河北省衡水金卷2018年高三调研卷 全国卷 I A 理科数学试题（二）（解析版）.doc

1、 【衡水金卷】【衡水金卷】2018 年衡水金卷调研卷年衡水金卷调研卷 全国卷全国卷 I A 模拟试题（二）模拟试题（二） 理科数学理科数学 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，故选 B. 2. 已知 是虚数单位，复数 满足，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】， ，故选 A.

2、3. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下表所示： 若满足回归方程，则以下为真命题的是（ ） A. 每增加 1个单位长度，则 一定增加 1.5 个单位长度 B. 每增加 1 个单位长度， 就减少 1.5 个单位长度 C. 所有样本点的中心为 D. 当时， 的预测值为 13.5 【答案】D 【解析】由，得 每增一个单位长度， 不一定增加，而是大约增加个单位长度，故选项 错误；由已知表格中的数据，可知，回归直线必 过样本的中心点，故 错误；又，回归方程为，当时， 的预 测值为，故 正确，故选 D. 4. 已知点为椭圆 ： 上一点，是椭圆 的两个焦点，如的内切圆的直径 为 3，则此椭圆的离心

3、率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由椭圆的定义可知的周长为 ，设三角形内切圆半径为 ，所以的面积 ，整理得，又，故得椭圆 的离心率为， 故选 C. 【 方法点睛】本题主要考查椭圆的定义、性质及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是 一个重点也是难点， 一般求离心率有以下几种情况： 直接求出， 从而求出 ;构造的齐次式， 求出 ; 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据三角形的面 积可以建立关于焦半径和焦距的关系从而找出之间的关系，求出离心率 5. 如图，已知与有一个公共顶点 ，且与 的交点 平分，若，则 的最小值为（

4、 ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】， 又， 又三点共线， 即得，易知， ，当且仅当，即时，取等号，故选 C. 【易错点晴】本题主要考查平面向量基本定理的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等 式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正； 二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成 立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 6. 我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直

5、于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑 堵， 若 ， 当阳马体积最大时， 则堑堵的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设，则，由题意，得四棱锥的体积为 ， 当且仅当， 即时， 取等号， 设的 中点分别为，则堑堵的外接球的球心应恰为线段的中点，又，则堑 堵的外接球的半径 满足，故，故堑堵的外接球 的体积为，故选 B. 7. “”是“函数与函数在区间上的单调性相同”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 函数在区间上是单调递减的， 当时， 函

6、数在区间上 也是单调递减的，所以充分性成立，当时，在区间上也是单调递减的， 故必要性不成立，“”是“函数与函数 在区间上的单调性相同”的充分不必要条 件，故选 A. 8. 执行如图所示的程序框图，若输出，则判断框内应填的内容是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由程序框图的功能可知，输出，此时，判 断框内应填，故选 A. 9. 如图所示，直线 为双曲线 ：的一条渐近线，是双曲线 的左、右焦点，关于 直线 的对称点为，且是以为圆心，以半焦距 为半径的圆上的一点，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】设焦点关于渐近线的对称点为，则，又点在

7、圆上， ，故选 C. 10. 某单位现需要将“先进个人”、 “业务精英”、 “道德模范”、 “新长征突击手”、 “年度优秀员工”5 种荣誉分配给 3 个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分 给同一个人，则不同的分配方法共有（ ） A. 114 种 B. 150 种 C. 120种 D. 118种 【答案】A 【解析】将 种荣誉分给 人，共有和两类. 当为时，共有，“道德模范”与“新 长征突击手”分给一个人共有种，故有；当为时，共有，“道德模 范”与“新长征突击手”分给一个人共有种，故有种，综上，不同的分配方法共有 种，故选 A. 11. 如图，正方体的对

8、角线上存在一动点 ，过点 作垂直于平面 的直线，与正 方体表面相交于两点.设，的面积为 ，则当点 由点 运动到的中点时，函数的图 象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设，而 由 运动到的中点的过程中，由相似三角形，可知 为定值，设正方体的边长为 ，当 为线段的中点时，则的面 积为 ，故选 D. 12. 已知为函数的导函数，当 是斜率为 的质询案的倾斜角时，若不等式 恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题可知，即 ，令，则，即在区间内单调递增，由 ，可知不正确，由可得， 正确，故选 D. 【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,

9、属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函 数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数， 并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题 意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面 着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的 函数. 二、填空题（每题二、填空题（每题 4 4 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 已知函数，则其最小正周期为_. 【答案】 【解析

10、】因为函数 ， 函数，则其最小正周期为，故答案为 . 14. 过，两点的光线经 轴反射后所在直线与圆 存在公共点，则实数 的取值范围为 _. 【答案】 【解析】点关于 轴的对称点为，则直线的方程为，即，因 为反射后所在直线与圆存在公共点，所以圆心到直线的距离 ，即，解得，故实数 的取值范围是，故答案为. 15. 如图，将正方形沿着边抬起到一定位置得到正方形，并使得平面 与平面所成 的二面角为，为正方形内一条直线，则直线与所成角的取值范围为_. 【答案】 【解析】 不妨设正方形的边长为 ， 作， 垂足为 ， 由， 得平面， 故， 又， 得平面， 故直线在平面内的射影为， 易知， 则与平面 所成的

11、角为与平面内的直线所成的最小角为，而直线与所成角的最大角为 （当与重合时，与所成角为的） ，所以直线与所成角的取值范闱为，故答案 为. 16. 已知菱形， 为的中点，且，则菱形 面积的最大值为_. 【答案】12 【解析】设，则两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即 ，设，在中，由余弦定理可知， 即， ， 令， 则， 则， 当 时，即时，有最大值，故答案为. 【方法点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及最值问题，属于难题.求最值的常见方法有配方法：若函 数为一元二次函数，常采用配方法求函数最值，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定 义域；换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值

12、域时需认真分析换元参数的范围变化；不等式 法；单调性法；图象法.本题(2)求值域时主要应用方法求解的. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 题，共题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知数列的前 项和 . （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前 项和. 【答案】(1)见解析;(2). 【解析】试题分析：（1）当时，；当时，对不 成立，从而可得数列的通项公式；（2）当时，当时， ，利用裂项相消法可得，再验证时，是否成立即可. 试题解析：（1）当时，； 当时， 对不成立， 所以数列的通项公式为. （

13、2）当时， ， 当时， 所以 又时，符合上式， 所以（）. 【方法点晴】本题主要考查数列的通项公式与求和，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消 法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结 构特点，常见的裂项技巧：(1)； （2） ； （3） ； （4） ；此外，需注意裂项之 后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误 18. 如图所示，已知三棱锥中，底面是等边三角形，且，分别是的中 点. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析;(2). 【解析】试题分析： （1）连接，因为 是的中点，由

14、等腰三角形及等边三角形的性质可得 ，从而利用线面垂直的判定定理可得结果； （2）先根据勾股定理证明与垂直，再以 为轴建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，利用向量垂直数量积为零，列方 程组求出平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式可求得二面角的余弦值. 试题解析：(1)连接，因为，底面等边三角形， 又因为 是的中点， 所以 又因为， 所以平面. （2）因为， 由（1）可知， 而，所以 以 为原点，以的方向为 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 由题得平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为 所以，即 令得 所以， 所以 由题意知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 【方法点

15、晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体 几何问题的一般步骤是： （1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系； （2）写出相应点的坐标，求出相应 直线的方向向量； （3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量； （4） 将空间位置关系转化为向量关系； （5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19. 伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机 支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了 50 人，对他们一个月内使用手机支付 的情况进行了统计，如下表： （1）若

16、以“年龄 55 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为 “使用手机支付”与人的年龄有关； （2）若从年龄在，内的被调查人中各随机选取 2 人进行追踪调查，记选中的 4 人中“使用手 机支付”的人数为 . 求随机变量 的分布列； 求随机变量 的数学期望. 参考数据如下： 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考格式：，其中 【答案】(1)见解析;(2)见解析.见解析. 【解析】 试题分析：（1） 根据表格中数据可完成列联表， 利用公式：求得 ， 与邻界值比较，即可得到结论； （2）选中的 人中“使用手机支付”的人数为 的可能取值为

17、利用组 合知识，根据古典概型概率公式公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列；由利用期望公式 可得 的数学期望. 试题解析： （1）列联表如下： 的观测值， 所以有的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关. （2）由题意，可知 所有可能取值有 0，1，2，3， ， ， ， ， 所以 的分布列是 . 20. 已知点，过点作与 轴平行的直线 ，点 为动点 在直线 上的投影，且满足 . （1）求动点的轨迹 的方程； （2）已知点 为曲线 上的一点，且曲线 在点 处的切线为 ，若 与直线 相交于点 ，试探究在 轴上是否 存在点 ，使得以为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由

18、. 【答案】(1);(2)见解析. 【解析】试题分析： （1）设，由题得，则，由 化简即可得动点的轨迹 的方程； （2）设点，根据导数的几何意义，结 合直线的点斜式方程可得直线 的方程为，从而得 点的坐标为，由 恒成立得解得，进而可得结果. 试题解析：(1)设，由题得 又， ， ， 由， 得，即， 轨迹 的方程为. （2）设点， 由，得， ， 直线 的方程为 令，可得， 点的坐标为， ，（*） 要使方程（*）对恒成立，则必有解得. 即在 轴上存在点 ，使得以为直径的圆恒过点 ，其坐标为. 21. 已知函数. （1）若函数，试研究函数的极值情况； （2）记函数在区间内的零点为，记，若在区间内 有

19、两个不等实根，证明：. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】试题分析： （1）由求出，分三种情况讨论 的范围，在定义域内，分 别令求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间，根据单调性 可得函数的极值情况； （2）先证明，即在区间内单调递增，根据零点存在性定理， 存在 ， 使得， 可得以， 要证， 只需证， 即， 记， 其中， 利用导数可证明单调递增， 故当 时，即可得，进而可得结果. 试题解析： （1）由题意，得， 故， 故， . 令，得 当时， 或； , 所以在处取极大值， 在处取极小值. 当时，恒成立，所以不存在极值； 当时，或； , 所以在处取极大值， 在处

20、取极小值. 综上， 当时，在处取极大值， 在处取极小值； 当时， 不存在极值； 时，在处取极大值，在处取极小值. （2），定义域为， ，而， 故，即在区间内单调递增 又， 且在区间内的图象连续不断， 故根据零点存在性定理，有在区间内有且仅有唯一零点. 所以存在，使得， 且当时，； 当时， 所以 当时， 由得单调递增； 当当时， 由得单调递减； 若在区间内有两个不等实根（） 则. 要证，即证 又，而在区间内单调递减， 故可证， 又由， 即证， 即 记，其中 记，则， 当时，； 当时， 故 而，故， 而， 所以， 因此， 即单调递增，故当时， 即，故，得证. 请考生在请考生在 2222、2323

21、二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. . 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知圆：（ 为参数） ，以 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同 的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程. （1）分别写出圆的普通方程与圆的直角坐标方程； （2）设圆与圆的公共弦的端点为 ，圆的圆心为，求的面积. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】试题分析： （1）圆的参数方程利用平方法消去参数可得出圆的普通方程， ，圆的极坐标方程 两边同乘以 利用 即可得圆的直角坐标方程； （2）两圆的直角坐标方程相减 可得公共弦所

22、在直线方程为，利用点到直线距离公式及勾股定理求出弦长，由三角形面积公式可得 结果. 试题解析：（1）因为圆：（ 为参数） ， 所以圆的普通方程是 因为圆：， 所以圆的直角坐标方程是. （2）因为圆：， 圆：， 两式相减，得， 即公共弦所在直线为， 所以点到的距离为， 所以公共弦长为， 所以. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知均为正实数，且. （1）求的最大值； （2）求的最大值. 【答案】(1)12;(2). 【解析】试题分析： （1）利用柯西不等式可得 ，结合即可得的最大值； （2）原式 ，因为 ，从而可得结果. 试题解析：（1） ， 当且仅当，即时，取等号， 故原式的最大值为 12. （2）原式 因为 ， 当且仅当，即时，取等号 所以原式， 故原式的最大值为.