2021年河南省中考数学总复习:第三章《函数》第6节二次函数的综合应用课件.pptx
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- 函数 2021 河南省 中考 数学 复习 第三 二次 综合 应用 课件
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1、2021年河南省中考数学总复习第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用一、线段问题一、线段问题重难点突破重难点突破例例 1如图,抛物线如图,抛物线yax2bxc(a0)与与x轴交于点轴交于点A、B(1,0),与,与y轴交于点轴交于点C,直,直线线y x2经过点经过点A、C.抛物线的顶点为抛物线的顶点为D,对称轴为直线,对称轴为直线l.(1)求抛物线的解析式;求抛物线的解析式;12例例1题图题图 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用【思维教练思维教练】第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用解:解:(1)对于直线对于直线y x2,令,令y0,得,得x4,令,令x
2、0得得y2,A(4,0),C(0,2),已知已知B(1,0),将,将A、B、C三点的坐标代入抛物线解析式得,三点的坐标代入抛物线解析式得,解得解得 ,抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x2 x2;12164002abcabcc 12522abc 1252第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(2)求顶点求顶点D的坐标与对称轴的坐标与对称轴l;例例1题图题图 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用【思维教练思维教练】第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(2)将抛物线将抛物线y x2 x2化为顶点式得,化为顶点式得,y (x )2 ,抛物线顶点抛物线顶点D的
3、坐标为的坐标为(,),对称轴,对称轴l为直线为直线x ;1252125298529852第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(3)设点设点E为为x轴上一点,且轴上一点,且AECE,求点,求点E的坐标;的坐标;例例1题图题图 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用【思维教练思维教练】第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例1题解图题解图(3)如解图如解图,由点,由点E在在x轴上,可设点轴上,可设点E的坐标为的坐标为(e,0),连接,连接CE,则则AE4e.在在RtCOE中,根据勾股定理得中,根据勾股定理得CE2OC2OE222e2,AECE,(4e)222
4、e2,解得解得e ,则点则点E的坐标为的坐标为(,0);3232第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例1题图题图(4)设点设点G是是y轴上一点,是否存在点轴上一点,是否存在点G,使得,使得GDGB的值最小,若存在,求的值最小,若存在,求出点出点G的坐标;若不存在,请说明理由;的坐标;若不存在,请说明理由;【思维教练】【思维教练】要使要使GDGB的值最小,先找点的值最小,先找点B关于关于y轴的对称点轴的对称点B,再连接再连接BD,BD与与y轴的交点即为所求的点轴的交点即为所求的点G,先求直,先求直线线BD的解析式,再求其与的解析式,再求其与y轴的交点即可轴的交点即可第六节第六节
5、二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例1题解图题解图(4)存在如解图存在如解图,作点,作点B关于关于y轴的对称点轴的对称点B,则点,则点B的的坐标为坐标为(1,0)连接连接BD,直线,直线BD与与y轴的交点轴的交点G即为所即为所求的点求的点设直线设直线BD的表达式为的表达式为ykxd(k0),其中,其中D(,)将点将点B、D两点的坐标代入得,两点的坐标代入得,解得解得 ,529805928kdkd 928928kd 直线直线BD的表达式为的表达式为y x ,令令x0得得y ,点点G的坐标为的坐标为(0,);928928928928第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(5)在对称
6、轴在对称轴l上是否存在一点上是否存在一点F,使得,使得BCF的周长最小,若存在,求出点的周长最小,若存在,求出点F的坐标的坐标及及BCF周长的最小值;若不存在,请说明理由;周长的最小值;若不存在,请说明理由;例例1题图题图【思维教练】因为【思维教练】因为BC长为定值,要使长为定值,要使BCF周周长最小,即要使长最小,即要使CFBF的值最小,由点的值最小,由点A、B关关于对称轴于对称轴l对称,可知对称,可知AC与对称轴与对称轴l的交点即为点的交点即为点F,即可使,即可使CFBF最小,将最小,将x 代入直线代入直线AC的的解析式,即可求得解析式,即可求得F点的坐标,在点的坐标,在RtAOC中可中可
7、得得AC的长,在的长,在RtBOC中可得中可得BC的长,即可得的长,即可得BCF的最小周长的最小周长52第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例1题解图题解图(5)存在如解图存在如解图,要使,要使BCF的周长最小,即的周长最小,即BCBFCF最小最小在在RtOBC中,中,OB1,OC2.由勾股定理得由勾股定理得BC 为定值,为定值,只需只需BFCF最小最小点点B与点与点A关于直线关于直线l对称,对称,AFBF则则BFCFAFCF.AC与对称轴与对称轴l的交点即为所求的点的交点即为所求的点F.22125 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用5234将将x 代入直线代入
8、直线y x2得得y 2 .点点F的坐标为的坐标为(,)在在RtAOC中,中,AO4,OC2,根据勾股定理得,根据勾股定理得AC ,BCF周长的最小值为周长的最小值为BCAC 2 3 ;121252523422422 5 555第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(6)若点若点H是抛物线上位于是抛物线上位于AC上方的一点,过点上方的一点,过点H作作y轴的平行线,交轴的平行线,交AC于点于点K,设,设点点H的横坐标为的横坐标为h,线段,线段HKd.求求d关于关于h的函数关系式;的函数关系式;求求d的最大值及此时的最大值及此时H点的坐标;点的坐标;例例1题图题图【思维教练】由题可得点【
9、思维教练】由题可得点H的横坐标为的横坐标为h,分别将分别将h代代入抛物线及直线入抛物线及直线AC的解析式中,即可得到点的解析式中,即可得到点H、K的纵的纵坐标,再由点坐标,再由点H在点在点K的上方,可得到的上方,可得到d关于关于h的函数关系的函数关系式;式;利用二次函数的性质求最值,即可得利用二次函数的性质求最值,即可得d的最大值的最大值第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(6)如解图,如解图,点点H在抛物线上,在抛物线上,设点设点H的坐标为的坐标为(h,h2 h2)(0h4),HKy轴,交轴,交AC于点于点K,点点K的坐标为的坐标为(h,h2),点点H在点在点K的上方,的上方,
10、HKd(h2 h2)(h2)h22h,d关于关于h的函数关系式为的函数关系式为d h22h;1252121252121212例例1题解图题解图第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用由由d h22h (h24h)(h2)22可知,可知,当当h2时时d最大,最大,024,符合题意,符合题意,当当h2时,时,d最大,最大值为最大,最大值为2,此时点,此时点H的坐标为的坐标为(2,1);121212第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例1题图题图(7)设点设点Q是对称轴右侧抛物线上一点是对称轴右侧抛物线上一点(Q不与不与A重合重合),过点,过点Q作作y轴的平行线,交轴的平行
11、线,交AC于点于点M,交,交x轴于点轴于点R,若,若QM3MR,求点,求点Q的坐标;的坐标;【思维教练】要求点【思维教练】要求点Q的坐标,需分点的坐标,需分点Q在点在点M的上方和点的上方和点Q在点在点M的下方两种情况讨论,在每的下方两种情况讨论,在每种情况下用点种情况下用点Q,M,R的纵坐标表示出的纵坐标表示出QM和和MR的长度,利用的长度,利用QM3MR列方程求解,注意列方程求解,注意检验计算结果的合理性检验计算结果的合理性第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例1题解图题解图(7)点点Q的横坐标为的横坐标为q;当点当点Q在点在点M的上方时的上方时(q4),如解图,如解图.此时
12、此时QM(q2)(q2 q2)q22q,MR q2,q22q3(q2),解得解得q13或或q24,均不符合题意,舍去,均不符合题意,舍去综上可知,满足条件的点综上可知,满足条件的点Q的坐标为的坐标为(3,1)12125212121212第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例1题图题图(8)作点作点B关于点关于点C的对称点的对称点B,则平面内存在直线,则平面内存在直线l,使得点,使得点A、B、B到该直线的到该直线的距离都相等求直线距离都相等求直线l:ykxb的解析式的解析式【思维教练】要求直线【思维教练】要求直线l的解析式,根据点的解析式,根据点A,B,B到直线到直线l的距离相等
13、,从而得到直线的距离相等,从而得到直线l是是ABB的三条中位线,由于的三条中位线,由于A、B坐标前面已得,根据点坐标前面已得,根据点B是点是点B关于点关于点C的对称点,从的对称点,从而求得而求得B的坐标,根据的坐标,根据A、B、B的坐标,利用待定系数法的坐标,利用待定系数法可分别求出直线可分别求出直线AB、AB和和BB的解析式,利用平行线的性的解析式,利用平行线的性质即可求出直线质即可求出直线l的解析式的解析式第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(8)B(1,0),C(0,2),点,点B是点是点B关于点关于点C的对称点,的对称点,可得点可得点B的横坐标为的横坐标为2011,点,点
14、B的纵坐标为的纵坐标为2(2)04,B(1,4),利用待定系数法可求出,直线利用待定系数法可求出,直线AB的解析式为的解析式为y0,直线直线BB的解析式为的解析式为y2x2,直线直线AB的解析式为的解析式为y x ,45165第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例1题解图题解图分三种情况考虑,如解图所示:分三种情况考虑,如解图所示:()当直线当直线lAB且过点且过点C时,直线时,直线l的解析式为的解析式为y2,()当直线当直线lAB且过点且过点C时,直线时,直线l的解析式为的解析式为y x2;()当直线当直线lBB且过线段且过线段AB的中点的中点N(,2)时,直线时,直线l的的
15、解析式为解析式为y2x5.4532第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用1.一条线段最值问题:根据前面所得的用点坐标表示线段长度,通过运用配方法或一条线段最值问题:根据前面所得的用点坐标表示线段长度,通过运用配方法或运用二次函数的性质求最值,继而得到线段的最值运用二次函数的性质求最值,继而得到线段的最值2.两条线段和的最小值问题:解决这类问题最基本的定理就是两条线段和的最小值问题:解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最两点之间线段最短短”,最常见的基本图形就是,最常见的基本图形就是“水渠问题水渠问题”,已知一直线和直线同侧两点,在直线,已知一直线和直线同侧两点,在直线上找一点
16、,使其到已知两点距离的和最小,通常作其中一点关于直线的对称点,对上找一点,使其到已知两点距离的和最小,通常作其中一点关于直线的对称点,对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求点,作图如下:称点与另一点的连线与直线的交点即为所求点,作图如下:满分技法满分技法第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用3.用点坐标表示线段长度:先在图中找出对应线段,弄清已知点和未知点;再联系用点坐标表示线段长度:先在图中找出对应线段,弄清已知点和未知点;再联系二次函数和一次函数,设出未知点的坐标,使其只含一个未知数;继而表示出线段二次函数和一次函数,设出未知点的坐标,使其只含一个未知数;继而表示出线段的长度
17、的长度(如果该线段与坐标轴平行的话,则利用横纵坐标相加减确定;如果与坐标如果该线段与坐标轴平行的话,则利用横纵坐标相加减确定;如果与坐标轴不平行的话,先转化为有边在与坐标轴平行的三角形中,再利用勾股定理、锐角轴不平行的话,先转化为有边在与坐标轴平行的三角形中,再利用勾股定理、锐角三角函数或三角形相似确定三角函数或三角形相似确定)4.线段数量关系问题:根据前面所得的用点坐标表示线段长度,结合题干列出满足线段数量关系问题:根据前面所得的用点坐标表示线段长度,结合题干列出满足线段数量关系的方程,解方程求解即可线段数量关系的方程,解方程求解即可(注意排除不符合题意的数值注意排除不符合题意的数值)5.到
18、平面内两点之间距离为两点之间距离的一半的直线,共三条:到平面内两点之间距离为两点之间距离的一半的直线,共三条:(1)两点连线的垂两点连线的垂直平分线上,利用直平分线上,利用k1k21及中点坐标公式求直线解析式;及中点坐标公式求直线解析式;(2)两点所在直线的平两点所在直线的平行线上,共行线上,共2条,利用条,利用k1k2求直线解析式求直线解析式第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用二、面积问题二、面积问题例例 2如图,已知抛物线如图,已知抛物线yx2bxc与直线与直线AB相交于相交于A(3,0),B(0,3)两点,与两点,与x轴的另一个交点为轴的另一个交点为C,对称,对称轴为直线轴
19、为直线l,顶点为,顶点为D,对称轴与,对称轴与x轴的交点为轴的交点为E.(1)求直线求直线AB的解析式及抛物线的解析式;的解析式及抛物线的解析式;例例2题图题图 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用【思维教练思维教练】第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用解:解:(1)设直线设直线AB的解析式为的解析式为ykxd(k0),将将A(3,0)、B(0,3)代入,代入,得得 ,解得,解得 ,直线直线AB的解析式为的解析式为yx3,将将A(3,0),B(0,3)代入抛物线解析式,代入抛物线解析式,得得 ,解得解得 ,抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3;303k dd
20、 13kd 9303bcc 23bc 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例2题图题图(2)连接连接BC,求,求ABC的面积;的面积;第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用【思维教练思维教练】第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(2)令抛物线解析式中令抛物线解析式中y0得得x22x30,解得解得x13,x21,点点C的坐标为的坐标为(1,0),A(3,0),B(0,3),C(1,0),AO3,OB3,OC1,AC4,BOAC,SABC ACOB 436;1212第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例2题图题图(3)连接连接BC,在抛物线
21、上是否存在一点,在抛物线上是否存在一点M(异于点异于点C),使得,使得SABMSABC?若存在,求出?若存在,求出M的坐标;若不存在,请说明理由;的坐标;若不存在,请说明理由;【思维教练】由于点【思维教练】由于点M在抛物线上的位置不确定,需考虑在抛物线上的位置不确定,需考虑M点点的不同位置,结合图形分两种情况讨论:的不同位置,结合图形分两种情况讨论:点点M在直线在直线AB的的上方,可先设出上方,可先设出M点的横坐标并用其表示点的横坐标并用其表示ABM的面积,再的面积,再列方程求解;列方程求解;点点M在直线在直线AB的下方,可通过平移直线的下方,可通过平移直线AB,使其经过点使其经过点C,利用,
22、利用“同底等高的三角形面积相等同底等高的三角形面积相等”来求解来求解第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(3)存在存在.如解图如解图,当,当M在直线在直线AB的上方时,过的上方时,过M作作MMx轴交直线轴交直线AB于点于点N,连接,连接AM,BM,例例2题解图题解图 设点设点M的坐标为的坐标为(m,m22m3),则则N(m,m3),MNm22m3(m3)m23m,SABMSAMNSBMN MNAM MNMO MN(AMMO)MNAO (m23m)3 m2 m,12121212123292第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用根据题意得根据题意得SABMSABC6,则则
23、 m2 m6,3292即即m23m40,b24ac3241470,此时方程无解,则不存在这样的点此时方程无解,则不存在这样的点M;如解图如解图,当点,当点M在直线在直线AB的下方时,连接的下方时,连接BM,AM,例例2题解图题解图 SABMSABC,以以AB作底,只要作底,只要ABM与与ABC的高相等即可,的高相等即可,故平移直线故平移直线AB,使其过点,使其过点C,此时平移后的直线与抛物线的,此时平移后的直线与抛物线的交点即为交点即为M,第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用设平移后的直线设平移后的直线CM的解析式为的解析式为yx3b,将点将点C(1,0)代入得代入得b4,直线直
24、线CM的解析式为的解析式为yx1,与抛物线联立得,与抛物线联立得 ,解得解得 (舍去舍去),存在这样的点存在这样的点M,其坐标为,其坐标为(4,5);2231yxxyx 1110 xy 2245xy 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(4)连接连接BC,点,点N是线段是线段AB上一点,作上一点,作NNx轴,试确定轴,试确定N点的位置,使点的位置,使ABC的面积被直线的面积被直线NN分为分为1 2的两部分;的两部分;例例2题图题图【思维教练】由题意知,【思维教练】由题意知,NN将将ABC分成一个三角形和一分成一个三角形和一个四边形,因此要分情况进行讨论:个四边形,因此要分情况进行
25、讨论:ANN的面积的面积占占ABC面积的面积的 ;ANN的面积占的面积占ABC面积的面积的 .在每种情况下,用点在每种情况下,用点N的横坐标表示出的横坐标表示出ANN的面的面积,列方程求解即可,注意检验求得的解是否满足点积,列方程求解即可,注意检验求得的解是否满足点N在线段在线段AB上上1323第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(4)如解图如解图,由,由(2)知知ABC的面积为的面积为6,设,设N(n,n3)(3n0),当当SANN SABC2时,时,SANN (n3)(n3)2,解得解得n11,n25(不在线段不在线段AB上,舍去上,舍去),N(1,2);当当SANN SAB
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