2018年普通高校招生全国卷 一（A） 高三信息卷 （四）理科数学试题（解析版）.doc

1、 【衡水金卷】【衡水金卷】2018 年普通高校招生全国卷年普通高校招生全国卷 I A 信息卷信息卷 高三理科数学（四）高三理科数学（四） 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1. 已知函数的定义域为集合 ，集合 ，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题可知 所以故选 B. 2. 已知复数为虚数单位） ，则 的值为（ ） A. B. 5 C. D. 6

2、【答案】C 【解析】由复数得-5-i=a+bi，所以 a=-5，b=-1，所以(a-i)b=(-5-i) （-1）=5+i，因 此|(a-i)b|=|5+i|=故选 C. 3. 九章算术是我国古代数学名著，其中有一道题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生 日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”其意思是说：今有蒲草第 1 日长高 3 尺，莞草第 1 日长高 1 尺， 以后蒲草每日长高前一日的半数，而莞草从第 2 日起每日长高是前一日的 2 倍，问多少天蒲草、莞草的高 度相等？现将问题改为：经过多少天蒲草与莞草的高度比为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】由

3、题可知蒲草构成以 3 为首项 为公比的等比数列，而莞草构成以 1为首项 2为公比的等比数列， 设经过 n天，蒲草的高度为，莞草的高度为，则有 故选 C. 4. 有一匀速转动的圆盘，其中有一个固定的小目标，甲、乙两人站在距离圆盘线外的 2 米处用小圆环向 圆盘中心抛掷，他们抛掷的圆环能套上小目标的概率分别为 与 ，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心 各抛掷一次，则小目标被套上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】小目标 M被套上包括甲抛掷的套上、乙抛掷的没有套上；乙抛掷的套上、甲抛掷的没有套上；甲、 乙抛掷的都套上，所以故选 D. 5. 设双曲线 ：的左、右焦点分别为 ，直

4、线 ：与双曲线 在第 一、三象限的渐近线的交点为 ，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】由题可知双曲线 C在第一、三象限的渐近线方程为联立方程组 设点 O为坐标原点， 由A可知 化简得故选 B. 6. 已知函数的导函数 在区间内单调递减，且实数 ， 满足不等式 ，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由可得因为 a0，所以由在区间内单调递减，可知 又实数 a,b 满足不等式，故实数满足不等式组在直角 坐标系中作出上述不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示， 又的几何意义是表示平面区域内的动点 Q(a,b)与定点 P(2

5、,3)连线的斜率， 数形结合易知最大，最小， 由方程组 所以的取值范围为，故选 C. 点睛：本题的难点在于能够数形结合，看到不等式要联想到二元一次不等式对应的平面区域，看到 不等式要联想到二次不等式对应的曲线区域.如果这个地方不能想到数形结合，本题突破就 不容易.数学的观察想象是数学能力的一个重要部分,在平时的学习中,要有意识的培养和运用. 7. 设 ：， ： ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设 ：的解集为 A，所以 A=x|-2x0 或 0x2,设 ：的解 集为 B，所以 B=x|mxm+1,由题知 p 是 q 的必要不充分

6、条件，即得 B 是 A 的真子集，所以有 综合得 m，故选 D. 8. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为 ， 则 的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由可知 = 故选 A. 9. 在二项式的展开式中， 所有项的系数之和记为 ， 第 项的系数记为 ， 若 ， 则 的值为 （ ） A. 2 B. C. 2 或 D. 2 或 【答案】D 【解析】在中，令 x=1,所以又其通项公式为即 所以因此依题有 故选 D. 10. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】该几何体是一四棱锥与一个半圆柱的组合体，其中半圆柱的底面半径

7、r=1,高 l=2,而正四棱锥是底面 边长为 2的正方形，侧棱长为 2，且顶点在底面的射影为正方形的中心，所以半圆柱的表面积为 正四棱锥的四个侧面积的和为所以该几何体的表面积为 故选 A. 11. 已知抛物线的焦点为 ，过焦点 的直线 分别交抛物线于点 ，过点分别作抛物线的 切线， 两切线交于点， 若过点且与 轴垂直的直线恰为圆的一条切线， 则 的值为 （ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】由题可知抛物线的焦点为 且过焦点 F 的直线斜率存在，所以可设直线 ，联立方程组设， 则又由得所以过 A 点的切线方程为 .同理可知过点 B 的切线方程为联立方程组 因此点过点 M 与

8、 y 轴垂直的直线为，而圆 与 y 轴负半轴交于点（0，-1） ，所以故选 C. 点睛：本题的思路比较自然，只要循序渐进，一步一步转化就可以了. 主要是计算有点复杂，在求出过点 A 的切线方程后，不必再重新求过点 B 的切线方程， 只要利用对称性同理求出可以提 高解题效率. 12. 已知函数，若函数 的图象与 轴的交点个数不少于 2 个，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题可知函数的图象与 轴的交点个数不少于 2 个，即为函数 y=f(x)的图像与函 数 y=mx+m 的图像的交点个数不少于 2 个，由于函数 y=mx+m 的图像过定点 P（-1,0）

9、，且斜率为 m,作出函数 y=f(x)的图像如图所示， 数形结合可知，当动直线过点 A时有 2个交点，当动直线为的切线时，即过点 B 时有两 个交点，在这两种极限位置之间有 3 个交点，易知设直线 y=mx+m与函数 的图像相切，联立方程组由题可知 又 x1.所以 过点（-1,0）作的切线，设切点坐标为，则此时，切线的斜率 为 故实数 m的取值范围为.综上实数 m的取值范围为. 故选 A. 点睛：本题有两个难点,一个难点是要会通过数形结合分析出在什么情况下函数的图象与 轴的交点个数不少于 2 个,找到三个极限位置.第二个难点是怎么利用导数和导数的几何意义求切线的斜率, 要求对导数的知识比较熟练

10、. 二、填空题（每题二、填空题（每题 4 4 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 如图所示的矩形中，分别为线段，的中点，则 的值为_. 【答案】 【解析】由图可知 所以 故填-6. 14. 如图所示的算法框图中，若输出的 值为 1，则输入的的值可能为_. 【答案】2 或 【解析】由框图可知该程序表示的是分段函数，当 x1时，令 当 x1 时，令 综合得 x=2或 x=-4.故填 2 或. 15. 若函数具备以下两个条件： （1）至少有一条对称轴或一个对称中心； （2）至少有两个零点，则称这 样的函数为“多元素”函数，下列函数中为“多元素”函数的

11、是_. ；. 【答案】 【解析】对于，图像关于直线 x=1对称，且-1,3为零点，符合条件；对于，由于 f(2-x)=f(x)可得函数的 图像关于直线 x=1 对称，当且仅当 x=1 取得，故函数的最小值为 2e-100，而 f(-1)0，f(3)0，故在区间（-1,1），（1,3）上各有一个零点，符合题意；对于，是由 奇函数右移一个单位得到， 故函数的图像关于点 （1,0） 对称， 又 f(-1)0，f(0)0， 可知在区间 （-1，0） 上存在一个零点，又 f(1)=0,所以符合题意;对于，所以没有零点.故填. 16. 对于数列，若对任意，都有 成立，则称数列为“增差数列”.设 ，若存在正

12、实数 使数列（）是“增差数列”，则正实数 的取值范围 是_. 【答案】 【解析】存在正实数 使数列（）是“增差数列”，得 恒成立，整理得也就是因为 n5，所以 由于在区间内单调递减，所以 综合可知故填. 点睛：对于这类定义题，首先是理解定义的完整内容和一些关键词，再利用定义解答. “增差数列”这个定 义比较好理解，主要是后面的化简，由于含有指数式并且有分母，所以化简时要认真，化简得到 后，要联想到分离参数求最值. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 题，共题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知函数

13、. （1）求函数的单调区间及最值； （2）在锐角中，若，求锐角 的面积. 【答案】（1）最大值为 2，最小值为，单调递增区间为，单调递减区间为 .（2） 【解析】试题分析： （1）第（1）问，先利用三角恒等变换的公式把原函数化简为,再求函数 的最值和单调区间.(2)第（2）问，先利用已知和余弦定理求出 bc 的值，再求三角形的面积. 试题解析： （1）由 ， 可知 ， 所以的最大值为 2，最小值为， 令， 化简得， 令， 化简得， 故单调递增区间为， 单调递减区间为. （2）由题得，即 ， 因为是锐角三角形，所以，所以， 因此. 又由余弦定理可知 因为，所以. 从而. 18. 如图所示，直棱柱

14、的底面是边长为 4 的菱形，且，侧棱长为 6， ， 点分别是线段的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】试题分析： （1）第（1）问，先证明 ,再证明平面 .(2)第（2）问，一 般利用向量法求二面角的平面角的余弦值. 试题解析： (1)由题知， 为的中点， 又侧棱与底面垂直, 平面平面，且交线为， 平面 又平面， ， 又， 为d 中点， 又， 平面. (2)由题及（1）的证明可知两两垂直，以 为原点，分别以为轴的正半轴建立空 间直角坐标系（如图所示） ， 则 分别为的中点， . ， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，得， 由（1）的证明可知为平

15、面的一个法向量， 设二面角为 ，则易知 为锐角， 则有. 二面角的余弦值为. 19. 2017 年 10 月 18 日，习近平同志在党的十九大上向世界郑重宣示中国进入新时代，在这一新形势下，某 地政府出台了进入新时代的 5 年具体规划，现对其中的一项公益项目进行民意调研，并根据调研结果决定 后继工作，调查人员随机在各地对市民进行问卷调查，其中调查结果均在内.将结果绘制成如图所示 的频率分布直方图，并规定调查对象意见互不影响；满分 100 分，评分在内需重新论证，评分在 内认为可第二批立项实施，评分在内认为可第一批立项实施. （1）用样本的频率代替概率，求被调查者认为可立项实施的概率； （2）若

16、从该市的全体市民中随机抽取 4 人，试估计恰有 3 人认为该项目可第一批立项实施的概率（结果精 确到 0.001） ； （3）已知在评分低于 60 分的被调查者中，老年人占 ，现从评分低于 60 分的被调查者中按年龄分层抽取 12 人以便了解个人看法，并从中选取 3 人担任督查员，记 为督查员内老年人的人数，求随机变量 的分布 列及其数学期望. （参考数据：， ） 【答案】（1）0.96（2）0.136（3）见解析 【解析】试题分析： （1）第（1）问，一般利用对立事件的概率公式求被调查者认为可立项实施的概率. (2) 第（2）问，先根据频率分布直方图求该项目可第一批立项实施的概率，再利用独立

17、重复试验的概率求恰有 3 人认为该项目可第一批立项实施的概率.（3）第（3）问，先求这 12 人中，老年人有 4 人，非老年人有 8 人，再求出随机变量 的分布列及其数学期望. 试题解析： （1）根据题意：被调查者认为可立项实施的概率为评分在 60 分（含）以上的概率，由频率分布直方图易 知. （2）认为该项目可第一批立项实施即得分在 80 分及以上的，根据频率分布直方图，可知其频率是 . 用样本的频率代替概率，故从中抽取 4 人恰有 3 人认为该项目可第一批立项实施的概率为 . （3）因为评分低于 60 分的被调查者中，老年人占 ，所以这 12 人中，老年人有 4 人，非老年人有 8 人，

18、随机变量 的所有可能值为 0，1，2，3 ， 的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望. 20. 在平面直角坐标系中，椭圆 ：的左、右焦点分别为，两焦点与短轴的一个 顶点构成等腰直角三角形，且点在椭圆 上. （1）求椭圆 的标准方程； （2）如图所示，过椭圆的左焦点作直线 （斜率存在且不为 0）交椭圆 于两点，过右焦点作直线 交椭 圆 于两点，且，直线交 轴于点 ，动点 （异于）在椭圆上运动. 证明：为常数； 当时，利用上述结论求面积的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析： （1）第（1）问，由两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形得到，再 由点在椭圆 上得到方程，最后解方程组

19、即可得到椭圆的标准方程.(2)第（2）问第问，先求出 ，再利用已知条件化简得到为常数.第问，先求出的 三角函数表达式，再研究它的取值范围. 试题解析： (1)由两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，可知， 所以椭圆 的方程为， 又点在椭圆 上， 所以， 故所求椭圆 的标准方程为. （2）易知且不与 轴垂直， 设， 由对称性可知， 所以，从而， 因为点，在椭圆上， 所以 ， 因此为常数. 当时，可知， 由 ， 因此直线的方程为， 令，所以，且已知， 因此. 设（其中 为参数） ，由点到直线的距离公式可知 （其中）， 因此 ， 当时，最大为，且此时 点与不重合. 无最小值. 所以的取值范围是.

20、 点睛： 求变量的取值范围常用的是函数的方法， 本题就是利用了函数的方法， 先求出 的表达式，再利用三角函数的图像和性质求它的取值范围，函数的思想，是高中数学里重要的数学思想， 大家要理解掌握和灵活运用. 21. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数的零点至少有两个，求实数 的最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.（2）3 【解析】（1） 第 （1） 问， 直接利用导数求函数的单调区间.(2)第 （2） 问， 至少有两个根，再构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出函数的图像，数形 结合得到实数 a 的最小值. 试题解析： （1）当时，所以有， 令 所以

21、当或时，单调递增； 当时，单调递减. 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令，其在区间内至少有两个根，则 至少有两个根， 记， 所以， 记， 所以， 令（舍） 所以当时，单调递减，时，单调递增， 所以的最小值为， 又，所以时， 又当时， 因此必存在唯一的，使得， 因此时，单调递增，单调递减， 时，单调递增，画出的大致图象，如图所示， 因此函数的极小值为，极大值为， 又由于， 因此当时，或时，数形结合易知函数有 2 个零点， 当时，函数有 3 个零点. 综合得函数的零点至少有两个时，实数 的最小值为 3. 点睛：本题有两个解题常规技巧.一是对于参数的问题，分离参数是一种常用的技巧，本题分

22、离参数得到 至少有两个根，就把问题转化的比较简单.二是对于零点问题，最常用的是数形结合分析，本 题就是先求出函数的性质再作出它的图像分析出实数 a 的取值范围的. 请考生在请考生在 2222、2323 二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. . 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线 的参数方程为（ 为参数） ，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线 的极坐标方程. （1）求直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程； （2）设曲线 与 轴的两个交点分别为，与 轴正半轴的交点为 ，求直线 将分成的两部分的面

23、积 比. 【答案】（1），（2） 【解析】 （1）第（1）问，直接利用坐标互化的公式求直线 l的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程. (2)第（2） 问，先分别求两部分的面积比. 试题解析： （1） ：中消去参数 ，得， 所以直线 的普通方程为. 又可变形为， 即得 ， 因此曲线 的直角坐标方程为. （2）设直线 与 轴的交点为，在方程中， 令得，所以, 又由（1）可知， 所以直线：即：， 设直线 与直线交于点 ，联立方程组 ， 所以两直线交点为， 所以， ， 从而四边形的面积， 所以. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知，且都是正数. （1）求证：； （2）是否存在实数 ，使得关于 的不等式对所有满足题设条件的正实数恒成 立？如果存在，求出 的取值范围，如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 （1）第（1）问，利用基本不等式证明. (2)第（2）问，由题得， 再转化成恒成立，求出 m 的取值范围. 试题解析： （1）因为，且都是正数， 所以 ， 当且仅当时，取等号， 所以得证. （2）因为， 所以， 因此（当且仅当时，取等号）， 所以 由题得恒成立，即得恒成立， 因此 . 故存在实数使不等式成立.