河北省衡水中学2017届高三高考押题卷三理数试题（解析版）.doc

1、 20172017 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理科数学（理科数学（） 第第卷卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1. 已知复数，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可得： ，则= . 本题选择 C 选项. 2. 集合，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可得： ，则= . 本题选择 A 选项. 3. 已知函数 的最小正周

2、期为 ，则函数的图象（ ） A. 可由函数的图象向左平移 个单位而得 B. 可由函数的图象向右平移 个单位而得 C. 可由函数的图象向左平移 个单位而得 D. 可由函数的图象向右平移 个单位而得 【答案】D 【解析】由已知得，则的图象可由函数的图象向右平移 个单 位而得，故选 D. 4. 已知实数 ， 满足约束条件则的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点 处取得最大值 . 本题选择 B 选项. 5. 一直线 与平行四边形中的两边，分别交于 、 ，且交其对角线于，若， ， ，则=（ ）学,科,网. A

3、. B. 1 C. D. -3 【答案】A 【解析】由几何关系可得： ，则： ， 即： ， 则= . 本题选择 A 选项. 点睛：点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或 数乘运算 (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形 式，再通过向量的运算来解决 6. 在如图所示的正方向中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 为正态分布的密度曲线） 的点的个数的估计值为（附：若，则， .（ ） A. 906 B. 1359 C. 2718 D. 3413 【答案】B 【解析】由正态分

4、布的性质可得，图中阴影部分的面积 ， 则落入阴影部分（曲线 为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为 . 本题选择 B 选项. 点睛：点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法 熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值 充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为 1. 7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为 2 的半圆，则该几何体的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据三视图可知几何体是棱长为 4 的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体， 且圆柱底面圆的半径是 2、母线长是 4， 该几何体的表面积 ， 本题选择 B 选项. 8. 已知数列中，

5、.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第 2018 项， 则判断框内的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 学,科,网. 【解析】阅读流程图结合题意可得，该流程图逐项计算数列各项值，当 时推出循环，则判断框 内的条件是. 本题选择 B 选项. 9. 已知 5 件产品中有 2 件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为 ，则=（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 由题意知，的可能取值为 2,3,4,其概率分别为， ，所以，故选 B 10. 已知抛物线 ：的焦点为 ，点是抛物线 上一点，圆与线段 相交于点 ，且被直线截得的弦长为，若=2，则=（

6、 ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】由题意：M（x0，22）在抛物线上，则 8=2px0，则 px0=4， 由抛物线的性质可知,， ，则， 被直线截得的弦长为3|MA|，则， 由，在 RtMDE 中，丨 DE 丨 2+丨 DM 丨2=丨 ME 丨2，即 ， 代入整理得： ， 由，解得：x0=2，p=2， ， 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考 查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点 A 到焦点的距离转化为点 A 到其准线的距离是关键. 11. 若定义在 上的可导函数满足，且，则当时，不等式 的解集

7、为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】不妨令 ，该函数满足题中的条件，则不等式转化为： ， 整理可得： ，结合函数的定义域可得不等式的解集为. 本题选择 D 选项. 12. 已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令 ，则 ，函数 在定义域内单调递增， 方程即： ，即 ， 结合函数的单调性有： . 本题选择 C 选项. 点睛：点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号 第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第本卷包括必考题和选考题两部分，第 1313 题第题第 2121 题为必考题，每个试题考生都必须

8、作答题为必考题，每个试题考生都必须作答. .第第 2222 题和第题和第 2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. .学,科,网. 二、填空题：本大二、填空题：本大题共题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13. 若的展开式中项的系数为 20，则的最小值为_ 【答案】2 【解析】 试题分析：展开后第项为， 其中项为， 即第 项，系数为，即，当且仅当时取 得最小值 . 考点：二项式公式，重要不等式. 14. 已知中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若，则的面 积为_ 【答案】 【解析】由题意有： ， 则的面积为 .

9、【答案】 【解析】由题意可得，为正三角形，则，所以双曲线的离心率 . 16. 已知下列命题： 命题“，”的否定是“，”； 已知 ， 为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”； “”是“”的充分不必要条件； “若，则且”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是_. 【答案】 【解析】逐一考查所给的命题： 命题“，”的否定是“，”； 已知 ， 为两个命题，若“”为假命题，则“ 为真命题”； “”是“”的必要不充分条件； “若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题 其中，所有真命题的序号是. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

10、. . 17. 设为数列的前 项和，且，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求. 【答案】 （1）见解析； （2）.学,科,网. 【解析】试题分析： (1)利用题意结合等比数列的定义可得数列为首先为 2，公比为 2 的等比数列； (2)利用(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减可得 . 试题解析： （1）因为，所以， 即，则， 所以，又，故数列为等比数列. （2）由（1）知，所以， 故. 设， 则， 所以 ， 所以， 所以. 点睛：点睛：证明数列an是等比数列常用的方法：一是定义法，证明 q(n2，q为常数)；二是等比中项 法，证明 an1an1.若判断一个数列不是等比数列，则只

11、需举出反例即可，也可以用反证法 18. 如图所示，四棱锥，已知平面平面， ,. （1）求证：； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】 （1）见解析； （2）. 【解析】试题分析： (1)利用题意首先证得平面，结合线面垂直的定义有. (2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角，然后可求得直线与平面所成角的正弦值为. 试题解析： （1）中，应用余弦定理得 ， 解得， 所以， 所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又因为平面，学,科,网. 所以. （2）由（1）平面，平面， 所以. 又因为，平面平面， 所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即. 因为， 所以平面. 所以是

12、与平面所成的角. 因为在中， 所以在中，. 19. 某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校 700 名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测 得身高（单位：）频数分布表如表 1、表 2. 表 1：男生身高频数分布表 表 2：女生身高频数分布表 （1）求该校高一女生的人数； （2）估计该校学生身高在的概率； （3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出 1 人，设 表示身高在学生的 人数，求 的分布列及数学期望. 【答案】 （1）300； （2） ； （3）见解析. 【解析】试题分析： (1)利用题意得到关于人数的方程，解方程可得该校高一女生的人数为 300； (2)用频率近

13、似概率值可得该校学生身高在的概率为 . (3) 由题意可得 的可能取值为 0，1，2.据此写出分布列，计算可得数学期望为 . 试题解析： （1）设高一女学生人数为 ，由表 1 和表 2 可得样本中男、女生人数分别为 40，30，则，解得 . 即高一女学生人数为 300. （2）由表 1 和表 2 可得样本中男女生身高在的人数为，样本 容量为 70. 所以样本中该校学生身高在的概率为. 因此，可估计该校学生身高在的概率为 . （3）由题意可得 的可能取值为 0，1，2.学,科,网. 由表格可知，女生身高在的概率为 ，男生身高在的概率为 . 所以， . 所以 的分布列为： 所以. 20. 中， 是

14、的中点，其周长为，若点 在线段上，且. （1）建立合适的平面直角坐标系，求点 的轨迹 的方程； （2）若， 是射线上不同的两点，过点的直线与 交于 ， ，直线与 交于 另一点 ，证明：是等腰三角形. 【答案】 （1）； （2）见解析. 【解析】 试题分析：（1） 由题意得， 以 为坐标原点， 以的方向为 轴的正方向， 建立平面直角坐标系， 得 的轨迹方程为，再将相应的点代入即可得到点 的轨 迹 的方程； （2）由（1）中的轨迹方程得到轴，从而得到，即可证明是等腰三 角形. 试题解析：解法一： （1）以 为坐标原点，以的方向为 轴的正方向，建立平面直角坐标系. 依题意得. 由，得， 因为故， 所

15、以点 的轨迹是以为焦点，长轴长为 6 的椭圆（除去长轴端点） ， 所以 的轨迹方程为. 设，依题意， 所以，即， 代入 的轨迹方程得， 所以点 的轨迹 的方程为. （2）设. 由题意得直线不与坐标轴平行， 因为，所以直线为， 与联立得， ， 由韦达定理， 同理， 所以或， 当时，轴， 当时，由，得，学,科,网. 同理，轴. 因此，故是等腰三角形. 解法二： （1）以 为坐标原点，以的方向为 轴的正方向，建立平面直角坐标系. 依题意得. 在 轴上取， 因为点 在线段上，且， 所以， 则， 故 的轨迹是以为焦点，长轴长为 2 的椭圆（除去长轴端点） ， 所以点 的轨迹 的方程为. （2）设， 由题

16、意得，直线斜率不为 0，且， 故设直线的方程为：，其中， 与椭圆方程联立得， 由韦达定理可知， 其中， 因为满足椭圆方程，故有， 所以. 设直线的方程为：，其中， 同理， 故 ， 所以，即轴， 因此，故是等腰三角形. 21. 已知函数，曲线的图象在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式； （2）当时，求证：； （3）若对任意的恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）； （2）见解析； （3）.学,科,网. 【解析】试题分析： (1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为. (2)构造新函数.结合函数的最值和单调性可得. (3)分离系数，构造新函数，结合新函数的性质可得实数 的取

17、值范围为. 试题解析： （1）根据题意，得，则. 由切线方程可得切点坐标为，将其代入，得， 故. （2）令. 由，得， 当，单调递减； 当，单调递增. 所以，所以. （3）对任意的恒成立等价于对任意的恒成立. 令，得 . 由（2）可知，当时，恒成立， 令，得；令，得. 所以的单调增区间为，单调减区间为，故，所以 . 所以实数 的取值范围为. 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号答时请写清题号. . 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线：，曲线：.以极

18、点为坐标原点，极轴为 轴正半轴建立直角坐标系，曲线 的参数方程为（ 为参数）. （1）求，的直角坐标方程； （2） 与，交于不同四点，这四点在 上的排列顺次为 ， ， ， ，求的值. 【答案】 （1）； （2）. 【解析】(1)因为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为 ；由，得，所以曲线的极坐标方程为 . (2) 不妨设四点在 上的排列顺次至上而下为,它们对应的参数分别为，如图，连接 ，则为正三角形 ，所以， ， 把代入， 得： ，即，故，所以. 【点睛】本题为极坐标与参数方程，是选修内容，把极坐标方程化为直角坐标方程，需要利用公式 ，第二步利用直线的参数方程 的几何意义，联立方程组求出，利用直线 的参数方程 的几何意义，进而求值.学,科,网. 23. 选修 4-5：不等式选讲. 已知 ， 为任意实数. （1）求证：； （2）求函数 的最小值. 【答案】 （1）见解析； （2）. 【解析】试题分析： (1)利用不等式的性质两边做差即可证得结论； (2)利用题意结合不等式的性质可得. 试题解析： （1） ， 因为， 所以. （2） . 即. 点睛：点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝 对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解