二分法求方程的近似解(公开课课件).pptx

1、目录CONTENTS教学背景分析01教学目标02教学重点和难点03教学方法和教学手段04教学过程05教学背景分析01 在教材中的地位和作用 本节选自普通高中课程标准实验教科书 数学1北师大版第四章第一节第二课，主要分析的是函数与方程的关系。用二分法求方程的近似解是新课标课程中的新增内容，它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”。目标逼近思想函数与方程算法思想特殊到一般而其在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔。本课要求学生根据具体函数的性质以及图像，能借助计算器用二分法求相应方

2、程的近似解，沟通了解函数，方程，不等式等高中重要内容，同时为必修3的算法学习做准备。二分法体现了数学的逼近思想，对学生以后学习球的面积体积公式的由来等微积分的知识起了奠基的作用，同时在日常生活也常常涉及到这种思想。教材从上一节的一道例题出发引起思考，通过具体的操作得到用二分法求函数零点近似值的步骤，这其中体现了新课改特别强调的从特殊到一般的归纳推理。三、学情分析学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系,初步掌握函数与方程的转化思想但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题其

3、中运用“二分法”进行区间的缩小、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。教学目标02（1.体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解的一般步骤。（2.会用二分法求方程的近似解，并能用计算器辅助求解。（3.会用二分法思想解决其他的实际问题。四、教学目标知识与技能目标过程方法与能力目标（1.通过对二分法原理的探索，引导学生用联系的观点理解函数与方程，形成用函数的观点处理问题的意识。（2.通过求具体方程近似解介绍二分法并总结其步骤，体现了从具体到一般的认知过程。（3.利用逼近求解，渗透从有限到无限的数学思想。情感、态度、价值观目标（1

4、通过参与、思考、交流，体验二分法的发现过程，逐步培养探索精神和归纳概括意识。（2通过预习的指导进一步规范学生的学习习惯，在二分法步骤的探索、发现过程中，获得成功的体验，锻炼了克服困难的意志，建立学习数学的自信心。五、设计理念 本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际理论实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导学生探索相结合的教学方法，注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程。教学重点和难点03六、教材的重点、难点和疑点重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生

5、体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解；疑点：方程近似解的选取教学方法和教学手段041、高一学生通过函数和本章第一节学习，对函数与方程的联系以及零点存在性定理（勘根定理）有了初步认识，初步具备了数形结合思想方法考察问题的能力。2、积极启发诱导，使学生学会观察问题、探究问题，自主归纳总结进而得出规律。认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。指出，学习过程既是认识过程又是情感过程，是“知、情、意、行”的和谐统一

6、。遵循教师为主导，学生为主体的教学原则，体现知识为载体，思维为主线，能力为目标的教学思想。二分法是一种方法，具有极强的可操作性，因此，引导学生自主建构、主动探索比较适合本节课知识特点，由此确定以下教学方法和教学手段：1 教学方法：创设问题组，设置认知冲突，采用探索讨论法进行教学，学生主动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主体的探究性学习活动。2 教学手段：为了解决数值计算复杂和图形难画等困难，借助信息技术如几何画板、ppt、excel等实现计算机辅助教学。突破本课的教学重点和难点。教学过程05温故知新设置悬念 问题调整引出主题创设情境尝试探求交流合作解决问题归纳总结揭示新知应

7、用新知练习巩固教学流程图：以“模块”为基本单元，从问题引入到问题调整，从问题探求到合作交流，不断设置认知冲突又不断解决新知，环环相扣，逐层深入，构成了一个自然清晰的思维轨迹。小结评价作业创新一、知识回顾 xfy：方程方程 f(x)f(x)0 0 有实数根有实数根函数函数 y yf(x)f(x)有零点有零点数形结合几何法代数法三、零点存在性定理定理定理思考思考1：零点唯一吗？零点唯一吗？思考思考3 3：函数函数y=y=f(xf(x)在区间在区间 a,ba,b 上的图象是连续不断的一条上的图象是连续不断的一条曲线：且曲线：且f(a)f(a)f(bf(b)0)0，是否在，是否在(a,ba,b)内函数

8、就没有零点？内函数就没有零点？思考思考2 2：若只给条件若只给条件f(af(a)f(bf(b)0)0能否保证在能否保证在(a,ba,b)有零点？有零点？创设情景02我们一起猜一猜 游戏规则：游戏规则：某物品的价格在一定范某物品的价格在一定范围之间，猜测它的价格，猜对了就是你的围之间，猜测它的价格，猜对了就是你的了。每次猜后主持人会给出了。每次猜后主持人会给出“多了多了”还是还是“少了少了”的提示，的提示，在在1 10 0秒内且误差不超过秒内且误差不超过5 5元时算猜对。元时算猜对。猜猜赢奖励 快来赢得属于你的礼物吧，和同学一起分享你的童年！温馨提示：它的价格在10元到50元之间，误差不超过一元

9、算猜价成功。(1)问题情境的创设贴近生活，且恰时恰点，能够激起学生新的探究激情，引出本课核心的思想方法二分法思想。（2）“给学生提供活动的时（思维时间）空（思维空间），让主体主动构建自己的认知结构，培养学生的创造力”这是建构主义的核心观点，它充分体现了学生的主体地位和教师的主导作用。观察探究1050253527价格（元）数学源于生活，用于生活思考思考1：竞猜中，：竞猜中，“高了高了”、“低了低了”的含义是什么？的含义是什么？如何确定价格的最可能的范围？如何确定价格的最可能的范围？思考思考2：误差不超过：误差不超过1元，怎么理解元，怎么理解？思考思考3：如何猜才能最快猜出商品价格？如何猜才能最快

10、猜出商品价格？答：判断价格所在区间的依据,通过比较不断缩小范围。答：约束价格区间的浮动范围答：寻找价格区间的中间值，将区间最快速的逐步缩小。求方程解的秘诀竟然是这样的如下函数f(x)的图像与直角坐标系中的x轴有交点(x0,0),知x0是方程f(x)=0的解在在-1,5上上,f(x)的图像是一条连续的的图像是一条连续的曲线曲线,且且f(-1)f(5)0 x0-1,5取取-1,5中点中点2,f(2)f(5)0 x02,5取取2,5中点中点3.5.xy-1 O 1 2 34 5f(x)x0（3）由上一问题的探究解决水到渠成给出了后续问题的启发，培养学生的思维迁移和转化能力。以“秘诀”引导学生从美的角

11、度提出“取中点”的二分思想，让学生感受数学的美学情趣。并让学生在自主探索和相互交流的过程中，感受成功和失败的体验。深刻领悟到数形结合思想和转化的思想在解决数学问题中所起的作用。来自方程解的困惑03新知探究问题问题1：你能求下列方程的解吗？：你能求下列方程的解吗？012)1(2xx3(2)2330 xx062ln)3(xx问题问题2：以方程：以方程为例，能不能确定为例，能不能确定方程根的个数和根的方程根的个数和根的大致大致范围呢？范围呢？3233 0 xx 新知探究32x+3x求-3=0的根回顾旧知：回顾旧知：3()2f xx求+3x-函数3的零点.()0f x 方程 有实根()yf x函数有零

12、点.问题问题2：以方程：以方程为例，精度为为例，精度为0.1，能不能确定能不能确定方程根方程根的的大致大致范围呢？范围呢？x-2-1012f(x)-25-8-32193233 0 xx 新知探究0132()xf x+3x-30.50.75问题问题3：你有进一步缩小函数零点范围的方法吗？：你有进一步缩小函数零点范围的方法吗？0.625 一方面将研究问题进一步明确化，另一方面为引出二分法做铺垫，同时培养学生直观想象能力。利用数轴画图出简图来辅助说明，理解为求得方程更为精确的近似解，直观上就是去探求零点所处的更小的范围，即求方程近似解的问题可以转化为不断缩小零点所在范围或区间的问题。二分思想放光芒0

13、4概念的形成二分法的定义：二分法的定义：,(),()()0a byf xf af b 对于在区间上且的函数连续不断()fx 通过不断的把函数的零点所在区间，使区间的两个端点零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.一分为二逐步逼近二分法的二分法的实质实质是什么？是什么？二分法的实质二分法的实质就是将函数零点二分法的实质就是将函数零点所在的区间不断地一分为二，使新得所在的区间不断地一分为二，使新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点近零点再探二分法思考思考2 2：如何最快的缩小零点所在的范围？如何最快的缩小零点所在的范围？思考思考1 1：怎样确定零点的范围？怎样

14、确定零点的范围？()yfxabx()()0f af b取中点，将区间一分为二取中点，将区间一分为二()f x 在（a,b)上有零点思考思考3 3：如何理解精度不超过：如何理解精度不超过0.10.1？再探二分法给定精度给定精度0.10.1 ，区间缩小到，区间缩小到什么时候为止？什么时候为止？0 x零点abab创设情景问：精度为问：精度为0.10.1，区间（，区间（2,32,3）内的任意一个值符不符合要求？）内的任意一个值符不符合要求？精度的定义：教材P117页 ox xb a 二分法带你走出盲区二分法带你走出盲区05问题4：假设礼物的价格大概在函数的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我

15、们如何找出这个零点？（精度0.1）方程的解离你有多远()ln26f xxx方程lnx=-2x+6=0函数y=lnx与y=-2x+6的交点的横坐标y=lnxO 1 2 3 46yxy=-2x+656.2x次数次数区间长度：区间长度：12340.5所以方程的近似解为所以方程的近似解为:2abb a()2abf2.5-0.084a取取b2.53(2.5,3)0.250.1250.06252.750.5122.6250.215(2.5,2.625)0.0662.5625(2.5,2.5625)2.52.7523()ln26f xxx由于|2.5625-2.5|=0.06250.12.52.752.65

16、2.5625.3262ln1.0近似值，零点在，求给定精确度xxxf例题例题1：初始区间（2，3）且0)3(,0)2(ff(2.5,2.75)变式1:精确度改为0.01呢?变式2:还有其他根吗?变式3:精确度为0.1改为精确到为0.1呢?(1)精心设计了阶梯型的变式问题，使学生主动参与教学活动，思维层层深入，体现了教师为主导，学生为主体的教学原则。(2)例题的变式2是让学生对一个具体函数或方程零点或根的探究有更完整的认识,变式3又设置了学生熟悉但疑惑的认知冲突,及时释疑精确到和精确度的联系和区别。探索问题，提取原理，归纳小结1.确定区间确定区间 a,b，验证，验证f(a)f(b)0 0,给定精

17、度给定精度；3.计算计算f(c)；2.求区间求区间(a,b)的中点的中点c c；（1）若）若f(c)=0，则，则c就是函数的零点；就是函数的零点；（2）若）若f(a)f(c)0，则令，则令b=c（此时零点（此时零点x0(a,c);（3）若）若f(c)f(b)0，则令，则令a=c（此时零点（此时零点x0(c,b).4.判断是否达到精度判断是否达到精度:即若即若|a-b|，则得到零点近似值；否则重，则得到零点近似值；否则重复步骤复步骤245.在一定在一定精度下，我们可以有限次重复相同步骤后，将所得的零下，我们可以有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似

18、值一点作为函数零点的近似值.给定精度给定精度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：(1)启发诱导，揭示知识形成过程，让学生参与教学过程，倡导布鲁纳的发现教学：让学生作学习的主人。及时梳理归纳，符合建构主义的学习原理，能较好地形成新的认知结构。(2)通过前面对一个具体实例的求解，归纳总结得出一般结论，遵循了从“具体到抽象”的认知规律，蕴含了从“特殊到一般”的推理方法。(3)先让学生用自己的语言归纳概括进而转化到形式化的算法语言，不仅降低步骤归纳的难度，又给二分法的本质理解提供了时机。应用新知，练习巩固应用新知，练习巩固06应用新知，练习巩固1.下列函数的图像

19、中，其中不能用二分法求解其零点的是（）练习1：Cxy0 xy00 xy0 xyADcB注意：二分法仅对函数的适用，对函数的 不适用.变号零点不变号零点练习1是为了让学生明确二分法求近似解的使用范围，即适用于变号零点的近似解问题。合作探究，共同提升练习练习2 2、借助计算器用二分法求方程、借助计算器用二分法求方程2 2x x+3x=7+3x=7的近似解（精确度的近似解（精确度0.10.1）解：原方程即2x+3x=7，令f(x)=2x+3x-7，用计算器作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表和图象如下：x x0 01 12 23 34 45 56 67 78 8f(x)f(x)-6-6-2-2

20、3 31010 212140407575142142273273先确定零点的范围；再用二分法去求方程的近似解先确定零点的范围；再用二分法去求方程的近似解其实，你的难题只需要一个二分法！让学生动手操作、主体参与，从不同步长的数据中选择所需的数据，提高数据处理能力并为问题的解决做好脚手架；利用多媒体辅助教学有利于完善学生认知，深刻体验二分法思想的本质，为学生自身总结归纳步骤奠定基础，并且提高教学效率。应用新知，练习巩固22370 0.1xx例、利用计算器，求方程 的近似解（精确度）解:0(1)0,(2)0(1,2)ffx 0(1)0,(1.5)0(1,1.5),ffx0(1.25)0,(1.5)0

21、(1.25,1.5)ffx00(1.375)0,(1.5)0(1.375,1.5),(1.375)0,(1.4375)0(1.375,1.4375),ffxffx|1.375 1.4375|0.06250.1,1.4375x记函数()237xf xxxy02xy022xy xy0273yx变式变式1:1:还有其他的解吗还有其他的解吗?变式变式2:2:精度改为精度改为0.010.01呢呢?1.4小结归纳基本知识:1.二分法二分法的定义;2.用二分法二分法求解方程的近似解的步骤.通过本节课的学习,你学会了哪些知识?课外思考 某某个雷电交加的夜晚，医院的医生正在抢救一个危重病人，忽然电个雷电交加的夜

22、晚，医院的医生正在抢救一个危重病人，忽然电停了，医院采停了，医院采取了应急措施。据取了应急措施。据了解原因是供电站到医院的某处线路出现了解原因是供电站到医院的某处线路出现了故障，维修工如何迅速了故障，维修工如何迅速查出故障所在查出故障所在?(?(线路长线路长10km10km，每，每50m50m一棵电线杆）一棵电线杆）如如果沿着线路一小段一小段查找果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200根电线杆子。思考题有助于学生对于二分法在实际生活中的运用，感受数学思想方法的应用价值。探索问题，提取原理如图如图,设供电站和医院的所在处分别为点设供电站和医院的所

23、在处分别为点A A、B B A(供电站)这样每查一次这样每查一次,就可以把待查的线路长度就可以把待查的线路长度缩减一半缩减一半,算一算，要把故障可算一算，要把故障可能发生的范围缩小到能发生的范围缩小到50m50m100m100m左右，即一两根电杆附近，查左右，即一两根电杆附近，查7 7次就可以了次就可以了.C B（医院）DE取中点数学源于生活，用于生活如图如图,设供电站和医院的所在处分别为点设供电站和医院的所在处分别为点A A、B B（间距间距10km10km)A(供电站)这样这样每查一次每查一次,就可以把待查的线路长度就可以把待查的线路长度缩减缩减一半一半C B（医院）DE要把故障可能发生的

24、范围缩小到50m100m左右，即一两根电杆附近，最多查几次就可以了？7次取中点（2）求解方程（1）书后习题3.1 A组 35（必做）（3）阅读课本阅读材料中外历史上的方程求解（4）搜寻相关资料写数学小论文，参考题目如下：我看“逼近思想”、“二分法”的应用作业62log21xx的近似解（精度0.01）阅读课本材料和学写相关数学小论文，有助于让学生感受数学文化，逐步形成正确的数学观。作业的必做和选做，为学生提供了多样选择，适应了个性发展，符合新课程所积极倡导的理念。附:板书设计课程设计和说明课程设计和说明 1、这节课安排了温故知新、设置冲突；问题调整、直面主题；创设情境、尝试探求；交流合作，解决问

25、题；归纳总结、揭示新知；应用新知、练习巩固；小结评价、作业创新等环节。整堂课围绕数形结合、逼近、化归的数学思想方法这一主题来展开的。2、本设计注意应用建构主义的数学学习理论，引导认知主体积极参与到探索、发现、讨论、交流的学习活动中去，使课堂教学成为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思想场所。3、教学中注重数学课程和信息技术的整合，利用几何画板软件、excel软件、ppt课件等，画面丰富生动，使学生的多种感官获得外部刺激，有利于完善认知结构，提高教学效率。4、时间大致安排：问题组引入课题约3分钟，问题调整、尝试探求约9分钟，交流合作、解决问题约10分钟，归纳总结、揭示新知约5分钟，应用新知、练习巩固约15分钟，小结作业，问题创新约3分钟，依据上课的具体情况可进行适当的调整。