《322复数代数形式的乘除运算》课件5 优质公开课 人教A版选修2 2.ppt

1、3.2.23.2.2复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算问题问题引航引航1.复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？概念的定义是什么？2.复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？如何应用共轭复数的性质解决问题？1 1复数代数形式的乘法法则复数代数形式的乘法法则设设z1z1a abibi，z2z2c cdi(adi(a，b b，c c，dR)dR)，则，则z1z2z1z2(a(abi)(cbi)(cdi)di)_._.(ac(acbd)b

2、d)(ad(adbc)ibc)i2 2复数乘法的运算律复数乘法的运算律对任意复数对任意复数z1z1，z2z2，z3Cz3C，有，有交换律交换律z1z2_结合律结合律(z1z2)z3z1(z2z3)分配律分配律z1(z2z3)_z2z1z2z1z1z2z1z2z1z3z1z33.3.共轭复数共轭复数已知已知z1=a+biz1=a+bi，z2=c+diz2=c+di，a a，b b，c c，dRdR，则，则(1)z1(1)z1，z2z2互为共轭复数的充要条件是互为共轭复数的充要条件是_._.(2)z1(2)z1，z2z2互为共轭虚数的充要条件是互为共轭虚数的充要条件是_._.复数代数形式的除法法则

3、：复数代数形式的除法法则：(a+bi)(a+bi)(c+di)=_(c+di0).(c+di)=_(c+di0).a=ca=c且且b=-db=-da=ca=c且且b=-d0b=-d0abicdi2222acbdbcadicdcd1.1.判一判判一判(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.().()(2)(2)若若z1z1，z2Cz2C，且，且z12+z22=0z12+z22=0，则，则z1=z2=0.()z1=z2=0.()(3)(3)两个共轭虚数的差为纯虚数两个共轭虚数的差为

4、纯虚数.().()【解析解析】(1)(1)错误错误.举反例：如复数举反例：如复数2 2和和2i2i，它们的模相等，它们的模相等，但不是共轭复数但不是共轭复数(2)(2)错误错误.例如例如z1=1z1=1，z2=iz2=i，显然，显然z12+z22=0z12+z22=0，但，但z1z20.z1z20.(3)(3)正确正确.设两个共轭虚数分别为设两个共轭虚数分别为z1=a+biz1=a+bi，=a=abibi(a(a，bRbR，b0)b0)，差，差z1z1 =2bi(b0)=2bi(b0)为纯虚数为纯虚数.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)1z1z2.2.做一做做一做(请把正确的答案

5、写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1)(1)复数复数(2)(2)复数复数z z(2(2i)ii)i在复平面内对应的点位于第在复平面内对应的点位于第_象限象限.(3)(3)复数复数2-2-的共轭复数是的共轭复数是_._.3_.i11i【解析解析】(1)(1)答案：答案：(2)z(2)z(2(2i)ii)i2i2ii2i21 12i2i，故复数，故复数z z(2(2i)ii)i在在复平面内对应的点为复平面内对应的点为(1(1，2)2)，位于第一象限，位于第一象限答案：一答案：一(3)(3)因为因为2-2-2+i2+i，所以其共轭复数为，所以其共轭复数为2 2i.i.答案：答案：2 2i i3

6、i 1333i.i1i1 i 12233i221i【要点探究要点探究】知识点知识点1 1 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算1.1.复数的乘法复数的乘法(1)(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2(i2换换成成1)1)(2)(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用法公式也适用(3)(3)常用结论：常用结论：(a(abi)2bi)2a2a22

7、abi2abib2(ab2(a，bR)bR)；(a(abi)(abi)(abi)bi)a2a2b2(ab2(a，bR)bR)；(1(1i)2i)22i.2i.2 2对复数除法的两点说明对复数除法的两点说明(1)(1)实数化：实数化：在进行复数除法运算时，通常先把在进行复数除法运算时，通常先把(a(abi)bi)(c(cdi)di)写成写成商的形式，即商的形式，即(a(abi)bi)(c(cdi)di)分子、分母同乘以分母的共轭复数分子、分母同乘以分母的共轭复数c cdidi，化简后即得，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式

8、除法的分母分母“有理化有理化”很类似很类似(2)(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开abicdi；【知识拓展知识拓展】复数乘法的推广复数乘法的推广复数的乘法可以推广到若干个因式连乘，且满足乘法的交换复数的乘法可以推广到若干个因式连乘，且满足乘法的交换律、结合律、分配律律、结合律、分配律.【微思考微思考】(1)aR(1)aR，zCzC，a2a2|a|2|a|2与与z2z2|z|2|z|2都成立吗？都成立吗？提示提示:a2:a2|a|2|a|2成立；成立；z2z2|z|2|z|2不一定成立不一定成立例如例如z zi i，z2z21 1，|z|2|z|2

9、1 1，z2|z|2.z2|z|2.(2)z2(2)z2|z|2|z|2成立的条件是什么？成立的条件是什么？提示提示:当且仅当当且仅当zRzR时，时，z2z2|z|2|z|2成立成立【即时练即时练】若复数若复数z z1 1i i，i i为虚数单位，则为虚数单位，则(1(1z)zz)z()()A A1 13i B3i B3 33i3iC C3 3i Di D3 3【解析解析】选选A.A.因为因为z z1 1i i，所以，所以(1(1z)zz)z(2(2i)(1i)(1i)i)1 13i.3i.知识点知识点2 2 共轭复数共轭复数1.1.共轭复数的注意点共轭复数的注意点(1)(1)结构特点：实部相

10、等，虚部互为相反数结构特点：实部相等，虚部互为相反数.(2)(2)几何意义：在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴几何意义：在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴对称对称.2.2.共轭复数的性质共轭复数的性质(1)(1)实数的共轭复数是它本身，即实数的共轭复数是它本身，即zRzR(2)(2)相关结论：相关结论：zz.22221212z zzzzzz zz z.；【微思考微思考】(1)(1)若若z0z0且且z z 0 0，则，则z z是否为纯虚数？是否为纯虚数？提示提示:是纯虚数，因为是纯虚数，因为z0z0，又实数的共轭是它本身，则由，又实数的共轭是它本身，则由z0z0且且z z 0 0知知z

11、z不是实数，设不是实数，设z1=a+biz1=a+bi，=a=abi(abi(a，bR)bR)，和和z1+=2a=0z1+=2a=0，故，故z z为纯虚数为纯虚数.利用这个性质，可证明一个利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数复数为纯虚数(2)(2)复数共轭的共轭是否为复数本身？复数共轭的共轭是否为复数本身？提示提示:根据复数的概念，复数共轭的共轭是复数本身根据复数的概念，复数共轭的共轭是复数本身.zz1z1z【即时练即时练】若若 则复数则复数 等于等于()()A A2 2i Bi B2 2i iC C2 2i Di D2 2i i【解析解析】选选D.D.由由故故 =2=2i.i.12izi，z

12、12i(12i)(i)z2iiii，z 【题型示范题型示范】类型一类型一 复数代数形式的乘法运算复数代数形式的乘法运算【典例典例1 1】(1)(1)已知已知x x，yRyR，i i为虚数单位，且为虚数单位，且xi-y=-1+ixi-y=-1+i，则，则(1+i)x+y(1+i)x+y的的值为值为()()A.2 B.-2i C.-4 D.2iA.2 B.-2i C.-4 D.2i(2)(2)已知复数已知复数 (i(i为虚数单位为虚数单位)，复数，复数z2z2的虚部的虚部为为2 2，且，且z1z2z1z2是实数，求是实数，求z2.z2.113z(i)(1 i)22【解题探究解题探究】1.1.如何求

13、解如何求解x+yx+y？2.z12.z1的代数形式如何？的代数形式如何？z1z2z1z2的虚部是多少？的虚部是多少？【探究提示探究提示】1.1.利用复数相等利用复数相等.2.2.的虚部为的虚部为0.0.11213z(i)(1 i)2i.z z22【自主解答自主解答】(1)(1)选选D.D.由由xi-y=-1+ixi-y=-1+i，得，得x=1x=1，y=1y=1，所以所以(1+i)x+y=(1+i)2=2i.(1+i)x+y=(1+i)2=2i.(2)(2)设设z2z2a a2i2i，aRaR，则，则z1z2z1z2(2(2i)(ai)(a2i)2i)(2a(2a2)2)(4(4a)ia)i，

14、因为因为z1z2Rz1z2R，所以，所以a a4 4，所以，所以z2z24 42i.2i.113z(i)1 i2i.22 【方法技巧方法技巧】复数的乘法运算法则的应用复数的乘法运算法则的应用(1)(1)复数的乘法运算可以把复数的乘法运算可以把i i看作字母，类比多项式的乘法进看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把行，注意要把i2i2化为化为1 1，进行最后结果的化简，进行最后结果的化简(2)(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便式更简便.例如，平方差公式、完全平方公式等例如，平方差公式、完全平方公式等【变式训练变式训

15、练】(2014(2014豫南九校高二检测豫南九校高二检测)定义一种运算如下：定义一种运算如下：复数复数 (i(i是虚数单位是虚数单位)对应对应的复数是的复数是()()【解析解析】选选A.A.由题意，得由题意，得【警示误区警示误区】注意分析新定义的运算规则中字母的顺序注意分析新定义的运算规则中字母的顺序.11122122xy x yx y,xy3i1z i3i A.3131 i B.3131 iC.3131 i D.3131 i z3i i13i3131 i.【补偿训练补偿训练】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m m和和n n，则复数则复数(m+ni)(n

16、-mi)(m+ni)(n-mi)为实数的概率为为实数的概率为_._.【解析解析】因为因为(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i为实数，所以为实数，所以n2=m2n2=m2，故故m=nm=n，则由列举法得出投掷结果共有，则由列举法得出投掷结果共有3636种可能，相同点数的种可能，相同点数的有有6 6种，则概率为种，则概率为答案：答案：1.616类型二类型二 复数代数形式的除法运算复数代数形式的除法运算【典例典例2 2】(1)(1)如图，在复平面内，复数如图，在复平面内，复数z1z1，z2z2对应的向量分别对应的向量分别是是 则复数则复

17、数 对应的点位于对应的点位于()()A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限(2)(2)计算：计算：OA OB ，12zz212i3 1 i2i；213i3i【解题探究解题探究】1.1.复数复数z1z1，z2z2的代数形式为什么？的代数形式为什么？2.2.观察式子的特征，应如何计算？观察式子的特征，应如何计算？【探究提示探究提示】1.1.由复数的几何意义知，由复数的几何意义知，z1=z1=2 2i i，z2=i.z2=i.2.2.第一个式子分子复杂，第二个式子分母复杂，可先化简再第一个式子分子复杂，第二个式子分母复杂，可先化简再运算运

18、算.【自主解答自主解答】(1)(1)选选B.B.由复数的几何意义知，由复数的几何意义知，z1=z1=2 2i i，z2=iz2=i，所以，所以 对应的点在第二象限对应的点在第二象限.12z2i12izi，22212i3 1 i34i3 3i22i2ii 2ii12i2i5553ii13i3i3ii3ii43i13i.44【方法技巧方法技巧】复数除法运算法则的应用复数除法运算法则的应用复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以以i

19、.i.【变式训练变式训练】(2014(2014湖北高考湖北高考)i)i为虚数单位，为虚数单位，=()=()A.1A.1B.-1B.-1C.iC.iD D-i-i【解析解析】选选B.B.21 i()1 i21 i 1 i1 i()1 i1 i(1 i)2i1.2i【补偿训练补偿训练】已知复数已知复数z=1-iz=1-i，则，则 =()=()A A2i B2i B-2i C-2i C2 D2 D-2-2【解析解析】选选B.B.将将z=1-iz=1-i代入代入 得，得，2z2zz12z2zz121 i2 1 i22i.1 i 1i 类型三类型三 共轭复数共轭复数【典例典例3 3】(1)(2013(1

20、)(2013山东高考山东高考)复数复数z z满足满足(z-3)(2-i)=5(i(z-3)(2-i)=5(i为为虚数单位虚数单位)，则，则z z的共轭复数的共轭复数 为为()()A.2+i B.2-i C.5+i D.5-iA.2+i B.2-i C.5+i D.5-i(2)(2)已知复数已知复数z z的共轭复数为的共轭复数为 且且 求求z.z.z，10z z 3iz1 3i，z【解题探究解题探究】1.1.如何依据题中等式计算如何依据题中等式计算z-3z-3的表达式？的表达式？2.2.复数复数z z的代数表达式如何？如何求复数的代数表达式如何？如何求复数z z的实部与虚部？的实部与虚部？【探究

21、提示探究提示】1.1.2.2.复数复数z z的代数表达式为的代数表达式为a+bi(aa+bi(a，bR)bR)，可用复数相等的方法，可用复数相等的方法建立建立a a，b b的方程组，求解的方程组，求解a a，b.b.5z3.2i【自主解答自主解答】(1)(1)选选D.D.因为因为(z-3)(2-i)=5(z-3)(2-i)=5，所以所以 所以所以(2)(2)设设z za abi(abi(a，bR)bR)，则，则又又所以所以a2a2b2b23i(a3i(abi)bi)所以所以a2a2b2b23b3b3ai3ai1 13i3i，所以所以 所以所以所以所以z z1 1，或，或z z1 13i.3i.

22、5z32i35i2i ，z5i.zabi.10z z 3iz1 3i，10 1 3i10，22ab3b1,3a3.a1,a1,b0b3.或【方法技巧方法技巧】化复为实化复为实 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解【变式训练变式训练】(2014(2014陕西高考陕西高考)已知复数已知复数z=2-iz=2-i，则，则z z 的的值为值为()()A.5A.5B.B.C.3C.3D.D.【解题指南解题指南】求出复数求出复数z z的共轭复数，代入表达式求解即可的共轭

23、复数，代入表达式求解即可.【解析解析】选选A.A.由已知得由已知得 =2+i=2+i，则，则z=(2-i)(2+i)=22-i2=5z=(2-i)(2+i)=22-i2=5，故故A A正确正确.53zzz【补偿训练补偿训练】复数复数 的共轭复数对应的点位于的共轭复数对应的点位于()()A A第一象限第一象限 B B第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限 D D第四象限第四象限【解析解析】选选A.A.因为因为所以其共轭复数为所以其共轭复数为 对应的点为对应的点为 故选故选A.A.2i12i2i 12i2i43i12i12i 12i55，43i,554 3(,)5 5，【拓展类型拓展类型】复数的

24、正整数指数幂的应用复数的正整数指数幂的应用【备选例题备选例题】(1)(2014(1)(2014滨州高二检测滨州高二检测)复数复数的共轭复数在复平面内对应的点在的共轭复数在复平面内对应的点在()()A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限(2)(2)设设 (i(i是虚数单位是虚数单位)，求，求z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6.z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6.2 0132 01312iz1 i13zi22【解析解析】(1)(1)选选C.C.所以所以 其对应的点在第三象限其对应的点在第三象限.(2)(2)设设S=z+2

25、z2+3z3+4z4+5z5+6z6S=z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6，zS=z2+2z3+3z4+4z5+5z6+6z7zS=z2+2z3+3z4+4z5+5z6+6z7，两式相减得，两式相减得，(1-z)S=z+z2+z3+z4+z5+z6-6z7=(1-z)S=z+z2+z3+z4+z5+z6-6z7=所以所以因为因为 故故z6=1z6=1，所以，所以2 0132 01312i12iz1 i1 i12i 1 i1 3i13i,1 i 1 i222 13zi,22 67z 1z6z1z，672z 1z6zS,1z1z13zi,2213i6z131322S66(i)6(i)33

26、3i.1z222213i22 【方法技巧方法技巧】复数的正整数指数幂的应用复数的正整数指数幂的应用(1)(1)求和公式：等差、等比数列的求和公式在复数集求和公式：等差、等比数列的求和公式在复数集C C中仍中仍适用，适用，i i的周期性要记熟，的周期性要记熟，即即inininin1 1inin2 2inin3 30(nN0(nN*)(2)(2)熟记结论：记住以下结果，可提高运算速度熟记结论：记住以下结果，可提高运算速度i4n-3i4n-3i i，i4n-2i4n-2-1-1，i4n-1i4n-1i i，i4ni4n1(nN1(nN*)11 i1 ii,i,i.i1 i1 i 【类题试解类题试解】(2013(2013天津高考改编天津高考改编)已知已知a a，bRbR，i i是虚数单是虚数单位位.若若(a+i)(1+i)=bi(a+i)(1+i)=bi，求，求a+bi.a+bi.【解析解析】因为因为(a+i)(1+i)=a(a+i)(1+i)=a1+(a+1)i=bi1+(a+1)i=bi，所以，所以a a1=01=0，a+1=ba+1=b，即，即a=1a=1，b=2b=2，所以，所以a+bi=1+2i.a+bi=1+2i.