谱学标记氢原子内电子状态的光谱学标记第37页l=0 l=1 l=2 l=3 l=4 l=5 spdfghn=1 1sn=2 2s 2pn=3 3s 3p 3dn=4 4s 4p 4d 4fn=5 5s 5p 5d 5f 5gn=6 6s 6p 6d 6f 6g 6hl氢原子内电子状态的光谱学标记第3 7 页l =0 l第6章 中心力场 Quantum Mechanics能级简并能级简并能量

25、只与主量子数能量只与主量子数n n 有关，而本征函数与有关，而本征函数与n,ln,l,m m 有关，有关，故能级存在简并。故能级存在简并。给定能级给定能级E En n (即给定主量子数即给定主量子数n n)，角量子数，角量子数l l第38页(,)()(,)nlmnllmrRr Y 1 0,1,.,1 1,2,.,0rrln nnnnn l能级简并能量只与主量子数n 有关，而本征函数与n,l,m第6章 中心力场 Quantum Mechanics而磁量子数而磁量子数m 有有（2l+1）个可能值个可能值：第39页,1,.,1,mllll 因此，属于因此，属于En的量子态的量子态nlm数目数目120

26、(21)nnlfln 即氢原子能级即氢原子能级n2度简并。度简并。但基态能级不简并，但基态能级不简并，E E1 1=ee4 4/2 /2 2 2=-13.6eV=-13.6eV，相，相应基态波函数是应基态波函数是 100100=R=R1010Y Y0000。l而磁量子数m 有（2 l+1）个可能值：第3 9 页因此，属于E n第6章 中心力场 Quantum Mechanics第40页l第4 0 页第6章 中心力场 Quantum Mechanics氢原子内电子位置的几率分布氢原子内电子位置的几率分布在束缚定态在束缚定态 nlm(r)下，氢原子内的电子在位置下，氢原子内的电子在位置r r附近的

27、附近的体积元体积元d 内内出现的概率为出现的概率为：第41页A.A.径向位置概率分布径向位置概率分布考虑在考虑在(r,r+dr)的球壳内（不管方向）找到电子的的球壳内（不管方向）找到电子的概率，结果为概率，结果为 l氢原子内电子位置的几率分布在束缚定态 n l m(r)下，氢原第6章 中心力场 Quantum Mechanics第42页24022()(,lnlmRr rYrdd 22()nlRr r dr 2()nlr dr 径向位置的概率分布函数222()()nlnlrRr r l第4 2 页径向位置的概率分布函数第6章 中心力场 Quantum Mechanics第43页2nl r as

28、电子的径向位置概率分布曲线（l=0）l第4 3 页s 电子的径向位置概率分布曲线（l =0）第6章 中心力场 Quantum Mechanics第44页2nl r alp 电子的径向位置概率分布曲线(l=1)l第4 4 页p 电子的径向位置概率分布曲线(l =1 )第6章 中心力场 Quantum Mechanics第45页2nl r ad 电子的径向位置概率分布曲线(l=2)l第4 5 页d 电子的径向位置概率分布曲线(l =2)第6章 中心力场 Quantum Mechanics径向概率分布函数的基本特征：径向概率分布函数的基本特征：（1 1）径向概率分布函数在）径向概率分布函数在r=0

29、和和r=两点都等于零两点都等于零。（2 2）径向几率分布函数除了）径向几率分布函数除了r=0 和和r=两点外还有两点外还有(n l 1=nr)个节点（零点），因而有个节点（零点），因而有(n l)个极大值个极大值。第46页00rn(0,)1F 2()(1,22,)lnlnlRrNeFn ll （3 3）对于）对于l=n 1l=n 1（即（即n nr r =0=0）的态，径向几率分）的态，径向几率分布函数有唯一极大值，可以求出布函数有唯一极大值，可以求出|n,n-1n,n-1(r)|(r)|2 2取极大取极大值的径向位置值的径向位置l径向概率分布函数的基本特征：（1）径向概率分布函数在r =第6

30、章 中心力场 Quantum Mechanics第47页222222,1,1()()rnann nn nrr RrCr e 1,1()rnann nRrC re C C 是常数是常数极值位置：极值位置：2,1,2,3,.nrn an最可几半径最可几半径最可几半径与玻尔氢原子量子论中电子圆周运动轨道最可几半径与玻尔氢原子量子论中电子圆周运动轨道半径完全一致。半径完全一致。因而因而l=n 1（nr=0）的态称为的态称为“圆轨道圆轨道”，除两端外，它们无节点。，除两端外，它们无节点。l第4 7 页C 是常数极值位置：最可几半径最可几半径与玻尔氢原子第6章 中心力场 Quantum Mechanics

31、角向位置概率分布角向位置概率分布在束缚定态在束缚定态 nlm(r)下，在空间立体角元下，在空间立体角元d d中（不管径中（不管径向位置向位置r），找到电子的概率，），找到电子的概率，第48页0222(,)()lnlmRrYrddr 22(,)(,)sinlmlmYdYd d 角向位置的概率分布函数角向位置的概率分布函数22(,)(cos)mlmlYP 与与 角无关，故角分布函数绕角无关，故角分布函数绕z z轴旋转对称。轴旋转对称。l角向位置概率分布在束缚定态 n l m(r)下，在空间立体角元第6章 中心力场 Quantum Mechanics=0,=0,m=0m=0：|Y|Y0000|2 2

32、=(=(1/41/4)，与 也无关，球对称分布。第49页xyz200Ys态电子l=0,m=0：|Y 0 0|2 =(1/4)，与 也无关第6章 中心力场 Quantum Mechanics=1,m=1,m=1 1时，|Y Y1,1,1 1()|()|2 2 =(3/8)sin=(3/8)sin2 2 。在=/2=/2时，有最大值。在 =0=0（z z向）时，Y Y1,1,1 1=0=0第50页21,1Y l=1,m=1 时，|Y 1,1()|2 =(3/8 )第6章 中心力场 Quantum Mechanics=1,m=0=1,m=0时，|Y Y1,01,0()|)|2 2=(3/4)(3/4

33、)coscos2 2。正好与上面相反，在 =0=0时，最大；在 =/2=/2时，等于零。第51页l=1,m=0 时，|Y 1,0()|2=(3/4 )第6章 中心力场 Quantum Mechanics第52页=2222Y221Y220Yl第5 2 页=2第6章 中心力场 Quantum Mechanics电流分布与原子磁矩电流分布与原子磁矩在在 nlmnlm态下态下，电子的，电子的电流密度电流密度第53页在球坐标中，易知在球坐标中，易知j j 是绕是绕z z轴的环电流密度（如图）轴的环电流密度（如图）rrsindjzol电流分布与原子磁矩在 n l m 态下，电子的电流密度第5 3 页在第6

34、章 中心力场 Quantum Mechanics通过细环截面d d 的电流为：第54页dIj d rrsindjzo对磁矩的贡献为：2(sin)dMSdIrj d 氢原子在束缚定态nlm下总磁矩的大小为：l通过细环截面d 的电流为：第5 4 页r r s i n d j z第6章 中心力场 Quantum Mechanics第55页 轨道磁矩s s态电子(l=0,m=0l=0,m=0)，轨道磁矩为0 0 回转磁比值或g因子 Bohr磁子l第5 5 页 轨道磁矩s 态电子(l=0,m=0)，轨道磁矩为第6章 中心力场 Quantum Mechanics类氢离子类氢离子核外只有一个电子，而核电荷数

35、Z大于1的离子，如He+，Li+，Be+等。势能算符为：第56页2()ZeV rr 22eZeaaZ因此氢原子的结果都适用于类氢离子，但需做代换l类氢离子核外只有一个电子，而核电荷数Z 大于1 的离子，如H e+第6章 中心力场 Quantum Mechanics第57页类氢离子：类氢离子：(,)()(,)nlmnllmrRr Y 2()(1,22,)lnlnlRrNeFn ll e2 Ze23 23 222()!(21)!(1)!nlZnlNanlnl 2 Zrna 其中其中a a 是是BohrBohr半径半径a a/Zl第5 7 页类氢离子：e 2 Z e 2 其中a 是B o h r 半

36、径a第6章 中心力场 Quantum Mechanics例题1：氢原子处在基态 ，求：(1)r的平均值；(2)势能的平均值；(3)最可几半径；第58页31(,)r area 解：(1)2100rrd 4323001r adr edra 32304r ar edra l例题1：氢原子处在基态 第6章 中心力场 Quantum Mechanics第59页利用积分公式3443!3(2)2raaa(2)2100()()V rV rd 24223001r aeder drar 223241(2)eeaaa 10!nxnnx edx (3)最可几半径 21 (1)nrn ara n l第5 9 页利用积分

37、公式(2)(3)最可几半径 第6章 中心力场 Quantum Mechanics第60页例题2：设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。2110211 113(,)()(,)()(,)22rRr YRr Y 解：（1）显然该状态是能量本征态，故氢原子能量有确定值En（n=2）：l第6 0 页例题2：设氢原子处于状态 解：（1）显然该状态是能第6章 中心力场 Quantum Mechanics第61页（2）态(r,)也是角动量平方的本征态，故氢原子角动量平方有确定值：(3）但态(r,)非角动量z分量的本征态（磁量子数m不统一）

38、，故氢原子角动量z分量的可能值：lz1=m=0,(m=0),对应态第一个分量lz2=m=-,(m=1),对应态第二个分量相应的出现概率22121133:;:2424zzll l第6 1 页（2）态(r,)也是角动量平方的本征态，故第6章 中心力场 Quantum Mechanics第62页lz 的平均值l第6 2 页l z 的平均值第6章 中心力场 Quantum MechanicsReview Review 中心力场中粒子运动一般性质中心力场中粒子运动一般性质1.中心力场 V(r)球对称势2.经典力学中，角动量守恒，平面运动3.量子力学中，l,H=0,ll,H=0,l2 2,H=0,H=0第

39、63页lR e v i e w 中心力场中粒子运动一般性质1.中心力场 V第6章 中心力场 Quantum Mechanics第64页当当r r0 0，r0r0时，只有时，只有R Rl l(r)r(r)rl l是物理上可以接受的。等价地，是物理上可以接受的。等价地，要求要求两体问题化为单体问题两体问题化为单体问题 l第6 4 页当r 0，r 0 时，只有R l(r)r l 是物理上可第6章 中心力场 Quantum Mechanics练习练习 （习题5.7）中心力场V(r)中粒子运动的径向方程可以写为第65页利用Feynman-Hellmann 定理（p.95,习题4.7）证明对处在能量本征态下的三维各向同性谐振子，l练习（习题5.7）中心力场V(r)中粒子运动的径向方程可以