人大附中2020届高三数学3月考试题（pdf版）.pdf

1、人大附中 20192020 学年度高三 3 月质量检测试题 数数 学学 命题人：李岩 审卷人：梁丽平 于金华 2020 年 3 月 9 日 说明：本试卷共三道大题、22 道小题，共 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。考生 务必按要求将答案答在答题纸上，在试题纸上作答无效。 第一部分第一部分 （选择题（选择题 共共 40 分）分） 一、 选择题 （本大题共一、 选择题 （本大题共 10 个小题， 每小题个小题， 每小题 4 分， 共分， 共 40 分分 在每道小题给出的四个备选答案中，在每道小题给出的四个备选答案中， 只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上。

2、）只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上。 ） （1）若集合|320Axx=+R， 2 |230Bxxx=R，则AB = （A）|1xx R （B） 2 | 1 3 xx R （C） 2 |3 3 xxR （D）|3xxR （2）向量, ,a b c在正方形网格中的位置如图所示若向量+ab与c 共线，则实数= （A）2 （B）1 （C）1 （D）2 （3）设曲线C是双曲线，则“C的方程为2 2 4 = 1”是“C的渐近线方程为 = 2”的 （A）充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）某校象棋社团组织中国象棋比赛，采

3、用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其 他选手各比赛一场，胜者得 2 分，负者得 0 分，平局两人各得 1 分若冠军获得者得分 比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为 （A）4 （B） 5 （C）6 （D）7 （5）若抛物线 2 2(0)ypx p=上任意一点到焦点的距离恒大于 1，则p的取值范围是 （A） 1p （B） 1p （C） 2p （D） 2p （6）已知函数( )cos(2)f xx=+（为常数）为奇函数，那么cos= （A） 2 2 （B） 0 （C） 2 2 （D） 1 （7）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱为 （A）4 （B）

4、2 2 （C） 7 （D）2 （8）已知函数 21,0, ( ) (1),0. x x f x f xx = 若方程( )f xxa=+有且只有两个不相等的实数根，则实 数a的取值范围是 （A）(),1 （B）(,1 （C）()0,1 （D）)0,+ （9）定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个 1212 ,()x x xx,均有 1212 ()()f xf xk xx 成立,则称函数( )f x在定义域D上满足利普希茨条件.若函数( )(1)f xx x=满足利普希茨条 件,则常数k的最小值为 （A）4 （B）3 （C）1 （D） 1 2 （10）在边长为 1 的正方体中，,E F

5、G H分别为 1111 ,AB C D AB CD的中点，点P从G出发，沿 折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速 度相等，记, ,E F P Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0 2 时，V与x的图像应为 （A） （B） （C） （D） (Q) (P) H G F E D C B A D1 C1 B1 A1 第二部分第二部分 （非选择题（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） （11）代数式 5 )1)(1 (xx+的展开式中

6、3 x的系数为 （12）在复平面内，复数1 2iz = 对应的点到原点的距离是 （13）已知函数 4 2 log,04, ( ) 1025,4. xx f x xxx = + 若a,b,c,d是互不相同的正数，且 ( )( )( )( )f af bf cf d=，则abcd的取值范围是 （14）已知双曲线 22 22 :1 xy C ab =的一条渐近线的倾斜角为60，且与椭圆 2 2 1 5 x y+=有相等焦距,则 C的方程为 （15）设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 1 1a =，公差2d =， 2 36 nn SS + =，则n = （16） 如果对于函数( )f x定义域

7、内任意的两个自变量的值 12 ,x x， 当 12 xx时,都有 12 ( )()f xf x， 且存在两个不相等的自变量值 12 ,y y ,使得 12 ()()f yf y= ,就称( )f x为定义域上的不严格的增函 数。 则 ,1 ( )0,11, ,1 xx f xx xx = 1, 2 ( ), sin , 22 x f x xx = = 1,1 ( )0,11, 1,1 x f xx x = ,1 ( ), 1,1 xx f x xx = + 四个函数中为不严格增函数的是 ，若已知函数( )g x的定义域、值域分别为A、B， 1,2,3A=,BA, 且( )g x为定义域A上的不

8、严格的增函数， 那么这样的( )g x有 个 三三、解答解答题（本大题共题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 80 分分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ） （17） 已知 n a是各项为正数的等差数列， n S为其前n项和，且 2 4(1) nn Sa=+. （）求 12 ,a a的值及的通项公式； （）求数列 7 2 nn Sa的最小值. n a （18） （本小题满分 14 分） 如图， 在四棱锥ABCDE 中， 底面ABCD为矩形， 平面ABCD平面ABE，=90AEB， BCBE =，F为CE的中点， （）求证：/AE平面BDF； （）

9、求证：平面BDF平面ACE； （）EBAE =2， 在线段AE上找一点P， 使得二面角FDBP的余弦值为 10 10 ， 求AP 的长 （19） （本小题满分 13 分） 某市旅游管理部门为提升该市 26 个旅游景点的服务质量，对该市 26 个旅游景点的交通、 安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分每项评分最低分 0 分，最高分 100 分每个景点总 分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分 散点图如图请根据图中所提供的信息，完成下列问题 （）若从交通得分排名前 5 名的景点中任取 1 个，求其安全得分大于 90 分的概率； （） 若从景点总分排名

10、前 6 名的景点中任取 3 个， 记安全得分不大于 90 分的景点个数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望； （） 记该市 26 个景点的交通平均得分为 1， 安全平均得分为 2， 写出 1 与 2 的大小 关系（只写出结果） B A D C F E （20） （本题满分 14 分） 已知函数 f（x）= 1 x x+alnx （）求 f（x）在（1，f(1)）处的切线方程（用含 a 的式子表示） （）讨论 f（x）的单调性； （）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，证明： 12 12 ()() 2 f xf x a xx （21） （本题满分 13 分） 已知椭圆 22 22 :1(0)

11、 xy Cab ab +=的离心率为 1 2 ，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的 圆与直线60xy+=相切. （）求椭圆方程； （）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S） ，直 线PS，QS分别交直线4x =于A，B两点. 求证：A，B两点的纵坐标之积为定值. （22） （本题满分 13 分） 给定一个 n 项的实数列 a1，a2，an(nN*)，任意选取一个实数 c，变换 T(c)将数列 a1， a2，an变换为数列|a1c|，|a2c|，|anc|，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变 换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数 c 可以不相同，第 k（kN*）次变换记为 Tk(ck)，其中 ck为第 k 次变换时选择的实数 如果通过 k 次变换后， 数列中的各项均为 0， 则称 T1(c1)， T2(c2)， ， Tk(ck)为“k 次归零变换” （）对数列：1，3，5，7，给出一个“k 次归零变换”，其中 k4； （）证明：对任意 n 项数列，都存在“n 次归零变换”； （）对于数列 1，22，33，nn，是否存在“n1 次归零变换”？请说明理由