《命题与证明》课件 (公开课获奖)2022年湘教版 .ppt

1、逆命题逆命题命题命题真命题真命题假命题假命题根本领实根本领实定理及其推论定理及其推论定义定义互互逆逆命命题题举反例举反例证明证明证明证明依据依据结合本章所学的知识，举出一个命题并写出其结合本章所学的知识，举出一个命题并写出其逆命题，再判断它们的真假逆命题，再判断它们的真假.5 5、命题与证明、命题与证明概念概念结构结构如：有三条边对应相等的两个三角形全等。如：有三条边对应相等的两个三角形全等。“周长相等的两个三角形全等是不是命题？如果是周长相等的两个三角形全等是不是命题？如果是命题，把它改写成命题，把它改写成“如果如果，那么，那么的形式，的形式，并写出其逆命题。判断它们是真命题还是假命题？并写

2、出其逆命题。判断它们是真命题还是假命题？审题审题：此题的要求是什么？题设、结论是什么？：此题的要求是什么？题设、结论是什么？答：答：是命题是命题如果如果两个三角形的周长相等，两个三角形的周长相等，那么那么这两个三角形全等这两个三角形全等。因为它不符合两个三角形全等的判定，所以它是因为它不符合两个三角形全等的判定，所以它是假命题假命题如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等。真命题如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等。真命题1.一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.2.命题有真有假命题有真有假.要判断一个命题为真命题，需要要判断一个

3、命题为真命题，需要 进行证明，并且证明的过程要言必有据进行证明，并且证明的过程要言必有据.要判断一要判断一 个命题为假命题，只需举一个反例个命题为假命题，只需举一个反例.注意注意举例举例1.1.以下句子中，哪些是命题？假设是命题，并判断以下句子中，哪些是命题？假设是命题，并判断它是真命题还是假命题？它是真命题还是假命题？1 1猴子是动物的一种猴子是动物的一种;2 2美丽的天空美丽的天空;3 3等角的余角相等；等角的余角相等；4 4同位角相等；同位角相等；5 5负数都小于零负数都小于零;6 6假设假设xy=0 xy=0，那么，那么x=0 x=0；7 7你的作业做完了吗？你的作业做完了吗？8 8所

4、有质数都是奇数所有质数都是奇数;9 9三个角对应相等的两个三角形一定全等三个角对应相等的两个三角形一定全等1010过直线过直线a a外一点作直线外一点作直线a a的平行线的平行线 1111两条直线相交，只有一个交点两条直线相交，只有一个交点1212如果一个数是偶数，那么这个数是如果一个数是偶数，那么这个数是4 4的倍数；的倍数；2.命题命题“a，b是实数，假设是实数，假设，那么，那么a2b2命题命题的结论保持不变，改变命题的条件，有以下四种改法：的结论保持不变，改变命题的条件，有以下四种改法：a，b是实数，假设是实数，假设ab0，那么，那么a2b2；a，b是实数，假设是实数，假设ab，且，且a

5、+b0，那么，那么a2b2；a，b是实数，假设是实数，假设abb2；a，b是实数，假设是实数，假设ab，那么，那么a+bb2 以上哪几个是真命题？请说明理由以上哪几个是真命题？请说明理由6.等腰等边三角形具有哪些性质？等腰等边三角形具有哪些性质？如何判定一个三角形是等腰等边三角形？如何判定一个三角形是等腰等边三角形？7.线段的垂直平分线的性质定理是什么线段的垂直平分线的性质定理是什么？如何作线段的垂直平分线如何作线段的垂直平分线？三角形三角形等腰等腰有两边相等有两边相等有两个角相等有两个角相等等腰直角等腰直角顶角为顶角为90底角为底角为45等边等边一腰与底边相等一腰与底边相等有一角为有一角为6

6、0三边相等，三边相等，三角相等三角相等PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直平分线的垂直平分线MN上上NABPM性质定理性质定理判定定理判定定理或或55、551.在等腰在等腰ABC中，中，假设有两条边长分别为假设有两条边长分别为2cm和和3cm，那么它，那么它 的周长是的周长是 cm；假设有一个角为假设有一个角为70，那么另外两个角分，那么另外两个角分是是 。70、40假设有一个角为假设有一个角为100，那么另外两个角分，那么另外两个角分是是 。假设有两条边长分别为假设有两条边长分别为2cm和和5cm，那么它的周长是，那么它的周长是 cm；40、407或或812在解题时在解题时,经常会运用分类

7、思想讨论经常会运用分类思想讨论,以防止掉入数学以防止掉入数学“陷阱陷阱!2.在等腰直角三角形中在等腰直角三角形中,折出折出CAB的平分线的平分线AE,交交BC边于点边于点E、C点在点在AB边上的落点为边上的落点为D,连结连结DE.ABCABCDE(1).DEAB吗吗?(2).假设假设CE=1,那么那么DE=_.DB=_.(3).你还能找出哪些相等的线段吗你还能找出哪些相等的线段吗?(4).假设AB=6,那么DEB的周长等于多少?11 6AD=AC=BC即：即：CE=DE=DB3.假设等腰直角三角形两底角的平分线假设等腰直角三角形两底角的平分线AO与与BO交于点交于点O，过过O作底边作底边AB的

8、平行线的平行线EF，交，交AC于于E，交，交BC于于F。1 1那么图中有几个等腰三角形？那么图中有几个等腰三角形？2 2AEAE，EFEF，BFBF之间的长度有何关系？之间的长度有何关系？3 3假设假设AC=12AC=12，那么，那么CEFCEF的周长为的周长为多少？多少？AE+BF=EF(24)CEFCEF的周长的周长=AC+BC=20=AC+BC=204 4假设把等腰假设把等腰RtABCRtABC改为一般三角形，其他改为一般三角形，其他条件不变，当条件不变，当AC=12AC=12，BC=8BC=8时你能求时你能求CEFCEF的周的周长吗？长吗？OFEBCA相等角之间的转化相等角之间的转化相

9、等线段之间的转化相等线段之间的转化ABCEFO1.角与角的转化角与角的转化:相等角之间的代换相等角之间的代换.2.边与边的转化边与边的转化:相等线段之间的代换相等线段之间的代换3.边与角的转化边与角的转化:等边对等角等边对等角.等角对等边。等角对等边。(在同一个三角形在同一个三角形)4.如图，在等腰如图，在等腰ABC中，中，AB=AC，BD是是ABC 的角平分线的角平分线，且，且AD=BD=BC，求，求A的度数的度数.解：解：设设BDC=x那么那么A=x，ABC=ACB=2xx+2x+2x=180 x=36 A=36 求较复杂图形中角的度数求较复杂图形中角的度数求较复杂图形中线段的长求较复杂图

10、形中线段的长5.5.等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成2:12:1两局两局部，三角形底边长为部，三角形底边长为1010，求腰长？，求腰长？ABCD解：如图，设解：如图，设CDx，那么，那么ADx，AB2x 底边底边BC10BCCD10 x ABAD3x10+x 2 3x 解得解得x=2(舍去舍去)或或2 (10+x)3x 解得解得x=20(符合符合)x=20,此时腰长此时腰长40数学知识数学知识:“等边对等角等边对等角、“等角对等边及等角对等边及“三线三线合一合一 (在同一个三角形在同一个三角形)数学思想数学思想:转化思想、方程思想、分类思想！转化思想

11、、方程思想、分类思想！1、如果等腰三角形的一个外角为100，那么这个等腰三角形的顶角为 。20或或802、如图，在三角形、如图，在三角形ABC中，中，BC=10，AD=BD，假设三角形假设三角形ACD的周长为的周长为18，那么那么AC长长为为 。10BACD3、如图、如图,在在ABC上上,点点D在在BC上上,且且BD+AD=BC.点点D在在AC的的 .ABCD垂直平分线垂直平分线上上例例1:在在ABC中中,AB=2AC,1=2,DA=DB求证求证:DCAC21ABCDF DA=DB,AE=BE DEAB(等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一)AB=2AC,E为为AB的中点的中点 AE=AC在在

12、AED和和ACD中中,AE=AC,1=2,AD=AD AED ACD(SAS)AED=ACD=900 即即ACDC延长法延长法截短法截短法AB=2AC,AC=C AB=AF1=2,AD=AD ADB ADF(SAS)DB=BF DA=DB DA=DFAC=CF DCAF(等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一)即即DCAC通常作底边的中线或高或顶角平分线通常作底边的中线或高或顶角平分线,以便使用等腰三角形的性质以便使用等腰三角形的性质(三线合一三线合一).E证明证明(一一):取取AB的中点的中点E,连结连结DE 证明证明(二二):延长延长AC至至F使使CF=AC,连结连结DF例例2:如图如图,A

13、BC,CDE是等边三角形是等边三角形(1)求证求证:AE=BD(2)假设假设BD和和AC交于点交于点M,AE和和CD交于点交于点N,求证求证:CM=CNMN(3)连结连结MN,猜测猜测MN与与BE的位置关的位置关系系.并加以证明并加以证明思路探究思路探究:通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等,这是一种常见的证明方法这是一种常见的证明方法.此题我们应注意用到等边三角形的此题我们应注意用到等边三角形的性质以及平行法的判定方法性质以及平行法的判定方法.当图形较复杂时当图形较复杂时,注意分清条件注意分清条件与图形中的对应关系。与图形中的对应关系。ABCD

14、E证证:ACE BDE证证:BMC ANC由由(2)得得MCN是等边三角形。是等边三角形。AMN=120=ACE MNBE例例3.(1).求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的第三边，那么这个三角形是等腰三角形。角形的第三边，那么这个三角形是等腰三角形。(2).求证：等腰三角形两底角的平分线相等。求证：等腰三角形两底角的平分线相等。思路：画图，写、求证，再证明。思路：画图，写、求证，再证明。1、如图，、如图，AB=AC，A=40，AB的垂直平分线的垂直平分线MN交于点交于点D，求求DBC的度数。的度数。4、如图，、如图，AD=BC，AC=BD，求

15、证：，求证：EAB是是 等腰三角形。等腰三角形。2、如图，、如图，DE是是ABC的边的边AB的垂直平分线，分别交的垂直平分线，分别交AB、AE平分平分BAC，假设，假设B=30，求，求C的度数的度数3、，点、，点P在在AOB内，点内，点M、N分别是点分别是点P关于关于OA、OB的的对称点。连结对称点。连结M、N，分别交，分别交OA、OB于于E、F，假设，假设MN=8cm,求三角形求三角形PEF的周长。的周长。ABCDMNABCDE30PNMABOEF1题题2题题3题题4题题5、如右上图，如右上图，ABC中，中，AB=AC,过过BC上的一点上的一点D作作BC的垂线的垂线交交AC于于Q,交交BA的

16、延长线于的延长线于P,试判断试判断APQ的形状，并说明理由。的形状，并说明理由。6、如图，如图，P是是AOB的平分线的平分线OM上任意一点，上任意一点，PEOA于于E，PFOB于于F，连求证：，连求证：OP垂直平分垂直平分EF 7、如图，如图，ABC中，中，AB的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交AB、BC于于点点D、E，AC的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交AC、BC于点于点F、G，求证：求证：AEG的周长等于的周长等于BC长。长。8、：如图，、：如图，ABC为正三角形，为正三角形，D是是BC延长线上一点，连延长线上一点，连结结AD，以，以AD为边作等边三角形为边作等边三角形ADE，连结，

17、连结CE，用你学过的知识探索用你学过的知识探索AC、CD、CE三条线段的长度有何关三条线段的长度有何关系系?试写出探求过程试写出探求过程ABCDQPAOBMPEFABCDEFGABCDE5题题6题题7题题8题题1.2.3 绝 对 值观 察16 上图中，单位长度为上图中，单位长度为1米，那么米，那么小黄狗小黄狗、大白兔大白兔、小灰狗小灰狗分别距分别距离原点多远？离原点多远？赶快思考啊！-3-2-10123聪明的同学们一眼就可以看出来了吧。聪明的同学们一眼就可以看出来了吧。小黄狗距离原点小黄狗距离原点3 3米米 大白兔距离原点大白兔距离原点2 2米米 小灰狗距离原点小灰狗距离原点3 3米米 在数轴

18、上，表示一个数的点与原点的在数轴上，表示一个数的点与原点的距距 离叫做该数的绝对值离叫做该数的绝对值absolute value)。抽象抽象总结总结你能明白吗？想一想 互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？一对相反数虽然分别在原点两边，一对相反数虽然分别在原点两边，但但它们到原点的距离是它们到原点的距离是相等相等的的.一个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离的点与原点的距离.一个数的绝对值就是在这个数的两旁各画一条一个数的绝对值就是在这个数的两旁各画一条竖线，竖线，如如+2的绝对值等于的绝对值等于2，记作，记作|+2|2。数数a的绝对值记作的绝对值记作|

19、a|.如图，在数轴上表示如图，在数轴上表示5的点与原点的距离是的点与原点的距离是5，即即5的绝对值是的绝对值是5，记作，记作|5|5.议一议议一议 一个数的绝对值与这个数有什一个数的绝对值与这个数有什么关系？么关系？例如：例如：|3|3，|7|7一个正数的绝对值是它本身；一个正数的绝对值是它本身；例如：例如：|3|3，|2.3|2.3一个负数的绝对值是它的相反数；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是的绝对值是0.因为正数可用因为正数可用a0表示，负数可用表示，负数可用a0表示，所以上述三条可表述成：表示，所以上述三条可表述成：(1)如果如果a0，那么，那么|a|a (2)如果如果a0，那

20、么，那么|a|a (3)如果如果a0，那么，那么|a|0 10、8两数中，哪个数大？它们的绝对值呢？两数中，哪个数大？它们的绝对值呢？表示表示10的点的点A比表示比表示8的点的点B离开原点比较离开原点比较远远.显然显然|10|8|因为点因为点A在点在点B的左边，所以的左边，所以108.由此得出结论：由此得出结论：两个负数比较大小，绝对值两个负数比较大小，绝对值大的反而小大的反而小.一个数的绝对值大于或等于一个数的绝对值大于或等于0.1比较以下各组数的大小：比较以下各组数的大小：(1)1和和5 (2)和和27 做一做1在数轴上表示以下各数，并比较它在数轴上表示以下各数，并比较它们的大小：们的大小

21、：-15，-3，-1，-5；2求出求出1中各数的绝对值，并比中各数的绝对值，并比较它们的大小；较它们的大小；3你发现了什么？你发现了什么？判断：判断：(1)假设一个数的绝对值是假设一个数的绝对值是 2 ，那么这那么这个数是个数是2；(2)|5|5|；(3)|0.3|0.3|；(4)|3|0；(5)|1.4|0；(6)有理数的绝对值一定是正数；有理数的绝对值一定是正数；(7)假设假设ab，那么，那么|a|b|；(8)假设假设|a|b|，那么，那么ab；(9)假设假设|a|a，那么，那么a必为负数；必为负数；(10)互为相反数的两个数的绝对值相等；互为相反数的两个数的绝对值相等；(1)绝对值是绝对

22、值是7的数有几个？各是什么？有的数有几个？各是什么？有没有没有 绝对值是绝对值是2的数的数 (2)绝对值是绝对值是0的数有几个？各是什么的数有几个？各是什么 3绝对值小于绝对值小于3的数是否都小于绝对值的数是否都小于绝对值小于小于5的数？的数？4绝对值小于绝对值小于10的整数一共有多少个？的整数一共有多少个？(1)求绝对值不大于2的整数；(2)x是整数，且|x|7，求x 2、有理数a在数轴上对应的点如下图：那么那么|a|=_|a|=_ 4、如果如果a 的相反数是的相反数是-，那么，那么|a|=_ 3.如果一个数的绝对值等于如果一个数的绝对值等于3.25，那么这个数是，那么这个数是_ 5.如果如

23、果|x-1|=2，那么，那么x=_练习一:2.比较大小：5 8-0.05 0；-3 1；1.1.绝对值等于绝对值等于6 6的数有的数有 绝对值是绝对值是0 0的数是的数是 。-6 和和 +603.判断对的打“，错的打“：1一个有理数的绝对值一定是正数。一个有理数的绝对值一定是正数。()21.40，那么，那么1.40。()3 32的相反数是的相反数是32 ()4 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数如果两个数的绝对值相等，那么这两个数 相等相等 ()5 互为相反数的两个数的绝对值相等互为相反数的两个数的绝对值相等 ()0abc那么那么a c,b ca c,b c4.4.有三个数有三个数a a、b

24、 b、c c在数轴上的位置在数轴上的位置如以下图所示如以下图所示那么那么a a、b b、c c三个数从小到大的顺序三个数从小到大的顺序是：是：C b a5.5.足球比赛中对所用的足球有严格的规定，下面是足球比赛中对所用的足球有严格的规定，下面是5 5个足个足球的质量检测结果用正数表示超过规定质量的克数，用球的质量检测结果用正数表示超过规定质量的克数，用负数表示缺乏规定质量的克数负数表示缺乏规定质量的克数答：记为答：记为-8-8的足球质量好一些。的足球质量好一些。因为因为20=2020=20，+10=10+10=10，+12=12+12=12，8=88=8，11=1111=11所以所以8 +10 8 +10 11 +12 11 +12 2020 也就是说记为也就是说记为-8-8的足球与规定的质量相差比较小，的足球与规定的质量相差比较小，因此其质量比较好因此其质量比较好-20 +10 +12 -8 -11请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识加以说明。请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识加以说明。本章小结 一个正数的绝对值等于它本身 一个负数的绝对值等于它的相反数 0的绝对值等于0 互为相反数的两个数的绝对值相等