河北省衡水中学2016届高三下学期一模考试数学（理）试题（解析版）.doc

1、 一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1 12 2 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6 60 0 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. . 1.设命题甲： 2 210axax 的解集是实数集R；命题乙：01a，则命题甲是命题乙成立 的（ ） A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C 考点：必要不充分条件的判定. 2.设, a bR且0b，若复数 3 abi（i为虚数单位）是实数，则（ ） A 22 3ba B 22 3ab C 22 9ba D 22

2、 9ab 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意得 3 031222333223 3333 ()()()(3)(3)abiC aC a biC a biC biaaba bb i，所以 23 30a bb，即 22 3ba，故选 A. 考点：复数概念及二项式定理的应用. 3.等差数列 n a中， 2 n n a a 是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ） A 1 B 1 1, 2 C 1 2 D 1 0,1, 2 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得，因为数列 n a是等差数列，所以设数列 n a的通项公式为 1 (1) n aand，则 21 (21) n aand， 所以

3、 1 21 (1) (21) n n aand aand ， 因为 2 n n a a 是一个与n无关的常数， 所以 1 0ad或0d ， 所以 2 n n a a 可能是1或 1 2 ，故选 B. 考点：等差数列的通项公式. 4.ABC中三边上的高依次为 1 1 1 , 13 5 11 ，则ABC为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不存在这样的三角形 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意得，根据三角形的面积相等 111 13511 abc ，所以可设13,5,11abc，由余 弦定理得 222 51113 cos0 2 5 11 A ，即(, ) 2 A ，所以三角形为钝

4、角三角形，故选 C. 考点：余弦定理的应用. 5.函数 f x是定义在区间0,上可导函数，其导函数为 fx，且满足 20xfxf x， 则不等式 2016201655 52016 xf xf x 的解集为（ ） A|2011x x B|2011x x C| 20162011xx D| 20110xx 【答案】C 考点：函数单调性的应用及导数的运算. 6.已知F是椭圆 22 :1 204 xy C的右焦点，P是C上一点，2,1A ，当APF周长最小时，其 面积为（ ） A4 B8 C3 D2 2 【答案】A 考点：椭圆的定义的应用. 7.已知等式 432 432 12341234 1111xa

5、xa xa xaxb xbxbxb，定义映 射 12341234 :,fa a a ab b b b，则4,3,2,1f（ ） A1,2,3,4 B0,3,4,0 C 0, 3,4, 1 D1,0,2, 2 【答案】C 【解析】 试题分析：由 432432 12341234 (1) 1(1) 1(1) 1(1) 1xa xa xa xaxbxbxbxb 所以4,3,2,1f 432 (1) 14(1) 13(1) 12(1) 1 1xxxx ， 所以 102210 143243234 ( 1)40,( 1)4( 1)33,4,1bCCbCCCbb ，故选 C. 考点：二项式定理的应用. 8.如

6、图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为 2，侧视图是一直 角三角形，俯视图为一直角梯形，且1ABBC，则异面直线PB与CD所成角的正切值是（ ） A1 B2 C 2 2 D 1 2 【答案】C 考点：空间几何体的三视图及异面直线所成角的计算. 【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成角、异面直线所成角的求法、以及空间几何体的三视图等知识 的应用，着重考查了空间想象能力、运算能力和推理论证能力及转化思想的应用，属于基础题，本题的解 答中线将三视图转化为空间几何体，取AD的中点E，连接,BE PE CE，将CD平移到BE，根据异面直 线所成角的定义可知PBE为异面直线PB

7、与CD所成角， 在直角三角形PBE中， 即可求解角的正切值. 9.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级 20 名学生某 次考试成绩（百分制）如下表所示： 若数学成绩 90 分（含 90 分）以上为优秀，物理成绩 85（含 85 分）以上为优秀.有多少把握认为学生的 学生成绩与物理成绩有关系（ ） A99.9% B 99.5% C97.5% D95%来源:Z。xx。k.Com 参考数据公式：独立性检验临界值表 独立性检验随机变量 2 K的值的计算公式： 2 2 n adbc K abcdacbd 【答案】B 考点：独立性检验的应用. 10.在一个棱长为 4 的

8、正方体内，你认为最多放入的直径为 1 的球的个数为（ ） A64 B65 C66 D67 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意得，底层可以16个，然后在底层每4个球之间放一个，第二层能放9个，依次类推，分 别第三、第四、第五层能放16个、9个、16个，一共可放置16 9 16 9 1666 个，故选 C. 考点：空间几何体的机构特征. 11.定义：分子为 1 且分母为正整数的分数成为单位分数，我们可以把 1 分拆为若干个不同的单位 分数之和.如： 111111111111 1,1,1 236246122561220 ，依次类推可得： 1111111111111 1+ 261230425672

9、90110132156mn ，其中,mn m nN .设 1,1xmyn，则 2 1 xy x 的最小值为（ ） A 23 2 B 5 2 C 8 7 D 34 3 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意得，13,4 520mn，则 21 1 11 xyy xx ，因为1,1xmyn，所以 1,13yx时， 21 1 11 xyy xx 有最小值，此时最小值为 8 7 ，故选 C. 考点：归纳推理. 【方法点晴】本题主要考查了归纳推理的应用，对于归纳推理是根据事物的前几项具备的规律，通过归纳、 猜想可得整个事物具备某种规律，是一种特殊到一般的推理模式，同时着重考查了学生分析问题和解答问 题的能

10、力以及推理、计算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据式子的结构规律，得到,m n的值是解 答的关键. 12.已知, a bR，直线 2 yaxb 与函数 tanf xx的图像在 4 x 处相切，设 2x g xebxa，若在区间1,2上，不等式 2 2mg xm恒成立，则实数m（ ） A有最小值e B有最小值e C有最大值e D有最大值1e 【答案】D 考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程. 【方法点晴】本题主要考查了导数的运用：求切线方程和判断函数的单调性，着重考查了函数的单调性的 判定及应用、不等式的恒成问题的转化为函数的最值问题，属于中档试题，通知考查了推理、运算能力和 转化的数学思

11、想方法的运用，本题的解答中根据题意先求得, a b的值，得出函数 g x的解析式，再判断函 数 g x的单调性与最值，把不等式的恒成转化为函数的最值问题，即可求解m的取值范围. 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 9090 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分 ）分 ） 13.已知函数 2 f xxax的图像在点 1,1Af处的切线与直线320xy垂直，执行如 图所示的程序框图，输出的k值是 . 【答案】6 考点：程序框图的计算与输出. 14.在直角坐标系xOy中，已知点0,1A和点3,4B ，若点C在AOB的平

12、分线上，且2OC ， 则OC . 【答案】 10 3 10 (,) 55 【解析】 试题分析：由题意得，1,2OAOB，设OC与AB交于( , )D x y点，则:1:5AD BD，即D分有向 线段AB所成的比为 1 5 ，所以 11 0( 3)1 4) 13 55 , 11 22 11 55 xy ，即 1 3 (, ) 2 2 D ，因为2OC ， 所以 10 3 10 2(,) 55 OD OC OD ，即点C的坐标为 10 3 10 (,) 55 . 考点：向量的运算. 15.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O顺时针旋转30后，构成一个斜坐标平面xOy.在 此斜坐标平面xOy中，

13、点,P x y的坐标定义如下： 过点P作两坐标轴的平分线， 分别交两轴于,M N两 点，则M在Ox轴上表示的数为x，N在Oy轴上表示的数为y.那么以原点O为圆心的单位圆在此斜 坐 标系下的方程为 . 【答案】 22 10xyxy 考点：圆的一般方程. 【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关的新定义的运算问题，对于新定义试题，要紧紧围绕新定义， 根据新定义作出合理的运算与变换，同时着重考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题 的解答中，设出( , )P x y在直角坐标下的坐标为 11 ( ,)P x y，建立两个点之间的变换关系，代入单位圆的方 程，即可曲解轨迹方程，其中正确得到

14、两点之间的变换关系是解答的关键. 16.已知ABC的面积为S，内角,A B C所对的边分别为, ,a b c，且2sin, sin,cosCBA成等比 数列， 2 213 ,218 322 bacac，则 2 41 9 216 c Sa 的最小值为 . 【答案】 3 4 考点：等比数列的应用；余弦定理及三角形的面积公式；导数的应用. 【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式，余弦定理及三角形的面积公式、导数的综合应用，试 题有一点的难度，属于难题，着重考查了学生的推理、运算能力及转化与化归思想方法的应用，本题的解 答中根据题设条件先得出ca，在利用三角恒等变换和三角形的面积公式表示成三角形

15、的面积，进而得到 a的取值范围，再代入 2 41 9 216 c Sa ，利用导数研究其单调性确定最值即可. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.（本小题满分 12 分）设等比数列 n a的前n项和为 n S，已知， 1 2a ，且 123 4,3,2SSS成等差 数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设25 nn bna，求数列 n b的前n项和 n T. 【答案】 （1）2n n anN ； （2） 1 6,1 10,2 34272,3

16、n n n Tn nn . 考点：等比数列通项公式及数列求和. 18 （本小题满分 12 分）如图，四边形PCBM是直角梯形，90 ,/ /,1,2PCBPMBC PMBC ，又1,120 ,ACACBABPC，直线AM与直线PC所成的角为60. （1）求证：PCAC； （2）求二面角MACB的余弦值； （3）求点B到平面MAC的距离. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 21 7 ； （3） 2 21 7 . （2）在平面ABC内，过点C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系，如图所示 设 313 3 0,0,0,0,0,1,0, 2222 PzCPzAMzz 2 2 cos60cos 3 A

17、M CPz AM CP AMCPzz ，且0z 2 13 3 1,1 222 3 z zAM z 考点：直线与平面垂直的判定与证明；空间中二面角的求解；点到平面的距离. 19.（本小题满分 12 分）电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织来源:学|科|网 了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10 元钱三瓶，有 8 种口味供你选择（其中有 一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具 体口味，由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过 3 瓶，且各种口味的瓶数相同，每 点击选择一瓶后，网页自动补充

18、相应的口香糖）. （1）小王花 10 元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？ （2）小王花 10 元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数的分布列， 并计算其数学期望和方差. 【答案】 （1）120种； （2）分布列见解析， 3 8 ， 21 64 . 【解析】 试题分析： （1）若8种口味均不一样，有 3 8 C种，若其中两瓶口味一样，有 11 87 C C种，若三瓶口味一样，有8 种，由此能求出小王共有多少种选择方式； （2）由已知得 1 (3, ) 8 B，由此能求出小王喜欢的草莓口香糖 瓶数的分布列、数学期望和方差. 试题解析： （1）若三瓶口味均不

19、一样，有 3 8 56C 若其中两瓶口味不一样，有 11 87 56C C ，若三瓶口味一样，有 8 种， 所以小王共有 56+56+8=120 种选择方式 考点：排列组合的应用；离散型随机变量的期望与方差. 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，其短轴的下端点在 抛物线 2 4xy的准线上. （1）求椭圆 1 C的方程； （2） 设O为坐标原点，M是直线:2l x 上的动点，F为椭圆的右焦点， 过点F作OM的垂线与以OM 为直径的圆 2 C相交于,P Q两点，与椭圆 1 C相交于,A B两点，如图所示. 若6PQ ，求圆 2

20、 C的方程； 设 2 C与四边形OAMB的面积分别为 12 ,S S，若 12 SS，求的取值范围. 【答案】 （1） 2 2 1 2 x y； （2） 22 112xy或 22 112xy； 2 , 2 . 试题解析： （1）椭圆短轴下端点在抛物线 2 4xy的准线上，1b 22 2 2 2 cab e aa ，2a 所以椭圆 1 C的方程为 2 2 1 2 x y （2）由（1） ，知1,0F，设2,Mt，则 2 C的圆心坐标为1, 2 t 2 C的方程为 2 2 2 11 24 tt xy ，当0t 时，PQ所在直线方程为1x ，此时2PQ ，与题意 不符，不成立，0t . 可设直线PQ

21、所在直线方程为 2 10yxt t ，即2200xtyt 又圆 2 C的半径 2 2 1 14 42 t rt 由 2 22 2 PQ dr ，得 22 2 2 2 611 4 244 4 t t t 解得 2 42tt 圆 2 C的方程为 22 112xy或 22 112xy 当且仅当 2 2 4 4 4 t t ，即0t 时取等号 又 2 0, 2 t，当0t 时，直线PQ的方程为1x 2,2ABOM， 2 1 2 2 SOMAB 2 1 1 2 SOM ， 1 2 2 22 S S 综上， 2 2 ，所以实数的取值范围为 2 , 2 . 考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥

22、曲线的位置关系的应用. 【方法点晴】本题主要考查了圆的方程、椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关 系的应用，着重考查了的参数的取值范围的求解及分类讨论的数学与思想方法的应用及推理、运算能力， 属于中档试题，解答时要认真审题，注意一元二次方程中韦达定理与判别式、弦长公式的灵活应用，同时 熟记基本的公式是解答此类问题的基础. 21.（本小题满分 12 分）设a为实数，函数 2 1 1 x f xx ea x . （1）当1a 时，求 f x在 3 ,2 4 上的最大值； （2）设函数 1 1, x g xf xa xe 当 g x有两个极值点 1212 ,x xxx时，总有 2

23、11 x g xfx，求实数的值（ fx为 f x的导函数）. 【答案】 （1）最大值是 11f； （2） 2 1 e e . 试题解析： （1）当1a 时， 2 1 1 x f xx ex 则 21 21 1 2 21 x x x xxe fxxxe e ，令 21 2 x h xxxe ，则 1 22 x h xxe 显然 h x在区间 3 ,2 4 内是减函数，又 4 311 0 42 h e ，在区间 3 ,2 4 内，总有 0h x h x在区间 3 ,2 4 内是减函数，又 10h 当 3 ,1 4 x 时， 0h x ， 0fx，此时 f x单调递增； 当1,2x时， 0h x

24、0fx，此时 f x单调递减； f x在区间 3 ,2 4 内的极大值也即最大值是 11f 当 1 0x ， 11 11 1 210 xx xee 不等式恒成立，R； 当 1 0,1x 时， 11 11 210 xx ee 恒成立， 1 1 1 1 2 1 x x e e 令函数 1 11 1 11 22 2 11 x xx e k x ee 显然 k x是R内的减函数，当0,1x， 22 0 11 ee k xk ee 1 ,0x 时， 11 11 210 xx ee 恒成立，即 1 1 1 1 2 1 x x e e 由，当,0x ， 2 0 1 e k xk e ，即 2 1 e e 考

25、点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值. 【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，取闭区间上的最值问题，着 重考查了分类讨论的数学思想和转化与化归的思想方法，是一道综合试题，试题有一定的难度，本题解答 中把不等式可化为 11 11 1 210 xx xee ，对任意的 1 ,1x 恒成立.通过讨论当 1 0x 时，当 1 (0,1)x 时， 1 (,1)x 时的情况是解解答的难点. 请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的

26、第一题记分. .解答时请解答时请 写清题号写清题号. . 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点,PBAC的平分线 分别交BC和圆O于点,D E，若210PAPB. （1）求证：2ACAB； （2）求AD DE的值. 【答案】 （1）证明见解析； （2）50. （2）由切割线定理，得 2 ,20PAPB PCPC，又5,15PBBC 又AD是BAC的平分线，2 ACCD ABDB 来源:学&科&网 Z&X&X&K 由相交弦定理，得50AD DECD DB. 考点：圆的切割线定理；相似三角形的应用. 23

27、.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 1 4cos : 3sin xt C yt （t为参数） ， 2 8cos : 3sin x C y （为参数）. （1）化 12 ,C C的方程为普通方程，并说明他们分别表示什么曲线； （2） 若 1 C上的点P对应的参数为, 2 tQ 为 2 C上的动点， 求PQ的中点M到直线 3 32 : 2 xt C yt （t为 参数）距离的最小值. 【答案】 （1） 22 22 12 :431,:1 649 xy CxyC； （2） 8 5 5 . 试题解析： （1） 22 22 12 :431,:1 649 xy CxyC 1

28、C为圆心是4,3，半径是 1 的圆， 2 C为中心是坐标原点，焦点在x轴，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的 椭圆.来源:学+科+网 （2）当 2 t 时，4,4 ,8cos ,3sinPQ，故 3 24cos ,2sin 2 M 3 C的普通方程为270xy，M到 3 C的距离 5 4cos3sin13 5 d 所以当 43 cos,sin 55 时，d取得最小值 8 5 5 . 考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程. 24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 21f xxaxaR. （1）当3a 时，求函数 f x的最大值； （2）解关于x的不等式

29、 0f x .来源:学|科|网 【答案】 （1）2； （2）当1a 时，不等式的解集为 2 2, 3 a a ，当1a 时，不等式的解集为|1x x 当1a ，不等式的解集为 2 ,2 3 a a . 试题解析： （1）当3a 时， 1,3 32135, 13 1,1 xx f xxxxx xx 所以当1x ，函数 f x取得最大值 2. （2）由 0f x ，得21xax 两边平方，得 22 41xax 即 22 32440xaxa 得2320xaxa ， 所以当1a 时，不等式的解集为 2 2, 3 a a 当1a 时，不等式的解集为|1x x 当1a ，不等式的解集为 2 ,2 3 a a . 考点：绝对值不等式的求解.