勾股定理 公开课获奖课件.ppt
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1、第十七章第十七章 勾股定理勾股定理17.1 17.1 勾股定理勾股定理第第1 1课时课时 勾股定理勾股定理1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升u勾股定理勾股定理u勾股定理与图形的面积勾股定理与图形的面积 相传相传2500年前,一次毕达哥拉斯去朋友家作客,年前,一次毕达哥拉斯去朋友家作客,发现朋友家用砖铺成的地发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的面反映直角三角形三边的某种数量关系,同学们,某种数量关系,同学们,我们也来观察下面的图案,我们也来观察下面的图案,看看你能发现什么?看看你能发现什么?A、B、C的面积有什么关系?的面积有什么关系
2、?直角三角形三边有什么关系?直角三角形三边有什么关系?ABC让我们一起探索这个古老的定理吧!让我们一起探索这个古老的定理吧!1知识点知识点勾股定理勾股定理 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾勾,较长的,较长的直角边称为直角边称为股股,斜边称为,斜边称为弦弦.图图1称为称为“弦图弦图”,最早是由,最早是由三国时期的数学家赵爽在为三国时期的数学家赵爽在为周髀算经周髀算经作法时给出的作法时给出的.弦弦股股勾勾图图1ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积图中每个小方格代表一个单位面积)图图2-1图图2-2(1)观察图观察图2-1 正方形正方形A中含有中
3、含有 个个 小方格,即小方格,即A的面积的面积 是是 个单位面积个单位面积.正方形正方形B的面积是的面积是 个单位面积个单位面积.正方形正方形C的面积是的面积是 个单位面积个单位面积.99918ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积图中每个小方格代表一个单位面积)图图2-1图图2-21=43 32 分分“割割”成成若干个直角边为若干个直角边为整数的三角形整数的三角形=18(单位面积单位面积)S正方形正方形cABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积图中每个小方格代表一个单位面积)图图2-1图图2-2(2)在图在图2-2中,正方形中,正方形A,B,C中各含有多少个小方格?中各含有多少个小
4、方格?它们的面积各是多少?它们的面积各是多少?(3)你能发现图你能发现图2-1中中三个正方三个正方 形形A,B,C的面积之间有的面积之间有 什么关系吗?什么关系吗?SA+SB=SC 即:两条直角边上即:两条直角边上的正方形面积之和等于的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积斜边上的正方形的面积.A AB BC Ca ac cb bS Sa a+S+Sb b=S=Sc c观察所得到的各组数据,你有什么发现?观察所得到的各组数据,你有什么发现?猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系?之间的关系?a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a
5、 ac cb b 直角三角形两直角边的平方和等于直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方斜边的平方.勾勾股股弦弦 勾股定理勾股定理(毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理)定义:定义:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果用如果用a,b和和c分别表示直角三角形的两直角边分别表示直角三角形的两直角边 和斜边,那么和斜边,那么a2b2c2.数学表达式:数学表达式:在在RtABC中,中,C90,ABc,ACb,BCa,则,则a2b2c2.分清斜边和直角边因为在分清斜边和直角边因为在RtABC中,中,a,b,c是三边,所以可以用勾股定理解决问题是三边,所以可以用勾
6、股定理解决问题例例1 在在RtABC中,中,C90,A,B,C的的 对边分别是对边分别是a,b,c.(1)已知已知ab6,求,求c;(2)已知已知c3,b2,求,求a;(3)已知已知a b2 1,c5,求,求b.导引:导引:(1)C90,ab6,由勾股定理,得由勾股定理,得(2)C90,c3,b2,由勾股定理,得由勾股定理,得(3)C90,a b2 1,a2b.又又c5,由勾股定理,得,由勾股定理,得(2b)2b252,解得解得b2222666 2.cab2222325.acb5.解:解:总总 结结 利用勾股定理求直角三角形的边长的方法:利用勾股定理求直角三角形的边长的方法:一般一般都要经过都
7、要经过“一分二代三化简一分二代三化简”这这“三步曲三步曲”,即一分:分,即一分:分清哪条边是斜边,哪些是直角边;二代:将已知边长清哪条边是斜边,哪些是直角边;二代:将已知边长及两边之间的关系式代入及两边之间的关系式代入a2b2c2(假设假设c是斜边是斜边);三化简三化简1 设直角三角形的两条直角边长分别为设直角三角形的两条直角边长分别为a和和b,斜边,斜边 长为长为c.(1)已知已知a=6,c=10,求求b;(2)已知已知a=5,b=12,求求c;(3)已知已知c=25,b=15,求,求a.(1)(2)(3)解解:2222251520.acb222251213.cab22221068;bca下
8、列说法中正确的是下列说法中正确的是()A已知已知a,b,c是三角形的三边长,则是三角形的三边长,则a2b2c2B在直角三角形中,两边的平方和等于第三边的在直角三角形中,两边的平方和等于第三边的 平方平方C在在RtABC中,中,C90,所以,所以a2b2c2D在在RtABC中,中,B90,所以,所以a2b2c2C23 若一个直角三角形的两直角边的长分别为若一个直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边长为斜边长为c,则下列关于,则下列关于a,b,c的关系式中不正的关系式中不正确的是确的是()Ab2c2a2 Ba2c2b2 Cb2a2c2 Dc2 2a2b2C【2016荆门荆门】如图,在如图,在A
9、BC中,中,ABAC,AD是是BAC的平分线已知的平分线已知AB5,AD3,则则BC的长为的长为()A5 B6 C8 D10C4【2016东营东营】在在ABC中,中,AB10,AC2 ,BC边上的高边上的高AD6,则另一边,则另一边BC等等于于()A10 B8 C6或或10 D8或或10C510【2017陕西陕西】如图,将两个大小、形状完全相同如图,将两个大小、形状完全相同的的ABC和和ABC拼在一起,其中点拼在一起,其中点A与点与点A重重合,点合,点C落在边落在边AB上,连接上,连接BC.若若ACBACB90,ACBC3,则,则BC的长为的长为()A3 B6 C3 D.A63221【2016
10、漳州漳州】如图,在如图,在ABC中,中,ABAC5,BC8,D是线段是线段BC上的动点上的动点(不含端点不含端点B,C),若,若线段线段AD长为正整数,则点长为正整数,则点D的个数共有的个数共有()A5个个 B4个个 C3个个 D2个个C7如图,在如图,在RtABC中,中,A90,BD平分平分ABC,交,交AC于点于点D,且,且AB4,BD5,则点,则点D到到BC的距离是的距离是()A3B4C5D6A82知识点知识点勾股定理与面积的关系勾股定理与面积的关系 在一张纸上画在一张纸上画4个与图所示的全等的直角三边形,个与图所示的全等的直角三边形,并把它们剪下来如图所示,用这四个直角三角形进并把它们
11、剪下来如图所示,用这四个直角三角形进行拼摆,将得到一个以行拼摆,将得到一个以a+b为边长的大正方形和以直为边长的大正方形和以直角形斜边角形斜边c为边长的小正方形为边长的小正方形归归 纳纳 观察图形,容易得到大正方形的边长为观察图形,容易得到大正方形的边长为 a+b,所以,所以大正方形的面积是大正方形的面积是(a+b)2又因为大正方形是由又因为大正方形是由4个全等个全等的直角三角形和中间的正方形拼成的,所以大正方形的的直角三角形和中间的正方形拼成的,所以大正方形的面积又可表示成面积又可表示成 ab4+c2 因此有因此有(a+b)2=ab4+c2整理得整理得a2+b2=c2,即,即a、b、c为边的
12、直角三角形满足为边的直角三角形满足两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方1212例例2 观察如图所示的图形,回答问题:观察如图所示的图形,回答问题:(1)如图如图,DEF为直角三角形,正方形为直角三角形,正方形 P的面积的面积 为为9,正方形,正方形Q的面积为的面积为 15,则正方形,则正方形M的面积的面积 为为_;(2)如图如图,分别以直角,分别以直角 三角形三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆,的三边长为直径向三角形外作三个半圆,则这三个半圆形的面积之间的关系式是则这三个半圆形的面积之间的关系式是_;(用图中字母表示用图中字母表示)(3)如图如图,如果直角三
13、角形两直角边的长分别为,如果直角三角形两直角边的长分别为3和和 4,分别以直角三角形的三边长为直径作半圆,请你,分别以直角三角形的三边长为直径作半圆,请你 利用利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积中得出的结论求阴影部分的面积(1)根据正方形的面积公式,结合勾股定理可得根据正方形的面积公式,结合勾股定理可得 DF2DE2EF2,即正方形,即正方形M的面积的面积91524;(2)另外由勾股定理可知另外由勾股定理可知AC2BC2AB2,所以,所以S1S2S3;(3)阴影部分的面积两个小半圆形的面积和直角三角阴影部分的面积两个小半圆形的面积和直角三角 形的面积大半圆形的面积,由形的面积大半圆形的面积
14、,由(2)可知两个小半圆形可知两个小半圆形 的面积和大半圆形的面积,所以阴影部分的面积的面积和大半圆形的面积,所以阴影部分的面积 直角三角形的面积直角三角形的面积222123111=,222222ACBCABSSS导引:导引:(1)24(2)S1S2S3(3)设两个小半圆形的面积分别为设两个小半圆形的面积分别为S1,S2,大半圆,大半圆 形的面积为形的面积为S3,三角形的面积为,三角形的面积为S,则则S阴影阴影S1S2SS3 S 346.12解:解:总总 结结 与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论:两直角边上图形面积的和
15、等于斜圆都具有相同的结论:两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积本例考查了勾股定理及正方形的面积边上的图形面积本例考查了勾股定理及正方形的面积公式,半圆形面积的求法,解答此类题目的关键是仔细公式,半圆形面积的求法,解答此类题目的关键是仔细观察所给图形,面积与边长、直径有平方关系,就很容观察所给图形,面积与边长、直径有平方关系,就很容易联想到勾股定理易联想到勾股定理1 如图,图中所有的三角形都是直角三角形,四边如图,图中所有的三角形都是直角三角形,四边 形都是正方形形都是正方形.已知正方形已知正方形A,B,C,D的边长分的边长分 别是别是12,16,9,12,求最大正方形,求最大正方形E的面
16、积的面积.SE(122162)(92122)400225 625.解:解:2 (2016株洲株洲)如图,以直角三角形的三边如图,以直角三角形的三边a,b,c为为 边或直径,分别向外作等边三角形,半圆,等腰直边或直径,分别向外作等边三角形,半圆,等腰直 角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足 S1S2S3的图形个数是的图形个数是()A1 B2 C3 D4D3 如图,直线如图,直线l上有三个正方形上有三个正方形a,b,c,若,若a,c的面的面 积分别为积分别为3和和4,则,则b的面积为的面积为()A3 B4 C5 D7 D如图,已知如图,已知ABC
17、为直角三角形,分别以直角边为直角三角形,分别以直角边AC,BC为直径作半圆为直径作半圆AmC和和BnC,以,以AB为直径作半圆为直径作半圆ACB,记两个月牙形阴影部分的面积之和为,记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1,ABC的面积为的面积为S2,则,则S1与与S2的大小关系为的大小关系为()AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不能确定不能确定4C【2017温州温州】四个全等的直角三角形按如图所示四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为垂线,围成面积为S的小正方形的小正方形EFGH,已知,已知AM为为Rt
18、ABM较长直角边,较长直角边,AM2 EF,则正方形,则正方形ABCD的面积为的面积为()A12S B10SC9S D8S52C1.勾股定理的适用条件:勾股定理的适用条件:直角三角形;它反映了直角直角三角形;它反映了直角 三角形三边关系三角形三边关系2由勾股定理的基本关系式:由勾股定理的基本关系式:a2b2c2可得到一些可得到一些 变形关系式:变形关系式:c2a2b2(ab)22ab(ab)2 2ab;a2c2b2(cb)(cb)等等1知识小结知识小结 在在ABC中,边中,边AB15,AC13,高,高AD12,则,则 ABC的周长是的周长是()A42 B32 C42或或32 D不能确定不能确定
19、C2易错小结易错小结本题应分本题应分ABC为锐角三角形和为锐角三角形和ABC为钝角为钝角三角形两种情况讨论解本题时常常容易忽略三角形两种情况讨论解本题时常常容易忽略其中一种情况而出错其中一种情况而出错易错点:易错点:考虑问题不全面而漏解考虑问题不全面而漏解.热污染多发点啊士大夫大幅度口部:叧叨叭叱叴叵叺叻叼叽叾卟叿吀吁吂吅吆吇吋吒吔吖吘吙吚吜吡吢吣吤吥吧吩吪吭吮吰吱吲呐吷吺吽呁呃呄呅呇呉呋呋呌呍呎呏呐呒呓呔呕呗呙呚呛呜呝呞呟呠呡呢呣呤呥呦呧周呩呪呫呬呭呮呯呰呱呲呴呶呵呷呸呹呺呻呾呿咀咁咂咃咄咅咇咈咉咊咋咍咎咐咑咓咔咕咖咗咘咙咚咛咜咝咞咟咠咡咢咣咤咥咦咧咨咩咪咫咬咭咮咯咰咲咳咴咵咶啕咹咺咻呙咽咾
20、咿哂哃哅哆哇哈哊哋哌哎哏哐哑哒哓哔哕哖哗哘哙哚哛哜哝哞哟哠咔哣哤哦哧哩哪哫哬哯哰唝哵哶哷哸哹哻哼哽哾哿唀唁唂唃呗唅唆唈唉唊唋唌唍唎唏唑唒唓唔唣唖唗唘唙吣唛唜唝唞唟唠唡唢唣唤唥唦唧唨唩唪唫唬唭唯唰唲唳唴唵唶唷念唹唺唻唼唽唾唿啀啁啃啄啅啇啈啉啋啌啍啎问啐啑啒启啔啕啖啖啘啙啚啛啜啝哑启啠啡唡衔啥啦啧啨啩啪啫啬啭啮啯啰啱啲啳啴啵啶啷啹啺啻啽啾啿喀喁喂喃善喅喆喇喈喉喊喋喌喍喎喏喐喑咱喓喔喕喖喗喙喛喞喟喠喡喢喣喤喥岩喨喩喯喭喯喰喱哟喳喴喵営喷喸喹喺喼喽喾喿嗀嗁嗂嗃嗄嗅呛啬嗈嗉唝嗋嗌嗍吗嗏嗐嗑嗒嗓嗕嗖嗗嗘嗙呜嗛嗜嗝嗞嗟嗠嗡嗢嗧嗨唢嗪嗫嗬嗭嗮嗰嗱嗲嗳嗴嗵哔嗷嗸嗹嗺嗻嗼嗽嗾嗿嘂嘃嘄嘅嘅嘇嘊嘋嘌喽嘎嘏嘐嘑嘒嘓嘕啧
21、嘘嘙嘚嘛唛嘝嘠嘡嘢嘣嘤嘥嘦嘧嘨哗嘪嘫嘬嘭唠啸囍嘴哓嘶嘷呒嘹嘺嘻嘼啴嘾嘿噀噂噃噄咴噆噇噈噉噊噋噌噍噎噏噐噑噒嘘噔噕噖噗噘噙噚噛噜咝噞噟哒噡噢噣噤哝哕噧噩噪噫噬噭噮嗳噰噱哙噳喷噵噶噷吨噺噻噼噽噾噿咛嚁嚂嚃嚄嚅嚆吓嚈嚉嚊嚋哜嚍嚎嚏尝嚑嚒嚓嚔噜嚖嚗嚘啮嚚嚛嚜嚝嚞嚟嚠嚡嚢嚣嚤呖嚧咙嚩咙嚧嚪嚫嚬嚭嚯嚰嚱亸喾嚵嘤嚷嚸嚹嚺嚣嚼嚽嚾嚿啭嗫嚣囃囄冁囆囇呓囊囋囍囎囏囐嘱囒啮囔囕囖囗部:回囙囜囝囟囡団囤囥囦囧囨囩囱囫回囮国困囱囲図囵囶囷囸囹囻囼图囿圀圁圂圂圃圄圅圆囵圈圉圊圌圎圏圎圐圑圔圕图圗圙圚圛圜圝圞凹凸土部:圠圡圢圤圥圦圧圩圪圫圬圮圯地圱圲圳圴圵圶圷圸圹圻圼埢鴪址坁坂坃坄坅坆坈坉坊坋坌坍坒坓坔坕坖坘坙坜坞坢坣坥坧
22、坨坩坪坫坬坭坮坯垧坱坲坳坴坶坸坹坺坻坼坽坾坿垀垁垃垅垆垇垈垉垊垌垍垎垏垐垑垓垔垕垖垗垘垙垚垛垜垝垞垟垠垡垤垥垧垨垩垪垫垬垭垮垯垰垱垲垲垳垴埯垶垷垸垹垺垺坝垼垽垾垽垿埀埁埂埃埄埅埆埇埈埉埊埋埌埍城埏埐埑埒埓埔埕埖埗埘埙埚埛野埝埞域埠垭埢埣埤埥埦埧埨埩埪埫埬埭埮埯采埱埲埳埴埵埶执埸培基埻崎埽埾埿堀堁堃堄坚堇堈堉垩堋堌堍堎堏堐堑堒堓堔堕垴堗堘堙堚堛堜埚堞堟堠堢堣堥阶堧堨堩堫堬堭堮尧堰报堲堳场堶堷堸堹堺堻堼堽堾堼堾碱塀塁塂塃塄塅塇塆塈塉块茔塌塍塎垲塐塑埘塓塕塖涂塘塙冢塛塜塝塟塠墘塣墘塥塦塧塨塩塪填塬塭塮塯塰塱场塳塴尘塶塷塸堑塺塻砖塽塾塿墀墁墂墄墅墆墇墈墉垫墋墌墍墎墏墐墒墒墓墔墕墖墘墖墚墛坠硗增墠墡墢墣
23、墤墥墦墧墨墩墪樽墬墭堕墯坛墱墲坟墴墵垯墷墸墹墺墙墼墽垦墿壀壁壂壃壄壅壆坛壈壉壊垱壌壍埙壏玺壑壒压壔壕壖壗垒圹垆壛坛壝垄垄壡坜壣壤壥壦壧壨坝塆圭士部:壭壱売壳壴壵壶壷壸壶壻壸壾壿寿夁夂部:夃夅夆夈変夊夌夎夐夑夒夓夔夗夘夛夝夞夡夣夤夥夦大部:夨夨夬夯夰夲夳夵夶夹夻夼夽夹夿奀奁奃奂奄奃奅奆奊奌奍奏奂奒奓奘奙奚奛奜奝奞奟奡奣奤奦奨奁奫妸奯奰奱奲女部:奵奺奻奼奾奿妀妁妅妉妊妋妌妍妎妏妐妑妔妕妗妘妚妛妜妟妠妡妢妤妦妧妩妫妭妮妯妰妱妲妴妵妶妷妸妺妼妽妿姀姁姂姃姄姅姆姇姈姉姊姌姗姎姏姒姕姖姘姙姛姝姞姟姠姡姢姣姤姥奸姧姨姩姫姬姭姮姯姰姱姲姳姴姵姶姷姸姹姺姻姼姽姾娀威娂娅娆娈娉娊娋娌娍娎娏娐娑娒娓娔娕娖娗娙娚娱娜
24、娝娞娟娠娡娢娣娤娥娦娧娨娩娪娫妩娭娮娯娰娱娲娳娴娵娷娸娹娺娻娽娾娿婀娄婂婃婄婅婇婈婋婌婍婎婏婐婑婒婓婔婕婖婗婘婙婛婜婝婞婟婠婡婢婣婤婥妇婧婨婩婪婫娅婮婯婰婱婲婳婵婷婸婹婺婻婼婽婾婿媀媁媂媄媃媅媪媈媉媊媋媌媍媎媏媐媑媒媓媔媕媖媗媘媙媚媛媜媝媜媞媟媠媡媢媣媤媥媦媨媩媪媫媬媭妫媰媱媲媳媴媵媶媷媸媹媺媻媪媾嫀嫃嫄嫅嫆嫇嫈嫉嫊袅嫌嫍嫎嫏嫐嫑嫒嫓嫔嫕嫖妪嫘嫙嫚嫛嫜嫝嫞嫟嫠嫡嫢嫣嫤嫥嫦嫧嫨嫧嫩嫪嫫嫬嫭嫮嫯嫰嫱嫲嫳嫴嫳妩嫶嫷嫸嫹娴娴嫼嫽嫾婳妫嬁嬂嬃嬄嬅嬆嬇娆嬉嬊娇嬍嬎嬏嬐嬑嬒嬓嬔嬕嬖嬗嬘嫱嬚嬛嬜嬞嬟嬠嫒嬢嬣嬥嬦嬧嬨嬩嫔嬫嬬奶嬬嬮嬯婴嬱嬲嬳嬴嬵嬶嬷婶嬹嬺嬻嬼嬽懒嬿孀孁孂娘孄孅孆孇孆孈孉孊娈孋孊孍孎孏嫫婿媚子部:
25、孑孒孓孖孚玭昆吡纰妣锴鈚秕庇沘毛部:毜毝毞毟毠毡毢毣毤毥毦绒毨毩毪毫球毭毮毯毰毱毲毳毴毵毶毷毸毹毺毻毼毽毾毵氀氁牦氃氋氄氅氆氇毡氉毡氍氎氏部:氒氐抵坻坁胝阍痻泜汦茋芪柢砥奃睧视蚳蚔呧軧軝崏弤婚怟惛忯岻貾气部:氕氖気氘氙氚氜氝氞氟氠氡氢氤氥氦氧氨氩氪氭氮氯氰氱氲水氵部:氶氷凼氺氻氼氽泛氿汀汃汄汅氽汈汊汋汌泛汏汐汑汒汓汔汕汖汘污污汛汜汞汢汣汥汦汧汨汩汫汬汭汮汯汰汱汲汳汴汵汶汷汸汹汻汼汾汿沀沂沃沄沅沆沇沊沋沌冱沎沏洓沓沔沕沗沘沚沛沜沝沞沠沢沣沤沥沦沨沩沪沫沬沭沮沯沰沱沲沴沵沶沷沸沺沽泀泂泃泅泆泇泈泋泌泍泎泏泐泑泒泓泔泖泗泘泙泚泜溯泞泟泠泤泦泧泩泫泬泭泮泯泱泲泴泵泶泷泸泹泺泾泿洀洂洃洄洅洆洇洈洉洊洌洍
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