3.2.1函数的单调性与最值（两课时）ppt课件-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.pptx

1、观察图观察图3.2-1中的各个函数图象，你能说说他们分别反映了相应函数中的各个函数图象，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些性质吗？的哪些性质吗？请同学们观察这两个函数图象，指出这两个函数图象有什么特点？请同学们观察这两个函数图象，指出这两个函数图象有什么特点？.2首先，我们研究一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x的单调性二二.引入新课引入新课 思考思考:如何利用函数解析式如何利用函数解析式f(x)=x2描述描述“随着随着x的增大，相应的的增大，相应的f(x)随着减小随着减小”“随着随着x的增大，相应的的增大，相应的f(x)也随着增大也随着增大”？21(),()()?各有思考：函数,怎样

2、的单调性f xxf xxf xx ()f xx 2()f xx yxO1()(0)fxxxx0-x0教材教材P86页第页第2题题二二.讲授新课讲授新课121212,(),(),;,()().一 般 地设 函 数的 定 义 域 为区 间如 果当时都单 调有那 么 就 称 函 数在 区 间递 增上xfxIDIfxxDxxfxfxD 特别地，当函数特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.教材教材P85页第页第1题题,()(10).f xkxb k根根据据定定义义 研研究究函函数数的的单单调调性性例例12121212,()()()

3、().,()()0.xxfxfxfxfxfxfx 分分 析析：根根 据据 函函 数数 单单 调调 性性 的的 定定 义义需需 要要 考考 察察 当当时时还还 是是根根 据据 实实 数数 大大 小小 关关 系系 的的基基 本本 事事 实实只只 要要 考考 察察与与 的的 大大 小小 关关 系系:()21f xx 例证明函数在区间（，）上是增函数。12 x,(,)x 设是 区 间内 任 意121212()()(21)(21)2(x)f xf xxxx1212,x0 xxx12()()0f xf x12()()f xf x即()21(,)f xx 则函数在区间证明：证明：12 x x两个实数，且。是

4、增函数。（取值）（取值）（判号）（判号）（下结论）（下结论）（作差）（作差）13(1,)yxx根根据据定定义义证证明明函函例例在在区区间间上上数数单单调调递递增增13(1,)yxx根根据据定定义义证证明明函函例例在在区区间间上上数数单单调调递递增增12121212121212211212121212,(1,),1111()()(1)xxxxyyxxxxxxxxxxxxxxx xx xx x证证明明：且且有有12121212121212121212,(1,),1,1.1,10.,0.(1)0,.xxxxx xx xxxxxxxx xyyx x 由由得得所所以以又又由由得得于于是是即即1,(1,)

5、.yxx所所以以 函函数数在在区区间间上上单单调调递递增增（定义法）证明函数单调性的步骤（定义法）证明函数单调性的步骤第一步：第一步：取值取值.即任取区间内的两个值，且即任取区间内的两个值，且x1x2第二步：第二步：作差（变形）作差（变形）.将将f(x1)f(x2)通过因式分通过因式分解、解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。号的方向变形。第三步：第三步：判号判号.确定差的符号，适当的时候需要进确定差的符号，适当的时候需要进行讨论。行讨论。第四步：第四步：下结论下结论.根据定义作出结论。根据定义作出结论。取值取值作差（变形）作差（变形）判

6、号判号下结论下结论2()-f xx证明函数在区间（，0）上单调递增。教材教材P79练习练习3：,.2).(VkpkVp 物物 理理 学学 中中 的的 玻玻 意意 耳耳 定定 律律为为 正正 常常 数数 告告 诉诉 我我 们们对对 于于 一一 定定 量量 的的 气气 体体当当 其其 体体 积积减减 小小 时时压压 强强将将 增增 大大试试 对对 此此 用用 函函 数数 的的 单单 调调 性性 证证 明明例例证明：证明：任取实数任取实数V1,V2(0,+)且且0V10,p(V2)012()()p Vp V21VV1p(V1)p(V2)f(x)0,则可以根据则可以根据 大于或小于大于或小于1来比较来

7、比较f(x1)与与f(x2)大小大小)()(21xfxf又又0V1V221VV,.2).(VkpkVp 物物 理理 学学 中中 的的 玻玻 意意 耳耳 定定 律律为为 正正 常常 数数 告告 诉诉 我我 们们对对 于于 一一 定定 量量 的的 气气 体体当当 其其 体体 积积减减 小小 时时压压 强强将将 增增 大大试试 对对 此此 用用 函函 数数 的的 单单 调调 性性 证证 明明例例三三.针对性练习针对性练习1、P32 课后练习课后练习 1、2、3、41.判断函数判断函数f（x）x21在（在（0，）上是增函数还）上是增函数还是减函数？并给予证明。是减函数？并给予证明。2.证明：函数证明：

8、函数1()f xxx在（0,1）上单调递减。1.判断函数判断函数f（x）x21在（在（0，）上是增函数还）上是增函数还是减函数？并给予证明。是减函数？并给予证明。Ox y11解：解：函数函数f（x）x21在（在（0，）上是增函数）上是增函数.下面给予证明：下面给予证明：设设x1，x2（0，），且），且x1x222121222121212()()(1)(1)()()f xf xxxxxxxxx1212,(0,)0 x xxx 12120 xxxx12()()0f xf x12()()f xf x即函数函数f（x）x21在（在（0，）上是增函数）上是增函数.增函数增函数 减函数减函数图象图象图象图

9、象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升.从左至右，图象下降从左至右，图象下降.数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大.当当x1x2时，时，y1y2y随随x的增大而减小的增大而减小.当当x1x2时，时，y1y2Ox yx1x2y1y2Ox yx2x1y1y2注注:1、一定要掌握怎样用定义证明函数的单调性、一定要掌握怎样用定义证明函数的单调性.2、函数单调性是对于定义域内的某个子区间而言的。、函数单调性是对于定义域内的某个子区间而言的。（1）判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作取值取值作差（变形）作差（变形）判号判号下结论下结论1、判

10、断函数判断函数 在区间在区间 (1,)上的单调性并用单调性的定义证明。上的单调性并用单调性的定义证明。2、求、求函数函数 在区间在区间2,9上的最值。上的最值。2()(0,0),R,()(0)()3.2,2.,),(f xxxf xff xf x 即即都都有有当当一一个个函函数数的的图图象象有有再再来来观观察察本本节节的的图图可可以以发发现现 二二次次函函数数的的最最低低点点时时 我我们们就就说说图图象象上上有有一一个个最最低低点点函函数数有有最最小小值值2(?)f xx 你你能能以以函函数数为为例例说说明明函函数数的的最最大大值值的的思思考考含含义义吗吗：函数最大值概念：一般地，设函数yf(

11、x)的定义域为I.如果存在实数M，满足：(1)对于任意xI，都有f(x)M.(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最大值.讲授新课（maximum value）函数最大值概念：一般地，设函数yf(x)的定义域为I.如果存在实数M，满足：(1)对于任意xI，都有f(x)M.(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最大值.讲授新课（maximum value）(),(minimum value)?思考你能仿照函数最大值的定义给出函数的最小值的定义吗yf x 函数最小值概念：一般地，设函数yf(x)的定义域为I.如果存在实数M，满足：(1)对于任意x

12、I，都有f(x)M.(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最小值.讲授新课（minimum value）2.(m)(s)?(1()4.914.m7)?41,8hh tttt 烟烟花花是是最最壮壮观观的的烟烟花花之之一一.制制造造时时一一般般是是期期望望在在它它达达到到最最高高点点时时爆爆裂裂 如如果果烟烟花花距距地地面面的的高高度度单单位位：与与时时间间 单单位位：之之间间的的关关系系为为那那么么烟烟花花冲冲出出去去后后什什么么时时候候是是它它爆爆裂裂的的最最佳佳时时刻刻 这这是是距距地地面面的的高高度度是是多多少少 精精确确到到例例“菊菊花花”烟花设计者就是按照这些

13、数据设定引信的长度，以达到施放烟花的最佳效果烟花设计者就是按照这些数据设定引信的长度，以达到施放烟花的最佳效果22,()4.914.718,14.71.5,2(4.9)4(4.9)1814.7294(4.9)h tttth 由由二二次次函函数数的的知知识识 对对于于函函数数我我们们有有：当当时时函函数数有有最最大大值值于是，烟花冲出后于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m2()(2,6)5,1f xxx 已已知知求求函函数数的的最最大大值值和和函函数数例例最最小小值值.2()(2,6)5,1f xxx 已已知知求求函函

14、数数的的最最大大值值和和函函数数例例最最小小值值.22()(2,6),()1122,6.,()2,61f xxf xxxf xx 分分析析：由由函函数数的的图图象象可可知知 函函数数在在区区间间上上单单调调递递减减 所所以以 函函数数在在区区间间的的两两个个端端点点上上分分别别取取得得最最大大值值和和最最小小值值.2()(2,6)5,1f xxx 已已知知求求函函数数的的最最大大值值和和函函数数例例最最小小值值.P81练习3已知函数f(x)=1/x,求函数在区间【2,6】上的最大值和最小值。121221211212122,6,()()2(1)(1)2()2211(1)(1)(1)(1)xxxf

15、 xf xxxxxxxxxxx 解解：且且则则122112121226,0,(1)(1)0,()()0,()().xxxxxxf xf xf xf x由由得得于于是是即即2,()2,6.1f xx 所所以以 函函数数在在区区间间上上单单调调递递减减2,()2,612,2;6,0.4f xxxx 因因此此 函函数数在在区区间间的的两两个个端端点点上上分分别别取取得得最最大大值值与与最最小小值值.在在时时取取得得最最大大值值 最最大大值值是是在在时时取取得得最最小小值值 最最小小值值是是【例【例1 1】f(x)=x2 2+3+3x-5-5(0 x6)的最小值的最小值 ；最大值；最大值 。含参数二次

16、函数的最值问题含参数二次函数的最值问题2329()()24fxx【例【例1 1】f(x)=x2 2+3+3x-5-5(0 x6)的最小值的最小值 ；最大值；最大值 。【例【例2 2】已知已知f(x)=x2 2+a+ax-5-5，求，求f(x)的在的在0,10,1上的最小值。上的最小值。含参数二次函数的最值问题含参数二次函数的最值问题【例【例3 3】已知已知f(x)=x2 2+3+3x-5-5，xt,t+1+1，若，若f(x)的最小值为的最小值为h(t)，写，写出出h(t)的解析式，并求的解析式，并求h(t)的最小值的最小值2329()()24fxx【例【例1 1】f(x)=x2 2+3+3x-

17、5-5(0 x6)的最小值的最小值 ；最大值；最大值 。【例【例2 2】已知已知f(x)=x2 2+a+ax-5-5，求，求f(x)的在的在0,20,2上的最小值。上的最小值。含参数二次函数的最值问题含参数二次函数的最值问题2329()()24fxx【例【例2 2】已知已知f(x)=x2 2+3+3x-5-5，xt,t+1+1，若，若f(x)的最小值为的最小值为h(t)，写出写出h(t)的解析式，并的解析式，并求求h(t)的最小值的最小值 225t5t1,t,22953h t,t,4223t3t5,t.2 【例【例3 3】已知已知f(x)=x2 2+3+3x-5-5，xt,t+1+1，若，若f

18、(x)的最小值为的最小值为h(t)，写，写出出h(t)的解析式，并求的解析式，并求h(t)的最小值的最小值2329()()24fxx【例【例1 1】f(x)=x2 2+3+3x-5-5(0 x6)的最小值的最小值 ；最大值；最大值 。【例【例2 2】已知已知f(x)=x2 2+a+ax-5-5，求，求f(x)的在的在0,20,2上的最小值。上的最小值。含参数二次函数的最值问题含参数二次函数的最值问题求二次函数最值的类型及解法：求二次函数最值的类型及解法：(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定定轴轴定定区间、区间、动动轴轴定定区间、定区间动区间、

19、定区间动轴轴 无论哪种类型无论哪种类型,解决的关键是解决的关键是对称轴与区间对称轴与区间的关系。当问题中的关系。当问题中含有含有参数参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)常结合二次函数在该区间上的常结合二次函数在该区间上的单调性或图象单调性或图象求解，最值一般在求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得。区间的端点或顶点处取得。【例【例3 3】已知已知f(x)=x2 2+3+3x-5-5，xt,t+1+1，若，若f(x)的最小值为的最小值为h(t)，写，写出出h(t)的解析式，并求的解析式，并求h(t)的最小值的最小值【例【例1 1】f(x)=x2 2+3+3x-5-5(0 x6)的最小值的最小值 ；最大值；最大值 。【例【例2 2】已知已知f(x)=x2 2+a+ax-5-5，求，求f(x)的在的在0,20,2上的最小值。上的最小值。