河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一理科数学试题（解析版）.doc

1、 20182018 届高三毕业班模拟演练届高三毕业班模拟演练 理科数学理科数学 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】集合 集合,则,故选 A. 点睛: (1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集 合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在

2、解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素 的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关AB，AB 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解. 2. 已知, 为虚数单位，若复数 为纯虚数，则 的值为（ ） A. B. 2 C. -2 D. 0 【答案】B 【解析】复数为纯虚数，则,解得 x=2,故选 B. 3. 已知等比数列中，则（ ） A. B. -8 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】由题意可得, ,又同号,所以,则 ,故选 C. 4. 如图的折线图是某公司 2017 年 1 月至 12 月份的收入与支出数据.若从这

3、12 个月份中任意选 3 个月的数 据进行分析，则这 3 个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于 40 万的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由图知,7月,8 月,11 月的利润不低于 40万元,故所求概率为,故选 D. 5. 我国古代九章算术里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤 四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示） ，下底宽 2 丈，长 3 丈； 上底宽 3 丈，长 4 丈；高 3 丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的 2 倍与下底长的和与上底 宽相乘，同样下底长的 2 倍与

4、上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以 6.则 这个问题中的刍童的体积为（ ） A. 13.25 立方丈 B. 26.5 立方丈 C. 53 立方丈 D. 106 立方丈 【答案】B 【解析】分析：根据题意，把有关数据代入公式，即可求出刍童的体积. 详解：由算法可知，刍童的体积， 立方长, 故选：B 点睛：本题解题的关键是理解题意，利用题目提供的各个数据代入公式即可. 6. 已知偶函数在区间上单调递增，且，则 满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】,故, 又,故 ,故选 D. 7. 某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是（ ） A. B

5、. C. D. 【答案】C 【解析】若几何体为两个圆锥体的组合体,则俯视图为 A;若几何体为四棱锥与圆锥的组合体,则俯视图为 B; 若几何体为两个四棱锥的组合体,则俯视图为 D;不可能为 C,故选 C. . 8. 若运行如图所示的程序框图，输出的 的值为 127，则输入的正整数 的所有可能取值的个数为（ ） A. 8 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 点睛: 本题考查程序框图的应用,属于中档题.算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明 晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、 循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研

6、究的数学问题，是求和还是求项. 9. 已知点分别在正方形的边上运动， 且 ， 设， 若， 则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】,又因为, ,当且仅当 x=y时取等号, ,即的最大值 为,故选 C. 10. 已知函数，将的图象向右平移 个单位，所得函数的部 分图象如图所示，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得=,则 ,由图知 ,则 ,由 ,得 ,解得 的值为,故选 A. 11. 若函数满足：的图象是中心对称图形；若 时，图象上的点到其对称中心的距离 不超过一个正数，则称是区间 上的“对称函数”.若函数是区间上的 “对称函数”，

7、则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】函数的图象可由的图象向左平移 1个单位,再向上平移 m个单位得到, 故函数f(x)的图象关于点A(-1,m)对称,如图所示,由图可知,当时,点A到函数f(x)图象上的点(-4,m-27) 或(2,m+27)的距离最大,最大距离为,根据条件只需,故,应选 A. 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点 是双曲线 上的任意一点，过点 作双曲线 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，若四边形（ 为坐标原点）的面积为， 且，则点 的横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题易知四边形 PAO

8、B为平行四边形,且不妨设双曲线 C 的渐近线 ,设点 P(m,n),则直线 PB的方程为 y-n=b(x-m),且点 P 到 OB的距离为,由,解得 ,又 ,又,双曲线 C 的方程为 ,即 ,又 ,解得或 ,所以点P的横坐标m的取值范围为 ,故选 A. 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 已知，则 _ 【答案】 【解析】=,故填. 14. 已知抛物线的焦点坐标为， 则抛物线 与直线所围成的封闭图形的面积为_ 【答案】 【解析】抛物线的标准方程为,由得或,图形面积 ,

9、故填 . 15. 已知实数满足不等式组则目标函数的最大值与最小值之和为_ 【答案】 【解析】令 t=2x,则 x= ,原可行域等价于,作出可行域如图所示,经计算得 的几何意义是点 P(t,y)到原点 O 的距离 d的平方,由图可知,当点 P 与点 C重合时,d 取最大值;d的最小值为点 O到直线 AB:t-y-1=0 的距离,故,所以 的最大值与最小值之和为,故填. 点睛: 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2) 考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的 直线，从而确定最优解(4)求最值

10、：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 16. 在中， 为的中点， 与互为余角，则的值为_ 【答案】或 【解析】设 ,则由+可知, 为的中点， ,即 ,由正弦定理得 或,当 A=B 时,AC=BC, ,当 时, ,在ACD 中, ,综上可得,的值为或. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知数列的前 项和恰好与的展开式中含项的系数相等. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前 项和为，求. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析:(1)根据

11、数列的前 项和等于展开式中含项的系数,以及的关系,求出数列 的通项公式;(2)由(1)求出,根据裂项相消法得出结果. 试题解析: （1）依题意得， 故当时， 又当时，也适合上式， 故. （2）由（1）得 ， 故 . 18. 在矩形中，点 是线段上靠近点 的一个三等分点，点 是线段 上的一个 动点，且.如图，将沿折起至，使得平面平面. （1）当时，求证：； （2）是否存在 ，使得与平面所成的角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析: (1) 当时，点 是的中点,由已知证出,根据面面垂直的性质定理证得 平面,进而证得结论;(2) 以

12、为原点，的方向为 轴， 轴的正方向建立如图所示空间直角 坐标系.写出各点坐标,求出平面的法向量,根据线面角的公式求出结果. 试题解析: （1）当时，点 是的中点. ，. ，. ， . . 又平面平面，平面平面，平面， 平面. 平面，. （2）以 为原点，的方向为 轴， 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系. 则，. 取的中点 ， ， 易证得平面， ，. ，. 设平面的一个法向量为， 则 令，则. 设与平面所成的角为 ， 则 ， 解得或（舍去） 存在实数 ，使得与平面所成的角的正弦值为 ，此时. 19. 春节过后， 某市教育局从全市高中生中抽去了 100 人， 调查了他们的压岁钱收入情况， 按照

13、金额 （单位： 百元）分成了以下几组：，.统计结果如下表所示： 该市高中生压岁钱收入 可以认为服从正态分布，用样本平均数 （每组数据取区间的中点值）作 为 的估计值. （1）求样本平均数 ； （2）求； （3） 某文化公司赞助了市教育局的这次社会调查活动， 并针对该市的高中生制定了赠送“读书卡”的活动， 赠送方式为：压岁钱低于 的获赠两次读书卡，压岁钱不低于 的获赠一次读书卡.已知每次赠送的读书卡张 数及对应的概率如下表所示： 现从该市高中生中随机抽取一人，记 （单位：张）为该名高中生获赠的读书卡的张数，求 的分布列及数 学期望. 参考数据：若，则，. 【答案】(1)68.5(2)0.8185

14、（3） 【解析】试题分析:(1)根据表中数据以及平均数公式代入计算即可;(2) 由（1）得的值,根据概率的计 算公式计算即可;(3) 的所有可能取值为 1,2,3,4,分别求出概率写出分布列,并求出期望即可. 试题解析: （1）， （2）由（1）得，. . （3）易知. 的所有可能取值为 1,2,3,4. ； ； ； . 的分布列为 . 20. 已知椭圆的上顶点为点 ，右焦点为.延长 交椭圆 于点 ，且满足 . （1）试求椭圆 的标准方程； （2）过点作与 轴不重合的直线 和椭圆 交于两点，设椭圆 的左顶点为点 ，且直线分别与 直线交于两点，记直线的斜率分别为，则与之积是否为定值？若是，求出该

15、定值； 若不是，试说明理由. 【答案】(1) (2) 与之积为定值，且该定值是 【解析】试题分析:(1)，可得,将坐标代入求出点 E,代入椭圆方程,结合焦点坐标可 得椭圆方程;(2) 设，,设出直线 AB 的方程,与椭圆方程联立,消去 y 得到关于 x 的一元二次 方程并写出韦达定理,根据三点共线得出 M,N 的坐标,求出与之积得出定值. 试题解析: （1）椭圆 的上顶点为，右焦点，点 的坐标为. ，可得， 又， 代入可得， 又，解得， 即椭圆 的标准方程为. （2）设，. 由题意可设直线的方程为， 联立消去 ， 得， 根据三点共线，可得， . 同理可得， 的坐标分别为， . 与之积为定值，且

16、该定值是. 点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥 曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题， 故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定 理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用 21. 已知函数. （1）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围； （2）设关于 的方程的两个不等实根，求证：（其中 为自然对数的底数）. 【答案】(1) (2)见解析 【解析】试题分析:(1)求出函数的定义域和导函数,对参数 m 进行讨论得出函数的单调性,根据

17、零点存在性 定理判断零点的个数,求出 m 的取值范围;(2) 记函数，则函数的两个相异 零点为,将零点代入写出方程,并对两式相加和相减,再利用分析法以及变量集中构造新函数,并利用导 数求最值的方法证得命题成立. 试题解析: （1）由题意知的定义域为， 且. 当时，在区间上单调递增， 又， ，即函数在区间有唯一零点； 当时， 令，得. 又易知函数在区间上单调递增， 恰有一个零点. 当时，令，得， 在区间上，函数单调递增； 在区间上，函数单调递减， 故当时，取得极大值， 且极大值为，无极小值. 若恰有一个零点，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. （2）记函数， 则函数的两个相异零点为 不妨设

18、， ， ， 两式相减得， 两式相加得. ， 要证，即证， 只需证， 只需证， 即证， 设，则上式转化为， 设， 在区间上单调递增， ， 即，即. 点睛:本题考查函数的应用,利用导数解决函数的零点以及函数的单调性,最值和不等式的证明等问题. 本 题也考查了零点存在性定理的应用,如果函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数在区间a,b内有零点,即存在 ,使得,这个 c 也就是方程 的实 数根.但是反之不一定成立. 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22. 选修 4-4：

19、坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知圆 的参数方程为（ 为参数，）.以原点 为极点， 轴 的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标方程是. （1）若直线 与圆 有公共点，试求实数 的取值范围； （2）当时，过点且与直线 平行的直线 交圆 于两点，求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析:(1)根据极坐标与普通方程的互化公式求出直线的直角坐标方程,消参得出圆的普通方程, 直线 与圆 有公共点， 则圆心到直线的距离,即可求出范围;(2)将直线的参数方程代入曲线方程,根据 t 的几何意义求值即可. 试题解析: （1）由， 得， 即， 故直线 的直角坐标方程为. 由

20、 得 所以圆 的普通方程为. 若直线 与圆 有公共点，则圆心到直线 的距离，即， 故实数 的取值范围为. （2）因为直线 的倾斜角为 ，且过点， 所以直线 的参数方程为（ 为参数） ， 圆 的方程为， 联立，得， 设两点对应的参数分别为， 则， 故. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数. （1）解不等式； （2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实 数 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】分析：(1)讨论 x的取值范围，把不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后取并集； （2）对于任意的，都存在，使得成立即的值域为值域的子集. 详解： （1）依题意，得 由，得或或

21、解得. 即不等式的解集为. （2）由（1）知， ， 则， 解得， 即实数 的取值范围为. 点睛：|xa|xb|c(或c)(c0)，|xa|xb|c(或c)(c0)型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解 (1)零点分区间法的一般步骤 令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； 将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间； 由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； 取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集 (2)利用绝对值的几何意义 由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与 x 对应的点到 a，b 对应的点的距离之和与距离之差， 因 此对形如|xa|xb|c(c0)或|xa|xb|c(c0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观