《222椭圆的简单几何性质》课件2 优质公开课 人教A版选修2 1.ppt

1、2.2.22.2.2椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质第第1 1课时椭圆的简单几何性质课时椭圆的简单几何性质问题问题引航引航1.通过椭圆的方程能得出椭圆有哪些几何性质？通过椭圆的方程能得出椭圆有哪些几何性质？2.椭圆离心率的大小是如何影响椭圆扁平程度椭圆离心率的大小是如何影响椭圆扁平程度的？的？焦点的位置焦点的位置焦点在焦点在x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上标准方程标准方程_图形图形椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质2222xy1 ab0ab2222yx1 ab0ab焦点的位置焦点的位置焦点在焦点在x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上对称性对称性对称轴对称轴_，对称中心，对称中心_范围范围x_

2、，y_x_，y_顶点顶点_轴长轴长短轴短轴|B1B2|=_，长轴，长轴|A1A2|=_焦点焦点_焦距焦距|F1F2|=_离心率离心率e=_(0e b b0)0)的长轴长等于的长轴长等于a a.(.()(2)(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a a-c c.(.()(3)(3)椭圆的离心率椭圆的离心率e e越小，椭圆越圆越小，椭圆越圆.(.()2222xy1ab【解析】【解析】(1)(1)错误，椭圆错误，椭圆 (a a b b0)0)的长轴长等于的长轴长等于2 2a a.(2)(2)正确，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为正确，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a

3、 a+c c，最小值为，最小值为a a-c c.(3)(3)正确正确.离心率离心率 越小越小c c就越小，这时就越小，这时b b就越接近于就越接近于a a，椭圆，椭圆就越圆就越圆.答案：答案：(1)(1)(2)(3)(2)(3)2222xy1abcea2 2做一做做一做(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1)(1)椭圆椭圆x x2 2+9+9y y2 2=36=36的短轴的端点为的短轴的端点为_._.(2)(2)椭圆椭圆 的离心率的离心率e e=_.=_.(3)(3)设设P P(m m，n n)是椭圆是椭圆 上任意一点，则上任意一点，则m m的取值范围是的取值范围是_._.2

4、2xy14922xy1259【解析】【解析】(1)(1)由由x x2 2+9+9y y2 2=36=36，得，得 所以所以b b2 2=4=4，b b=2.=2.因此短因此短轴的端点坐标为轴的端点坐标为(0(0，2)2)，(0(0，-2).-2).答案：答案：(0(0，2)2)，(0(0，-2)-2)(2)(2)由由 所以所以a a2 2=9=9，b b2 2=4=4，所以所以c c2 2=5=5，所以所以答案：答案：22xy1364，22xy149，c5e.a353(3)(3)由由 得得a a=5=5，所以所以m m-5-5，5.5.答案：答案：-5-5，5522xy1259，【要点探究】【

5、要点探究】知识点知识点 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质1.1.椭圆的范围椭圆的范围椭圆的范围决定了椭圆的大小，它位于四条直线椭圆的范围决定了椭圆的大小，它位于四条直线x x=a a，y y=b b围成的矩形内，即围成的矩形内，即-a ax xa a，-b by yb b.椭圆的范围在解决与椭圆的范围在解决与椭圆有关的最值、参数的取值范围问题时，常常涉及椭圆有关的最值、参数的取值范围问题时，常常涉及.2.2.椭圆方程椭圆方程 (a ab b0)0)中中a a，b b，c c的几何意义的几何意义在方程在方程 (a ab b0)0)中，中，a a，b b，c c的几何意义如图所示的几何意义如图

6、所示.即即a a，b b，c c正好构成了正好构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形点构成的直角三角形.2222xy1ab2222xy1ab3.3.椭圆的离心率椭圆的离心率【知识拓展】【知识拓展】椭圆的通径椭圆的通径 过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫做过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫做椭圆的通径，其长度为椭圆的通径，其长度为22b.a【微思考】【微思考】(1)(1)由椭圆的几何性质可知，要确定椭圆的标准方程需要确定由椭圆的几何性质可知，要确定椭圆的标准方程需要确定什么？什么？提示：提示：首先要确定焦点位置

7、，其次需要确定首先要确定焦点位置，其次需要确定a a，b b的值的值.(2)(2)求椭圆离心率的关键是什么？求椭圆离心率的关键是什么？提示：提示：根据根据 a a2 2-b b2 2=c c2 2，因此要确定椭圆的离心率，关键，因此要确定椭圆的离心率，关键是找出是找出a a，b b，c c的等量关系的等量关系.ce,a【即时练】【即时练】写出椭圆写出椭圆 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标顶点坐标.【解析】【解析】由方程由方程 得得a a=12=12，b b=8=8，所以长轴长和短轴长分别为所以长轴长和短轴长分别为2 2a a=24=24和和2 2

8、b b=16=16，离心率，离心率又焦点在又焦点在x x轴上，轴上，所以两个焦点坐标分别是所以两个焦点坐标分别是 和和 四个顶点坐标分四个顶点坐标分别是别是(-12(-12，0)0)，(12(12，0)0)，(0(0，-8)-8)和和(0(0，8).8).22xy11446422xy114464c4 5，c4 5ea125.3(4 5,0)4 5,0.【题型示范】【题型示范】类型一类型一 利用几何性质求椭圆的标准方程利用几何性质求椭圆的标准方程【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013广东高考广东高考)已知中心在原点的椭圆已知中心在原点的椭圆C C的右焦点为的右焦点为F F(1(1，

9、0)0)，离心率等于，离心率等于 则则C C的方程是的方程是()()(2)(2)已知椭圆在已知椭圆在x x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为直，且焦距为8 8，求椭圆的标准方程，求椭圆的标准方程.12，22222222xyxyA1 B13443xyxyC1 D14243【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)中由右焦点中由右焦点F F(1(1，0)0)及及 可直接求出什可直接求出什么？么？2.2.题题(2)(2)由焦点与短轴两端点的连线互相垂直，能得出什么条由焦点与短轴两端点的连线互相垂直，能得出什么条件？件？【探究提示】【探究

10、提示】1.1.可直接求出长半轴长的值可直接求出长半轴长的值.2.2.能得出三点所构成的三角形是等腰直角三角形能得出三点所构成的三角形是等腰直角三角形.1e2【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选D D.设设C C的方程为的方程为 (a a b b0)0)，则，则c c=1=1，C C的方程是的方程是(2)(2)设椭圆方程为设椭圆方程为 (a ab b0)0)如图所示，如图所示，A A1 1FAFA2 2为等为等腰直角三角形腰直角三角形.OFOF为斜边为斜边A A1 1A A2 2上的中线上的中线(高高)，且且|OFOF|=|=c c，|A A1 1A A2 2|=2|=2b b，所以所以c

11、c=b b=4=4，所以所以a a2 2=b b2 2+c c2 2=32.=32.故所求椭圆的标准方程为故所求椭圆的标准方程为2222xy1abc1e,a2,b3a2，22xy1.432222xy1ab22xy1.3216【方法技巧】【方法技巧】利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项意事项(1)(1)基本步骤基本步骤:(2)(2)注意事项注意事项:当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确

12、定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距.【变式训练】【变式训练】(2014(2014济宁高二检测济宁高二检测)若椭圆中心在原点，对称若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为轴为坐标轴，长轴长为 离心率为离心率为 则该椭圆的方程为则该椭圆的方程为 ()()2 3，33，222222222222xyxyyxA.1 B.11128128128xyxyyxC.1 D.11323232或或【解析】【解析】选选D D.由题意得由题意得 又又 所以所以c c=1=1，所以，所以b b2 2=a a2 2-c c2 2=3-1=2=3-1=2，所以椭圆方程为，所

13、以椭圆方程为 或或a3，3e3，22xy13222yx1.32【误区警示】【误区警示】本题易错选本题易错选C C答案，错误的原因是误认为焦点在答案，错误的原因是误认为焦点在x x轴上，而忽视讨论焦点位置轴上，而忽视讨论焦点位置.【补偿训练】【补偿训练】若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为为1818，一个焦点的坐标是，一个焦点的坐标是(3(3，0)0)，则椭圆的标准方程为，则椭圆的标准方程为()()【解析】【解析】选选B B.由一个焦点坐标为由一个焦点坐标为(3(3，0)0)，知，知c c=3=3，且椭圆焦点在，且椭圆焦点在x x轴上，设其标准方

14、程为轴上，设其标准方程为:(:(a ab b0)0)，由，由2 2a a+2+2b b=18=18，即即a a+b b=9=9，结合，结合9=9=a a2 2-b b2 2，得，得a a=5=5，b b=4.=4.22222222xyxyA.1 B.19162516xyxyC.1 D.116251692222xy1ab类型二类型二 与离心率有关的问题与离心率有关的问题【典例【典例2 2】(1)(1)椭圆为椭圆为 (a ab b0)0)的左顶点为的左顶点为A A，左、右焦点分别，左、右焦点分别为为F F1 1，F F2 2，D D是它短轴的一个端点，若是它短轴的一个端点，若 则该椭则该椭圆的离心

15、率为圆的离心率为()()2222xy1ab123DFDA2DFuuu ruuu ruuu r，1111A.B.C.D.2345(2)(2)设椭圆设椭圆 (a ab b0)0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1，F F2 2，A A是椭圆上的一点，是椭圆上的一点，|AFAF2 2|AFAF1 1|且且AFAF1 1AFAF2 2，原点，原点O O到直线到直线AFAF1 1的距离为的距离为|OFOF1 1|，则椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为()()(3)(3)已知已知F F1 1，F F2 2是椭圆的两个焦点，过是椭圆的两个焦点，过F F1 1且与椭圆长轴垂直的直且与椭圆长轴垂直的

16、直线交椭圆于线交椭圆于A A，B B两点，若两点，若ABFABF2 2是正三角形，求该椭圆的离心是正三角形，求该椭圆的离心率率.2222xy1ab1212A.B.31 C.D.2132【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)由条件由条件 能得到什么结论？能得到什么结论？2.2.题题(2)(2)求解离心率的关键是什么？求解离心率的关键是什么？3.3.题题(3)(3)当椭圆中涉及其他平面几何图形时，一般要注意什当椭圆中涉及其他平面几何图形时，一般要注意什么？么？123DFDA2DFuuu ruuu ruuu r【探究提示】【探究提示】1.1.将向量的等量关系转化为坐标间的关系，取将向量的等

17、量关系转化为坐标间的关系，取D D(0(0，b b)得得3(-3(-c c，-b b)=(-)=(-a a，-b b)+2()+2(c c，-b b).).2.2.由题意求由题意求a a，c c的值或构造的值或构造a a，c c的关系式，求的关系式，求 的值的值.3.3.当椭圆中涉及其他平面几何图形时，注意利用平面图形的几当椭圆中涉及其他平面几何图形时，注意利用平面图形的几何性质，找关系，列等式何性质，找关系，列等式.ca【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选D D.由题意，由题意，A A(-(-a a，0)0)，F F1 1(-(-c c，0)0)，F F2 2(c c，0)0)，不妨设，

18、不妨设D D(0(0，b b)，因为因为所以所以3(-3(-c c，-b b)=(-)=(-a a，-b b)+2()+2(c c，-b b)，即即 所以所以a a=5=5c c，所以所以123DFDA2DF,uuu ruuu ruuu r3ca2c,3b3b,c1e.a5(2)(2)选选B B.因为因为AFAF1 1AFAF2 2，OBOBAFAF1 1，所以所以|OBOB|=|=|AFAF2 2|=|=|OFOF1 1|=c c.所以所以|AFAF2 2|=|=c c，又，又|AFAF1 1|2 2+|+|AFAF2 2|2 2=|=|F F1 1F F2 2|2 2，所以所以|AFAF1

19、 1|=|=所以所以2 2a a=|=|AFAF1 1|+|+|AFAF2 2|=|=所以所以1212123c,31 c,e31.(3)(3)不妨设椭圆的焦点在不妨设椭圆的焦点在x x轴上，因为轴上，因为ABABF F1 1F F2 2，且，且ABFABF2 2为正三角形，所以为正三角形，所以在在RtRtAFAF1 1F F2 2中，中，AFAF2 2F F1 1=30=30，令，令|AFAF1 1|=x x，则，则|AFAF2 2|=2|=2x x，所以所以再由椭圆的定义，可知再由椭圆的定义，可知|AFAF1 1|+|+|AFAF2 2|=2|=2a a=3=3x x，所以所以221 221

20、FFAFAF3x2c,2c3x3e.2a3x3【延伸探究】【延伸探究】题题(3)(3)中将条件中将条件“过过F F1 1且与椭圆长轴垂直的直线且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于交椭圆于A A，B B两点，若两点，若ABFABF2 2是正三角形是正三角形”改为改为“A A为为y y轴上一轴上一点，且点，且AFAF1 1的中点的中点B B恰好在椭圆上，若恰好在椭圆上，若AFAF1 1F F2 2为正三角形为正三角形”.”.如如何求椭圆的离心率？何求椭圆的离心率？【解析】【解析】如图，连接如图，连接BFBF2 2.因为因为AFAF1 1F F2 2为正三角形，为正三角形，且且B B为线段为线段AFAF1

21、 1的中点，的中点，所以所以F F2 2B BBFBF1 1.又因为又因为BFBF2 2F F1 13030，|F F1 1F F2 2|2 2c c，所以所以|BFBF1 1|c c，|BFBF2 2|3c.据椭圆定义得据椭圆定义得|BFBF1 1|BFBF2 2|2 2a a，即即 所以所以所以椭圆的离心率为所以椭圆的离心率为c3c2a，c3 1.ae3 1.【方法技巧】【方法技巧】求椭圆离心率及范围的两种方法求椭圆离心率及范围的两种方法(1)(1)直接法：若已知直接法：若已知a a，c c可直接利用可直接利用 求解求解.若已知若已知a a，b b或或b b，c c可借助于可借助于a a2

22、 2=b b2 2+c c2 2求出求出c c或或a a，再代入公式，再代入公式 求解求解.(2)(2)方程法：若方程法：若a a，c c的值不可求，则可根据条件建立的值不可求，则可根据条件建立a a，b b，c c的关的关系式，借助于系式，借助于a a2 2=b b2 2+c c2 2，转化为关于，转化为关于a a，c c的齐次方程或不等式，的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以再将方程或不等式两边同除以a a的最高次幂，得到关于的最高次幂，得到关于e e的方程的方程或不等式，即可求得或不等式，即可求得e e的值或范围的值或范围.ceacea【变式训练】【变式训练】(2014(201

23、4江西高考江西高考)设椭圆设椭圆C C:=1(:=1(a a b b00)的左右焦点为的左右焦点为F F1 1，F F2 2，过，过F F2 2作作x x轴的垂线与轴的垂线与C C交于交于A A，B B两点，两点，F F1 1B B与与y y轴交于点轴交于点D D，若，若ADADF F1 1B B，则椭圆，则椭圆C C的离心率等于的离心率等于.【解题指南】【解题指南】用用a a，b b，c c表示出点表示出点A A，D D，F F1 1，B B的坐标，然后利用的坐标，然后利用线线垂直的条件求解线线垂直的条件求解.2222xyab【解析】【解析】不妨令不妨令A A(c c，)，B B(c c，-

24、)-)，F F1 1(-(-c c，0)0)，所以直线所以直线F F1 1B B的方程为的方程为y y=(=(x x+c c)，令令x x=0=0可得可得y y=即即因为因为ADADF F1 1B B，所以所以-2-2c c2 2+=0+=0，整理得整理得 b b2 2=2=2acac，2ba2ba2b2ac2b2a，2221b3bbD(0,)AD(c,)FB(2c,)2a2aa ，423b2a3故故 a a2 2 c c2 2=2=2acac，即即 e e2 2+2+2e e =0 =0，解得解得e e=(=(负值舍去负值舍去).).答案：答案：33333333【补偿训练】【补偿训练】已知椭

25、圆的方程为已知椭圆的方程为2 2x x2 2+3+3y y2 2=m m(m m0)0)，则此椭圆，则此椭圆的离心率为的离心率为()()【解析】【解析】选选B B.化为标准方程为化为标准方程为 (m m0)0)，因为因为所以所以所以所以 得得1321A.B.C.D.332222xy1mm2322mma,b23，2mc,622c1a3，3e.3【规范解答】【规范解答】与椭圆离心率范围有关的问题与椭圆离心率范围有关的问题 【典例】【典例】(12(12分分)已知椭圆已知椭圆M M：(a a b b0)0)的左、右焦点分的左、右焦点分别为别为F F1 1，F F2 2.P P是椭圆是椭圆M M上的任一

26、点，且上的任一点，且|PFPF1 1|PFPF2 2|的最大值的的最大值的取值范围为取值范围为 (其中其中c c2 2=a a2 2-b b2 2)，求椭圆离心率，求椭圆离心率e e的取值范的取值范围围.2222xy1ab221 c,3c 2【审题】【审题】抓信息，找思路抓信息，找思路【解题】【解题】明步骤，得高分明步骤，得高分【点题】【点题】警误区，促提升警误区，促提升失分点失分点1:1:解题时若忽视处定义的应用，找不到解题关键，则会解题时若忽视处定义的应用，找不到解题关键，则会导致对题目无从下手，从而无法得分导致对题目无从下手，从而无法得分.失分点失分点2:2:若在处基本不等式的知识掌握不

27、熟练，无法求出若在处基本不等式的知识掌握不熟练，无法求出|PFPF1 1|PFPF2 2|的最值，则会导致解题思路受阻而的最值，则会导致解题思路受阻而得得3 34 4分分.失分点失分点3:3:若在处转化为关于离心率若在处转化为关于离心率e e的不等关系时范围出错，的不等关系时范围出错，则本例最多得则本例最多得7 7分分.失分点失分点4:4:若在处忽略椭圆离心率本身的范围，将若在处忽略椭圆离心率本身的范围，将 作为题目的求解结果，则最多得作为题目的求解结果，则最多得1010分分.3e23【悟题】【悟题】提措施，导方向提措施，导方向1.1.注重条件的挖掘注重条件的挖掘由椭圆的定义由椭圆的定义:若若

28、|PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=2|=2a a(2(2a a|F F1 1F F2 2|)|)，则点，则点P P的轨迹为的轨迹为椭圆，反过来，若点椭圆，反过来，若点P P在椭圆上，应首先考虑利用定义寻找在椭圆上，应首先考虑利用定义寻找解解题突破口题突破口，如本例中，由，如本例中，由P P是椭圆上一点，可得是椭圆上一点，可得|PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=2|=2a a.2.2.注重思想方法的应用注重思想方法的应用解与离心率范围有关问题时，常利用不等式的思想，如本例中解与离心率范围有关问题时，常利用不等式的思想，如本例中已知已知|PFPF1 1|PFPF2 2|最大值的范

29、围，应先求出最大值的范围，应先求出|PFPF1 1|PFPF2 2|的最的最大值，从而转化为关于最大值的不等式的问题求解大值，从而转化为关于最大值的不等式的问题求解.3.3.注重隐含条件的挖掘注重隐含条件的挖掘求解离心率问题时，要特别注意曲线离心率的取值范围这一隐求解离心率问题时，要特别注意曲线离心率的取值范围这一隐含条件，如本例中，由不等式求出含条件，如本例中，由不等式求出e e的范围后，应与的范围后，应与00e e11求交求交集集.【类题试解】【类题试解】(2014(2014天水高二检测天水高二检测)椭圆椭圆 (a ab b0)0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1，F F2

30、 2，P P是椭圆上的一点，是椭圆上的一点，l l:x x=且且PQPQl l，垂足为，垂足为Q Q.若四边形若四边形PQFPQF1 1F F2 2为平行四边形，求椭圆的离心为平行四边形，求椭圆的离心率的取值范围率的取值范围.2222xy1ab2ac，【解析】【解析】因为因为PQFPQF1 1F F2 2为平行四边形，对边相等，为平行四边形，对边相等，所以所以|PQPQ|=|=|F F1 1F F2 2|，即，即|PQPQ|=2|=2c c.设设P P点横坐标为点横坐标为x x0 0，则则 即即又又-a a x x0 0 a a，所以，所以所以所以解得解得20ax2c,c20ax2c,c2aa2ca,c 222ee 10,2ee 10,1e1.2