《线段的垂直平分线》课件 (公开课获奖)2022年湘教版 .ppt

1、A AB B 如图，在春陵江岸的一侧有相隔一段距如图，在春陵江岸的一侧有相隔一段距离的离的A A、B B两个仓库，要在江岸边建造一个码两个仓库，要在江岸边建造一个码头，使它到头，使它到A A、B B两个仓库的距离相等，码两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置头应建在什么位置?春陵江春陵江1.1.结合具体例子认识什么是线段的结合具体例子认识什么是线段的垂直垂直 平分平分线，理解线段的垂直平分线所满线，理解线段的垂直平分线所满 足的两个条件足的两个条件.2.2.探索掌握线段探索掌握线段垂直平分垂直平分线的性质定理及线的性质定理及 其逆定理其逆定理.3.3.能应用线段能应用线段垂直平分垂直平分线的性

2、质定理找出线的性质定理找出 线段相等线段相等.：如图，人字形屋顶的框架中，点如图，人字形屋顶的框架中，点A 与点与点A关于线段关于线段CD 所在的直线所在的直线l 对称对称，你发现线段，你发现线段CD 所在的所在的直线直线l 与与线段线段AA 有哪些关系？有哪些关系？点点A A与点与点 关于直线关于直线l l 对称对称lAAD21(A)现在把人字形屋顶框架图进行简化得到如以下图：现在把人字形屋顶框架图进行简化得到如以下图：lAA：l 垂直垂直AAAD=A D：l 平分平分AA如果沿直线如果沿直线l l折叠，折叠，那么点那么点A A与点与点 重合，重合，所以所以AD=AD，1=2=90，即直线即

3、直线l 既既垂直垂直线段线段AA，又，又平分平分线段线段AA直线直线l 就叫做就叫做线段线段AA 的的垂直平分线垂直平分线 _且且_一条线段的一条线段的直线直线叫作这条线叫作这条线段的段的垂直平分线垂直平分线.想一想：想一想：线段是轴对称图形吗？线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？lABC中垂线中垂线由上得到由上得到线段的垂直平分线线段的垂直平分线的定义：的定义：垂直垂直平分平分用符号语言表示：如图用符号语言表示：如图_，_直线直线l 是是线段线段AA 的的垂直平分线垂直平分线线段是轴对称图形，线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴线段的垂直平分线是它的对称轴.l

4、AB AC=BCNMP PO OAB B1 1在纸上画一条线段在纸上画一条线段ABAB，再画出线段，再画出线段ABAB的的 垂直平分线垂直平分线 MN MN；2 2在线段在线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线MNMN上上 任取一点任取一点P,P,连接连接PAPA，PBPB，3 3测量测量PAPA、PBPB的长度，的长度，你有什么发现？你有什么发现？PA=PB线段线段垂直平分线上的点垂直平分线上的点到线段两端的到线段两端的距离距离相等相等4 4你能用语言表达这个结论吗？你能用语言表达这个结论吗？NMP PO OAB B5 5理由：理由：线段线段垂直平分线上的点垂直平分线上的点到线段两端的到线段两

5、端的距离相等距离相等直线直线MN是线段是线段AB 的垂直平分线，的垂直平分线，沿沿直线直线MN折叠，点折叠，点A与点与点B重合重合.点点A与点与点B关于直线关于直线MN对称对称从而线段从而线段PA与线段与线段PB重合重合于是于是PA=PB.由此得出由此得出线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线的性质定理：条件：点在线段的条件：点在线段的垂直平分线上垂直平分线上结论：这个结论：这个点点到线段两端的到线段两端的距离相等距离相等A AB BP PO O如图，在春陵江岸的一侧有相隔一段距离的如图，在春陵江岸的一侧有相隔一段距离的A A、B B两个仓库，要在两个仓库，要在江岸边江岸边建造一个码头，使建

6、造一个码头，使它到它到A A、B B两个仓库的距离相等两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置，码头应建在什么位置?春陵江春陵江1.1.解答前面所提出的问题：解答前面所提出的问题：分析：分析：1 1所建造的码头要满足几个条件？所建造的码头要满足几个条件？在江岸边在江岸边到到A A、B B两个端点两个端点 的距离相等的距离相等2 2码头位置码头位置应为江岸边与应为江岸边与线段线段ABAB的垂直的垂直平分线的交点平分线的交点.答：码头应答：码头应 建在点建在点P P 的位置的位置2.2.如图，如图，ABCABC中，中，ABAB=9cm,=9cm,ACAC1515cmcm，BCBC的的 垂直平分线垂直

7、平分线DEDE交交ACAC于点于点D D，交，交BCBC于点于点E E，求求ABDABD的周长的周长A AB BE ED DC C解解:DE DE是是BCBC的垂直平分线的垂直平分线 BD=DC BD=DC ABDABD的周长的周长 =AB+BD+AD=AB+BD+AD=AB+=AB+DCDC+AD+AD=AB+AC=AB+AC=9+15=24(cm)=9+15=24(cm)方法小结：方法小结：应用线段的垂直平分线性质定理可帮应用线段的垂直平分线性质定理可帮助我们找到线段相等关系，即线段助我们找到线段相等关系，即线段垂直平分线上垂直平分线上的点的点到这条线段两个端点的到这条线段两个端点的距离相

8、等距离相等(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)B BA AD DE EC C3.3.如图，如图，ABCABC中，中，ABABACAC，AA3636，ACAC的的 垂直平分线交垂直平分线交ABAB于于E E，D D为垂足，连接为垂足，连接EC.EC.(1)(1)求求ECDECD的度数；的度数；(2)(2)假设假设CECE5 5，求，求BCBC长长解解(1)DE DE是是ACAC的垂直平分线的垂直平分线 EA=EC EA=EC ECDECDAA3636等边对等角等边对等角(2)AB=AC AB=AC AA3636 B BAACBCB 等边对等角等边对

9、等角2_1800-36072720 0又又BECBECAA+ECA=72ECA=72 B BBECBEC BC BC=ECEC=5 5等角对等边等角对等边(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)1 1如图，在如图，在ABCABC中，中，ABAB的垂直平分线的垂直平分线 分别交分别交ABAB，BCBC于点于点D D，E E，B=30B=30，BAC=80 BAC=80，求求CAECAE的度数的度数.解解 DE DE是是ABAB的垂直平分线的垂直平分线 AE=BE AE=BE BAEBAEB B3 30 0又又CAE+CAE+BAE=BAE=BAC BA

10、C CAECAEBAC-BAC-BAEBAE80-3 30 05 50C CA AB B E ED D2 2如图，在如图，在ABCABC中，中，AB ACAB AC，BCBC边上的边上的 垂直平分线垂直平分线DEDE交交BCBC于点于点E E，AC=15cmAC=15cm，ABD ABD的周长是的周长是24cm24cm，求，求ABAB的长的长.如图，在如图，在ABC中，中，BC=8cm，AB的垂直平分线交的垂直平分线交AB于点于点D，交边，交边AC于点于点E，BCE的周长等于的周长等于18cm，那么，那么AC的长等于的长等于 .中考中考 试题试题解析解析CDE是是AB的垂直平分线，的垂直平分线

11、，AE=BE(线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等点到线段两端的距离相等).).又又在在BCE中，中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，BE+CE=10cm.AC=AE+CE=BE+CE=10cm.故应选择故应选择C.课本课本72页页A组组2，31._且且_一条线段的直线叫作这条一条线段的直线叫作这条 线段的垂直平分线线段的垂直平分线.垂直垂直平分平分3.3.如图，直线如图，直线l l 是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线,那么那么PC_ABPC_AB，AC=_AC=_，PA=_.PA=_.BC2.2.线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点 _到这条线段

12、两个端点的距离相等到这条线段两个端点的距离相等Al B CPPB点确定一条直线点确定一条直线.两两C CA AB BD D如图，现在知道点如图，现在知道点C C到线段到线段AB 两端的距离两端的距离相等，即相等，即CA=CBCA=CB，点，点D D到线段到线段AB 两端的距两端的距离也相等，即离也相等，即DA=DBDA=DB，那么根据上面条件你，那么根据上面条件你能画出线段能画出线段ABAB的垂直平分线吗？的垂直平分线吗？1.1.理解掌握线段的垂直平分线的性质定理理解掌握线段的垂直平分线的性质定理 的逆定理，并会应用这个逆定理的逆定理，并会应用这个逆定理判断一判断一 个点是否在线段的垂直平分线

13、上个点是否在线段的垂直平分线上.2.2.能够运用能够运用直尺和圆规直尺和圆规作出一条线段的垂作出一条线段的垂 直平分线直平分线.1.1.想一想：想一想：我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端 的距离相等，反过来，它的逆命题怎么说？的距离相等，反过来，它的逆命题怎么说？(1)当点当点P在线段在线段AB上时，上时，2.2.证明：一点证明：一点P P到线段到线段AB AB 两端的两端的 距离距离PAPA与与PBPB相等，那么点相等，那么点P P在在 线段线段ABAB的垂直平分线上吗？的垂直平分线上吗？到线段两端距离相等的点在线段的垂直到线段两端距离相等的点在线段

14、的垂直平分线上平分线上.lABP显然此时点显然此时点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.因为因为PA=PB，所以点所以点P为线段为线段AB的中点，的中点，2 当点当点P在线段在线段AB外时外时,因此直线因此直线PC是线段是线段AB的垂直平分线，的垂直平分线，此时点此时点P也在线段也在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：因为因为PA=PB，所以所以PAB是等腰三角形是等腰三角形.ABP过顶点过顶点P 作作PCAB，垂足为点，垂足为点C那么那

15、么AC=BC.三线合一三线合一C到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.几何语言：几何语言：条件：条件：点点到线段两端的到线段两端的距离相等距离相等结论：这个点在线段的结论：这个点在线段的垂直平分线上垂直平分线上C CA AB BD D如图，现在知道点如图，现在知道点C C到线段到线段AB 两端的距离相等，两端的距离相等，即即CA=CBCA=CB，点，点D D到线段到线段AB 两端的距离也相等，两端的距离也相等，即即DA=DBDA=DB，那么根据上面条件你能画出线段，那么根据上面条件你能画出线段ABAB的的垂直平分线吗？垂直平分线吗？1.1.解答前

16、面所提出的问题：解答前面所提出的问题：由由CA=CBCA=CB可知点可知点C C在什么在什么 线上？根据是什么？线上？根据是什么？分析：分析：点点C 在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上由由DA=DBDA=DB可知点可知点D D在什么线上？根据是什么？在什么线上？根据是什么？点点D D也在线段也在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上由上可见直线由上可见直线CDCD是是线段线段AB的垂直平分线吗？的垂直平分线吗？2.2.：如图，在：如图，在ABCABC中，中，ABAB，BCBC的垂直平的垂直平 分线相交于点分线相交于点O O，连接，连接OAOA，OBOB，OC.OC.求证：点求证：点O

17、O 在在ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上.分析：分析：根据根据“到线段两端距离相等的点在线段的到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上可知需要证明垂直平分线上可知需要证明_._.OA=OC证明证明点点O在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上OA=OB同理同理OB=OC OA=OC 点点O 在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上小结：判断证明一个点在线段的垂直平分线上，小结：判断证明一个点在线段的垂直平分线上，需要需要找出找出这个点到线段两端的距离相等这个点到线段两端的距离相等1.1.课本课本7070页练习页练习2 2 ：如图，点：如图，点C C，D D是线段是线段ABAB外的两点，且

18、外的两点，且 AC=BC AC=BC，AD=BDAD=BD，ABAB与与CDCD相交于点相交于点O.O.求证：求证：AO=BO.AO=BO.证明证明AC=BCAC=BC点点C 在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上AD=BDAD=BD点点D D也在线段也在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上CD为线段为线段AB的垂直平分线的垂直平分线又又AB与与CD相交于点相交于点OAO=BOC CA AB B E ED D2.2.如图，在如图，在ABCABC中，中，AC=15cm,AB=10cm,EAC=15cm,AB=10cm,E是是BCBC 的中点，假设的中点，假设ABDABD的周长是的周长是25

19、cm25cm，求证：求证：DEDE是线段是线段BCBC的垂直平分线的垂直平分线分析：分析：由于由于E E是是BCBC的中点，根据线段垂直平分线的中点，根据线段垂直平分线的定义需要证明的定义需要证明_DEBC证明证明ABDABD的周长是的周长是25cm25cmAB+BD+AD=25cmBD+AD=15cm又又CD+AD=AB=15cmBD+AD=CD+ADBD=CD即即BDCBDC是等腰三角形是等腰三角形E E是是BCBC的中点的中点DEBC三线合一三线合一DEDE是线段是线段BCBC的垂直平分线的垂直平分线做一做做一做如图，线段如图，线段ABAB，作线段，作线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线

20、分析：分析：根据根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，要作线段平分线上，要作线段ABAB的垂直平分线，关键的垂直平分线，关键是找出到线段是找出到线段ABAB两端距离相等的两点两端距离相等的两点.1.1.作线段的中点作线段的中点.因为线段因为线段AB的垂直平分线的垂直平分线CD与线段与线段AB的交点的交点就是线段就是线段AB的中点，所以可以用这种方法作出的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点线段的中点.2.2.过一点作直线的垂线过一点作直线的垂线由于两点确定一条直线，由于两点确定一条直线，因此我们可以通过因此我们可以通过在直线上作线段的垂直平分线来

21、找出垂线在直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定直线的垂线上的另一点，从而确定直线的垂线.练习练习用尺规完成以下作图用尺规完成以下作图只保存作图痕迹，不要求写出作法只保存作图痕迹，不要求写出作法.课本课本7272页练习页练习1,21,2课本课本73页页4，71.2.3 绝 对 值观 察31 上图中，单位长度为上图中，单位长度为1米，那么米，那么小黄狗小黄狗、大白兔大白兔、小灰狗小灰狗分别距分别距离原点多远？离原点多远？赶快思考啊！-3-2-10123聪明的同学们一眼就可以看出来了吧。聪明的同学们一眼就可以看出来了吧。小黄狗距离原点小黄狗距离原点3 3米米 大白兔距离原点大白兔距

22、离原点2 2米米 小灰狗距离原点小灰狗距离原点3 3米米 在数轴上，表示一个数的点与原点的在数轴上，表示一个数的点与原点的距距 离叫做该数的绝对值离叫做该数的绝对值absolute value)。抽象抽象总结总结你能明白吗？想一想 互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？一对相反数虽然分别在原点两边，一对相反数虽然分别在原点两边，但但它们到原点的距离是它们到原点的距离是相等相等的的.一个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离的点与原点的距离.一个数的绝对值就是在这个数的两旁各画一条一个数的绝对值就是在这个数的两旁各画一条竖线，竖线，如如+2的绝对值等于的绝对

23、值等于2，记作，记作|+2|2。数数a的绝对值记作的绝对值记作|a|.如图，在数轴上表示如图，在数轴上表示5的点与原点的距离是的点与原点的距离是5，即即5的绝对值是的绝对值是5，记作，记作|5|5.议一议议一议 一个数的绝对值与这个数有什一个数的绝对值与这个数有什么关系？么关系？例如：例如：|3|3，|7|7一个正数的绝对值是它本身；一个正数的绝对值是它本身；例如：例如：|3|3，|2.3|2.3一个负数的绝对值是它的相反数；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是的绝对值是0.因为正数可用因为正数可用a0表示，负数可用表示，负数可用a0表示，所以上述三条可表述成：表示，所以上述三条可表述成

24、：(1)如果如果a0，那么，那么|a|a (2)如果如果a0，那么，那么|a|a (3)如果如果a0，那么，那么|a|0 10、8两数中，哪个数大？它们的绝对值呢？两数中，哪个数大？它们的绝对值呢？表示表示10的点的点A比表示比表示8的点的点B离开原点比较离开原点比较远远.显然显然|10|8|因为点因为点A在点在点B的左边，所以的左边，所以108.由此得出结论：由此得出结论：两个负数比较大小，绝对值两个负数比较大小，绝对值大的反而小大的反而小.一个数的绝对值大于或等于一个数的绝对值大于或等于0.1比较以下各组数的大小：比较以下各组数的大小：(1)1和和5 (2)和和27 做一做1在数轴上表示以

25、下各数，并比较它在数轴上表示以下各数，并比较它们的大小：们的大小：-15，-3，-1，-5；2求出求出1中各数的绝对值，并比中各数的绝对值，并比较它们的大小；较它们的大小；3你发现了什么？你发现了什么？判断：判断：(1)假设一个数的绝对值是假设一个数的绝对值是 2 ，那么这那么这个数是个数是2；(2)|5|5|；(3)|0.3|0.3|；(4)|3|0；(5)|1.4|0；(6)有理数的绝对值一定是正数；有理数的绝对值一定是正数；(7)假设假设ab，那么，那么|a|b|；(8)假设假设|a|b|，那么，那么ab；(9)假设假设|a|a，那么，那么a必为负数；必为负数；(10)互为相反数的两个数

26、的绝对值相等；互为相反数的两个数的绝对值相等；(1)绝对值是绝对值是7的数有几个？各是什么？有的数有几个？各是什么？有没有没有 绝对值是绝对值是2的数的数 (2)绝对值是绝对值是0的数有几个？各是什么的数有几个？各是什么 3绝对值小于绝对值小于3的数是否都小于绝对值的数是否都小于绝对值小于小于5的数？的数？4绝对值小于绝对值小于10的整数一共有多少个？的整数一共有多少个？(1)求绝对值不大于2的整数；(2)x是整数，且|x|7，求x 2、有理数a在数轴上对应的点如下图：那么那么|a|=_|a|=_ 4、如果如果a 的相反数是的相反数是-，那么，那么|a|=_ 3.如果一个数的绝对值等于如果一个

27、数的绝对值等于3.25，那么这个数是，那么这个数是_ 5.如果如果|x-1|=2，那么，那么x=_练习一:2.比较大小：5 8-0.05 0；-3 1；1.1.绝对值等于绝对值等于6 6的数有的数有 绝对值是绝对值是0 0的数是的数是 。-6 和和 +603.判断对的打“，错的打“：1一个有理数的绝对值一定是正数。一个有理数的绝对值一定是正数。()21.40，那么，那么1.40。()3 32的相反数是的相反数是32 ()4 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数如果两个数的绝对值相等，那么这两个数 相等相等 ()5 互为相反数的两个数的绝对值相等互为相反数的两个数的绝对值相等 ()0abc那么那

28、么a c,b ca c,b c4.4.有三个数有三个数a a、b b、c c在数轴上的位置在数轴上的位置如以下图所示如以下图所示那么那么a a、b b、c c三个数从小到大的顺序三个数从小到大的顺序是：是：C b a5.5.足球比赛中对所用的足球有严格的规定，下面是足球比赛中对所用的足球有严格的规定，下面是5 5个足个足球的质量检测结果用正数表示超过规定质量的克数，用球的质量检测结果用正数表示超过规定质量的克数，用负数表示缺乏规定质量的克数负数表示缺乏规定质量的克数答：记为答：记为-8-8的足球质量好一些。的足球质量好一些。因为因为20=2020=20，+10=10+10=10，+12=12+12=12，8=88=8，11=1111=11所以所以8 +10 8 +10 11 +12 11 +12 2020 也就是说记为也就是说记为-8-8的足球与规定的质量相差比较小，的足球与规定的质量相差比较小，因此其质量比较好因此其质量比较好-20 +10 +12 -8 -11请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识加以说明。请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识加以说明。本章小结 一个正数的绝对值等于它本身 一个负数的绝对值等于它的相反数 0的绝对值等于0 互为相反数的两个数的绝对值相等